白噪聲干擾下的多重分形算法對比分析

賴佳境

摘要：運用MFDMA，研究了疊加白噪聲的二項重分形模型的多重分形特征，并與MFDFA進行對比分析。結果顯示：疊加白噪聲序列會影響MFDMA與MFDFA算法的計算結果，且在低噪聲強度下的MFDMA算法計算精度優于MFDFA算法，隨著噪聲強度的增大，MFDMA對噪聲更為敏感，計算精度下降更快。

關鍵詞：MFDMA；MFDFA；白噪聲；多重分形

一、研究的目的與意義

多重分形分析，可以運用于描述具有自相似結構系統的復雜性分析，刻畫動力學系統的長期演化和自相似行為，它廣泛應用于地質學、生物學等領域[1-2]。研究多重分形的方法有許多種，其中主要研究方法有去趨勢波動多重分形分析（MFDFA）、去滑動均值趨勢多重分形（MFDMA）、熵分析等[3-5]。

在實際數據的多重分形分析過程中，分形序列可能含有數據噪聲。其中白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內均勻分布的噪聲，也就是說在一個純隨機過程，白噪聲的期望與方差均為常數，因此，一般把所有頻率具有相同能量的隨機噪聲稱為白噪聲 [6-7]。

因此，本文將運用二項重分形作為理論模型，MFDMA作為研究方法，探討白噪聲對MFDMA算法的影響，并與MFDFA進行對比分析，為進一步應用于實驗數據的非線性特征研究提供理論指導。

二、添加白噪聲的算法對比分析

在MATLAB環境下分別產生數據個數為1024，噪聲強度為1×10-4，5×10-4，1×10-3，5×10-3的白噪聲序列各十組，分別計算這四組白噪聲的均值后疊加到二項重分形原始序列中，然后利用MFDMA方法計算原始序列與疊加白噪聲序列的Hurst指數圖像，計算結果如下圖2-1。

圖2-1 MFDMA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數

圖2-1表示使用MFDMA方法分析的Hurst指數圖像，結果顯示：當q<0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數曲線有偏差，且隨著噪聲強度的增大，偏差逐漸明顯；而q>0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數曲線重合，兩者無偏差；因此說明白噪聲的存在會影響原始序列的分形特征，且隨白噪聲強度的增大，含噪聲序列的Hurst指數偏離原始序列的Hurst指數曲線的程度逐步增大。

運用MFDFA算法替代MFDMA，計算含白噪聲的序列，并與MFDFA理論結果進行對比，結果如下圖2-2。

圖2-2 MFDFA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數

圖2-2的計算結果顯示：當q>0時，疊加噪聲序列與原始序列的Hurst指數曲線重合，兩者無偏差；當q<0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數曲線有偏差，且隨著噪聲強度的增大，偏差逐漸明顯；疊加噪聲序列的Hurst指數結果會偏離原始數據的Hurst指數理論值，而且隨著噪聲強度的增大，偏離程度增大。

根據圖2-1與圖2-2的結果，顯示MFDMA與MFDFA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數具有相似的結果，因此提取圖形中的Hurst指數具體數值，進行均方根誤差分析，結果如下表2-1。

根據表2-1的計算結果顯示，在1×10-4倍白噪聲的疊加作用下，使用MFDMA方法計算的Hurst指數原始序列與疊加序列的均方根誤差小于運用MFDFA計算得到的結果，說明白噪聲強度小，MFDMA相較于MFDFA依然更加穩健，然而，隨著噪聲強度的增加，MFDMA相較于MFDFA，均方根誤差值逐漸增大，且增幅明顯，說明MFDMA對白噪聲相較于MFDFA更加敏感。因此，當白噪聲強度較高時，MFDFA相較于MFDMA的計算結果更加趨于理論值；而當白噪聲強度較低時，MFDMA則顯示出更加穩定的計算結果。

三、結論

本文以二項重分形序列為研究對象，對比分析了MFDMA與MFDFA在疊加白噪聲序列下的多重分形特征。實驗結果顯示：MFDMA在處理疊加低強度噪聲的序列時，計算結果相較于MFDFA更穩定，而隨著噪聲強度的增加，MFDMA對白噪聲更為敏感，對疊加噪聲序列的多重分形分析具有較強的非平穩性。造成這種現象的原因在于MFDMA它是通過計算每一個滑動窗口的平均值來進行擬合計算，可以減少由多項式擬合在分割連接點的不連續性所引起的偽波動誤差，然而疊加噪聲序列會由于MFDMA在滑動窗口均值擬合計算過程中，對噪聲數據也重復進行擬合計算，從而造成計算結果偏離理論值，因此，在實際數據的計算過程中，需要對數據進行降噪處理，從而使MFDMA得計算結果更加準確。

參考文獻

[1]謝和平，薛秀謙. 分形應用的數學基礎與方法[M]. 科學出版社，1997.

[2]朱 華，姬翠翠. 分形理論及其應用[M]. 北京：科學出版社，2011：207-221.

[3]孫霞，吳自勤，黃畇.分形原理及其應用[M]. 中國科學技術大學出版社，2006.

[4]Ihlen E A F. Multifractal analyses of response time series：a comparative study[J]. Psy Soc，2013，45：928-945.

[5]奚彩萍，張淑寧，熊剛，等. 多重分形降趨波動分析法和移動平均法的分形

[6]譜算法對比分析[J]. 物理學報，2015，64：1364031-13640314.

[7]Xie D Y，Wan L，Zhu Y Q，et al. Noise effect on multifractal detrended fluctuation analysis based on element enrichment model[J]. Advanced Materials Research，2014，1008-1009：1548-1551.

[8]吳雪梅，婁珀瑜. 論隨機噪聲對光譜測量的影響[J]. 計算機與應用化學，2011，28：1343-1345.

基金項目：本文為東莞理工學院城市學院青年教師發展基金《項目名稱：基于去滑動均值趨勢的多重分形方法的研究及其應用》項目（項目編號：2018QJY004Z）

（作者單位：東莞理工學院城市學院）