一道課本例題的拓展

熊杰

很多同學認為學好高中數學是要做大量習題的，因此買了很多類型的參考書，做了很多看似復雜且困難的問題.殊不知，復雜的問題源于基本問題的組合，就連高考出題也本著“源于課本，高于課本”的宗旨，所以同學們在平時學習時一定要立足于課本.課本上的例題往往都是經過精挑細選的，仔細研讀、揣摩這一道道經典例題，思考其題設的起源，分析其解答的思路，再歸納其結論并用于新的問題解答，往往會讓我們別有收益.

一、深入探索

本例題是在學習過共線向量基本定理后的一道例題，例題的證明充分運用了共線向量定理，本例題也可以用相似三角形的比例關系來幫助理解，例如，當點C在三角形AB邊上時，過點C作直線OA的平行線CD交OB于點D，

這個結論在延續舊知上是相當于共線向量基本定理的一個引申活用形式，所得結論的形式又在一定程度上體現了與平面向量基本定理的關聯，在向量問題求解上更是可以將與三點共線的有關向量快速進行化簡，結論簡潔明了.

與課本例題相關的一個問題也出現在課本上，與例題構成了逆命題關系.

分析

本題和例題對比相當于是逆命題的關系，對本題的證明可以充分體現原題的條件和結論之間的充要條件關系.

根據我們所得的三點共線的向量相關結論，直接就可以發現點C的軌跡是直線AB，因此點C的軌跡方程也即是直線AB的方程.

二、結論應用

解析

本題是高一的一道期末考試題，第一問是一道很基礎的問題，只需要將AB分解為已知向量即可，但是第二問學生就處理得很不理想，關鍵在于對A，B，H三點共線的這一條件的處理不到位.

歸納

本題的第二問即是對向量共線結論的一個運用，關鍵在于發現A，B，H共線后，可以迅速地得出m，n兩者數量關系進而順利消元求解，對此結論不熟悉的同學往往會因為無法消元導致解答不能進行，因此對三點共線的這一特殊結論我們應該好好地去理解感受.

分析

本題是一道證明三點共線的問題，白然是用向量共線來證明三點共線，借用以上例題所得結論的形式可以有目的地明確我們化簡和證明的方向，通過D，E，C三點均和0點相連，所以考慮我們從oD，

歸納

本題的三點共線證明是向量證明中常見的問題，總的化簡處理方向就是運用向量共線這個結論，證明中結合三點共線的關系式結論可以很明確地幫助我們化簡出相關的關系式.

三、探究拓展

分析

本題的結論和條件看似關聯不是很緊密，但只要認真分析題目的條件，觀察本題圖形的特點，可以發現與x，y相關的兩個向量分別是AM，AN，而點E義和M，N在一條直線上，因此如果對向量三點共線結論比較熟悉的同學會敏銳地察覺到從這條路徑出發應該會有所收獲.

歸納

本題若不運用三點共線的結論，勢必要進行一段較為煩瑣的化簡，中間過程比較復雜，很多同學會在此出錯或放棄，因此掌握這一結論對我們解題有極大的幫助.

課本上這道例題所推得的結論可以有助于我們有效地簡化運算，將不太熟悉和習慣的向量運算用一道簡潔的數學關系式體現出來，能有效地幫助我們化簡、消元，也能夠讓我們充分感受到數與形結合的奇妙意境.