向量夾角的風波

潘梅耘

向量的夾角是個特殊的平面角，具有明顯的形和數的特征，所以同學們要想駕馭向量的夾角，切記從形、數等多個方面進行理解和應用，否則會惹出不少風波.

一、夾角起點惹風波，起點統一是根本1.在△ABC中，a=5，b=8，c=60°，則BC·CA的值為_____。

錯解

錯因 對兩個向量的夾角的定義模糊不清，未能抓住“確定向量夾角時，一定要將兩個 向量平移到共起點”

評析 向量夾角是平面角，所以它的范圍為[0°，180°]，在三角形中兩邊向量夾角規律：兩邊向量共起點或共終點時，向量夾角即為對應該公共點的三角形內角，否則為其補角.

二、夾角范圍惹風波，等價轉化是關鍵2.設平面向量a=（-2，1），b=（λ，-1），若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是__.

錯解 由題知cos=a·b/|a||b|<0，得a·b<0，-2λ-1<0，從而λ∈ （-1/2，+∞）.

錯因 忽視a與b反向這個不合題意的情況.

正解 由題知-1

評析 在已知條件下求變量的取值范圍，實質是尋找充要條件，兩向量a與b的夾角為鈍角的充要條件是a·b<0且a與b不共線，兩向量a與b的夾角為銳角的充要條件是a·b>0且a與b不共線.

三、夾角公式惹風波，數形結合顯神通

再用夾角公式，結果因計算太繁復而放棄.

錯因 不注意數形結合在解題中的應用.

評析 向量是既有大小義有方向的量，所以它與長度、角度密切相關，同學們一定要多關心它的幾何屬性，便于簡化解題過程.

有關向量夾角的“風波”，表現形式還有很多，同學們可記住下面的口訣，以免出錯：向量夾角共起點，范圍不過一平角;同向反向和垂直，三種特情別忘記;銳角鈍角要分清，變形轉化要等價;夾角公式要牢記，數形結合顯威力.

相關練習

（l）銳角三角形

（2）直角三角形

（3）鈍角三角形

（4）不能確定

3.已知a=（1，2），b=（1，1），且a與a+λb的夾角為銳角，求實數λ的取值范圍.

4.與向量a=（1/2，1/2），b=（1/2，-1/2）的夾角相等，且模為1的向量是