例談兩直線的位置關系處理策略

王俊勝

兩直線的位置關系是平面解析幾何初步的重要內容，也是高考中常考的重要知識點之一.為此我們對兩直線的位置關系做了一些研究，望能給同學們的學習帶來裨益.

剖析

證明此題僅僅說明它們的斜率相等還不夠，還需說明它們在y軸上的截距不相等.

引申 如果直線l₁：Ax+By+c=0，且直線l₁//l₂，那么直線l₂的方程總可以寫成Ax+By+C₁=0（C₁≠C）.想一想，此結論是怎樣得到的？

變式

求與直線3x+4y+l=0平行，且在兩坐標軸上的截距之和為7/3的直線l的方程.

解析

設所求的直線 的方程為3χ+4y+t=0.當x=0時，y=-t/4; 當y=0時，x=—t/3·所以-t/3-t/4=7/3，即t=-4.故直線l 的方程為3x+4y-4=0.

例2

若直線ax+2y-1=0與直線x+（a-1）y+a²=0平行，則a=

錯解

根據題意得a（a-1）=2，所以a=2或a=-l.

正解

根據題意得a（a-1）=2，所以a=2或以a=一l.

（l）當a=2時，直線2x+2y - 1=0與直線x+y+4=0平行;

（2）當a=一1時，直線-x+2y-l=0與直線x-2y+l=0重合，

綜上，a=2.

點評

此題是同學們常錯題，也是常考題型，望同學們引起關注.

例3 直線l₁：2x+（m+1）y+4=0與直線l₂：mx+3y-2=0垂直，則M的值為

根據題意得2m+3（m+1）=0，所以，m=一3/5.

引申1 如果直線l₁：Ax+By+C=0，且直線l₁⊥l₂，那么直線l₂de方程總可以寫成Bx-Ay+C₁=0

引申2 如果直線l₁：A₁x+B₁y+C₁=0與直線l₂：A₂x+B₂y+C₂=0滿足l₁⊥l₂那么A₁A₂+B₁B₂=0.

例4 已知直線l₁：x+ay-5=0和直線l₂：ax+（a-2）y+1=0，當實數為何值時，l₁⊥l₂？

錨解

根據題意得-1/a·（-a/a-2）=-1，所以a=1.

正解

根據題意，由引申2結論得a+a（a-2）=0，所以a=1或a=0.