直線與圓中的易錯(cuò)點(diǎn)

陳麗

直線與圓是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，其研究方法對(duì)后面圓錐曲線的研究有指導(dǎo)性作用.直線與圓在練習(xí)中有基礎(chǔ)題、中檔題，同學(xué)們想要做好這類題目，需要理解基本的概念，熟悉基本的處理方法.不然，就會(huì)在學(xué)習(xí)時(shí)m現(xiàn)對(duì)概念理解不全面、不透徹等問題.

一、利用幾何法時(shí)注意全面性

例1

已知直線l過點(diǎn)P（-1，2），且到點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（-4，5）的距離相等，則l的直線方程為

錯(cuò)解 由于A，B到直線l的距離相等，所以AB∥l.又k_AB=一1/3，則有l(wèi)：y-2=-1/3（x+1），即x+3y-5=0.

剖析

有些同學(xué)解題時(shí)一般會(huì)選擇幾何方法，即畫圖形，畫圖的時(shí)候容易將直線l過AB中點(diǎn)的情況遺漏，導(dǎo)致丟分.

正解 方法一、幾何法（分兩種情況）：

①直線l與直線AB平行，則k，=k_AB=-1/3，可得l：y-2=÷1/3（x+1），即x+3y-5=0;

②直線l過線段AB的中點(diǎn)，AB中點(diǎn) 坐標(biāo)為（-1，4），則l：x=1.

綜上所述，l的方程為x+3y-5=0或x=-1.

方法二、代數(shù)法：

①

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=-1，A，B兩點(diǎn)到它的距離都是3，滿足條件;

②

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)設(shè)l的斜率為

綜上所述，l的方程為x+3y-5=0或x=一1.

反思

用幾何法解題在畫圖的時(shí)候容易只畫出其中一種，從而出現(xiàn)漏解的情形，做題時(shí)考慮要全面.

同類題練習(xí)

已知直線l過點(diǎn)（2，0），且與點(diǎn)A（-1，o），B（2，3）距離相等，則直線l的方程為

答案：x-y-2=0，x+y-2=0.

二、關(guān)注圓的一般方程的限制條件

例2

已知圓的方程為x²+y²+λx+（λ-2）y+5=0，定點(diǎn)P（2，3）在圓外，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

錯(cuò)解 因?yàn)镻（2，3）在網(wǎng)外，所以2²+3²+2λ +3（λ-2）+5>0，解得λ>-12/5·

剖析

錯(cuò)誤的主要原因是忽視了隱含條件：方程首先要能夠表示網(wǎng)，其次考慮點(diǎn)在圓外.

解得-12/5<λ<-2或λ>4，

所以λ的取值范圍是（-12/5，-2）∪（4，+∞）.

反思 審題時(shí)要挖掘出題目中的隱性條件，避免掉到“陷阱”中.

同類題練習(xí) 已知過點(diǎn)P（4，3）可以向圓x²+y²+mx-2my+3=0作兩條切線，則，m的取值范圍是

三、關(guān)注直線方程的限制條件

例3 已知過點(diǎn)P（0，5）的直線與圓C：X²+y²+4x-12y+24=0交于A，B兩點(diǎn)，且AB=4，求直線方程.

錯(cuò)解 由題知C：（x+2）²+（y-6）²=16，則AB=設(shè)直線方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，則d

所以直線方程為3x-4y+20=0.

剖析 有些同學(xué)做題時(shí)直接將直線方程設(shè)成點(diǎn)斜式，沒有考慮直線的斜率是否存在.根據(jù)網(wǎng)的性質(zhì)可以知道過定點(diǎn)的直線被網(wǎng)截得的弦長(zhǎng)在（0，2r）間時(shí)，此時(shí)直線一定是有兩條.學(xué)生如果能事先做些分析，就會(huì)知道出現(xiàn)漏解了，而這一解在點(diǎn)斜式方程下沒有被解出來，說明直線的斜率不存在.

正解 由題知C：（x+2）²+（y-6）²

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，此時(shí)d=2滿足條件;當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，

直線方程為3x-4y+20=0.

綜上所述，所求直線方程為x=0或3x-4y+20=0.

反思 直線的五種形式的方程中只有一般式可以表示平面上的任何一條直線，其他的四種形式都有限制條件，此時(shí)就需要進(jìn)行分類討論，避免出現(xiàn)漏解.

同類題練習(xí) 過點(diǎn)（1，-2）作圓C：（x-2）²+y²=1的切線，求切線方程，

答案：x=1，3x-4y-11=0.

運(yùn)用幾何法會(huì)給我們解題帶來方便，尤其是計(jì)算量減少，但是畫幾何圖形時(shí)一般是畫出滿足條件的一種情況，容易產(chǎn)生遺漏;探求直線方程時(shí)關(guān)注直線方程的限制條件，這些限制條件就是我們做題時(shí)分類的依據(jù)，想要避開以上可能出現(xiàn)的問題，考慮問題時(shí)要全面，這就需要我們對(duì)基本概念熟練掌握.