漫談向量的投影

韓文美

向量的投影具有明顯的幾何意義，是數量積相關概念的拓展，在實際解決平面向量問題中具有靈活的效用，我們要深刻理解要領，主動應用向量的投影解決相關問題.

一、向量的投影的概念

1.概念

設a，b是兩個非零向量，它們的夾角為影，則∣b∣cosθ叫做向量b在a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.

2.說明

向量的投影和兩向量的數量積都是數量，不是向量，而且兩者具有正負值的一致性：當兩非零向量a，b的夾角θ為零角或銳角時，投影（數量積）為正值;θ為鈍角或平角時，投影（數量積）為負值;θ為直角時，投影（數量積）為0.

3.變形公式

向量的數量積公式a·b= |a| |b|cosθ變形可得向量b在a方向上的投影公式為：|b|cosθ=a·b/|a|·

二、向量的投影的應用

例1 若向量a在b方向上的投影與向量b在a方向上的投影相等，那么非零向量a，b的關系為___.

分析 根據題目條件建立關系式|a|cosθ=|b| cosθ，結合cOsθ是否為零的條件加以分類討論，進而確定非零向量a，b的關系.

解 由題知，向量a在b方向上的投影|a|cosθ與向量b在a方向上的投影|b|cosθ相等，

可得|a|cosθ=|b|cosθ.

當cosθ=o，即θ=Π/2時，此時a上b，上式成立;當cosθ≠O時，則有lal=lbl;

綜上分析知非零向量a，b的關系為a上b或|a|=|b|，故填a上b或|a|=| b|.

點評

涉及此類向量的投影的概念問題，必須充分考察概念中相應參數的意義，在本題中，根據已知條件得到關系式|a| cosθ=|b|cosθ，進而要充分考慮兩向量的夾角、模的相關意義，不要出現遺漏而導致錯誤.

分析

根據點的坐標確定相應向量的坐標，結合投影的變形公式計算對應向量的數量積與模，代入相應的公式加以求解即可，

由變形公式知AB在CD方向上的投影

點評

根據投影的變形公式求解投影時，關鍵是正確把握兩個不同的角度：向量b在a方向上的投影公式為a·b/|a|，向量a在b方向上的投影公式為a·b/|b|，注意不要出現兩者的混淆而導致錯誤.

例3

圓○為△ABC的外接圓，半徑為則向量BA在向量BC方向上的投影為

解析

根據向量共線定理先得到○是BC的中點，進而確定的形狀，并結合條件得到∠B一30°，再結合投影的定義公式來求解.

點評

利用投影的定義公式求解投影時，關鍵是確定相應向量的模與兩對應向量之間的夾角.特別在平面圖形中，要注意平面幾何中的角與向量的夾角兩者之間的區別，有時兩者相等，有時兩者互補，不要混淆.

分析

根據向量a在b方向上的投影|a|cosθ以及向量b的值|b|，通過向量的數量積公式，把|a|cosθ作為一個整體，進而代入求解即可.

點評

涉及向量的數量積問題，經常把向量的投影作為一個整體來處理.本題當中就是把|a|cosθ作為一個整體，代入向量的數量積公式中加以求解.

分析

根據向量的投影與直角三角形的性質可得|AB|cosA=|AC|，這樣就巧妙地把向量的數量積公式轉化為向量的投影與另一向量的模的乘積問題，從而得以求解.

點評

本題巧妙借助盲角三角形的背景，把向量的數量積公式中的|AB|cosA作為向量的投影加以轉化，利用直角三角形的性質借助|AC|得以代換，從而達到巧妙轉化、直觀應用的目的.

由于向量的投影具有明顯的幾何意義，它是解決平面向量問題的重要手段，也為平面幾何、解析幾何、立體幾何等問題的解決提供一個方便、實用的工具.所以在向量的學習過程中，要加強基本概念和基本運算的靈活應用，提升拓展水平，提高解題能力.