基底法VS坐標法

金玉明

所有的平面向量運算最終都有兩個切人點：選擇兩個不共線平面向量作為基底，平面向量所有問題轉化為這兩個基底向量，進而解決問題;建立平面直角坐標系，將平面向量轉化為坐標解決問題.

從知識的發生發展來看，先有平面向量基本定理，后有平面向量的坐標表示.但是從研究問題的直觀性來看，平面向量坐標運算更為直觀，更容易理解.在很多問題中基底法和坐標法都能夠解決問題，有著共生互補的關系.下面筆者就幾個實例探討平面向量問題的解決方法，并希望為讀者提供一些解決平面向量問題的基本切入點，尋找最合適的方法解決平面向量問題，

一、基底法

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F分別在邊AD，BC上，且ED=5AE，FC=5BF，若向量AB與DC的夾角為60°，則AB·EF的值為___。

分析 從問題給定的條件看，已知向量AB與DC的模長與夾角，可取向量AB與DC作為平面向量一組基底，表示平面內所有向量，再利用向量數量積公式就可以解決問題.根據向量的加法，EF=ED+DC+CF=5/6AD+DC+5/6CB=5/6（AD+CB）+DC.又AD+DC+BA=0，所以AD+CB=AB-DC，所以EF=5/6AB+6/1DC，所以根據數量積的計算公式即可求出AB，EF.本題考查向量的加法運算、共線向量基本定理、向量數量積的計算公式，

解 如圖1，根據已知條件及共線向量基本定理得：

EF=D+DC+CF

=5/6AD+DC+5/6CB

=5/6（ADDC）+DC，因為AD+DC+CB+BA=0，故AD+CB=AB-DC，則EF=5/6（AB-DC）+DC

=5/6AB+1/6DC，所以AB·EF=AB·（5/6AB+1/6DC）

=5/6AB²+1/6AB·DC

=15/2+1/2=8.

本題由于題目圖形的不規則性，建立平面直角坐標系是不合適的，所以采用基底法解決，

二、坐標法

分析 由于本題的圖形是矩形，在解決問題之初，想到應當選用坐標法來解決問題更為直觀，故以A為坐標原點，AB為χ軸建立平面直角坐標系，設矩形的長寬分別為2a，2b，得到A，B，C，M，N的坐標，利用向量相等得到關于λ，u的方程組解之，本題考查了平面向量基本定理的運用，利用坐標法使得計算簡便，考查了推理能力與計算能力.

解 以A為坐標原點，AB為χ軸建立平面直角坐標系，設矩形的長寬分別為2a，2b，得到A（0，0），B（2a，0），C（2a，2b），M（2a，b），N（a，2b）.

所以AC=（2a，2b），AM=（2a，b），BN=（-a，2b），

本題由于圖形為矩形，建立平面直角坐標系更為直觀，解決問題更為方便，所以采用坐標法解決.

三、基底法VS坐標法

分析 方法一：基底法，用三角形各邊向量表示出BE，CF，再計算BE.CF.本題考查了平面向量的數量積運算.

方法二：坐標法，以BC為x軸，B為坐標原點，建立平面直角坐標系，求出各點坐標，再計算BE.CF.

本題由于圖形的特殊性，所以基底法、坐標法都可以順利解決.

通過上述三個例子我們不難發現，在解決平面向量相關問題時，我們的解題切人點主要有兩個：選擇平面向量的一組基底解決問題;建立平面直角坐標系用坐標法來解決問題.

在學習平面向量時讀者應當會有這樣的感覺：從向量的概念、表示方式，到線性運算、平面向量共線定理，再到平面向量基本定理，感覺這些內容好像是浮在空中，始終難以抓住，而自從有了坐標表示，一下子就感覺找到了平面向量的一個抓手，所有問題都變成以前熟悉的題目了，感覺終于落地了.這就是由抽象的平面向量問題變成了直觀的坐標運算，

正因為如此，遇到平面向量問題，我們一般可優先考慮用坐標法解決，確實無法建立平面直角坐標系，則考慮選擇一組基底向量來解決問題.而基底向量的選擇依據，主要是看哪些向量有模和夾角的相關條件.

下面是一個高考題實例，從問題的探究中，我們可以再深人體會解決平面向量問題時，基底法和坐標法這兩個切入點的重要價值.

例4 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，

所謂不忘初心，方得始終.研究問題一定要把握問題的切人點，從知識的發生發展過程中尋找知識的形成過程，尋找研究知識的方法，提高自己的關鍵能力，從而在變化多端的問題中找準方向，有的放矢.快速、準確地解決問題.