一元初等函數(shù)求導教學探討

劉慶軍

摘要：一元初等函數(shù)求導是高等數(shù)學的重要內容。本文通過分析初等函數(shù)表達式的運算結構，即函數(shù)間的運算關系，包括四則運算及復合運算，提出一種基于“運算結構”的求導方法，從而正確求出函數(shù)的導數(shù)。

關鍵詞：初等函數(shù);運算結構;復合函數(shù)

中圖分類號：G642.0???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2019）13-0220-02

一、引言

高等數(shù)學一元微積分研究的重要內容是初等函數(shù)，其表達式中不僅包含函數(shù)，還含有由這些函數(shù)組成的多種運算結構，主要有四則運算及復合運算。對初等函數(shù)的運算結構進行分析，有利于正確求出函數(shù)的導數(shù)。

二、基本知識回顧

（一）復合函數(shù)

定義1：設函數(shù)y=f（u）的定義域為D，函數(shù)u=g（x）的定義域為D，且其值域R？奐D，則y=f[g（x）]，x∈D，稱為由函數(shù)y=f（u）與u=g（x）構成的復合函數(shù)，u稱為中間變量。一般地，稱y=f（u）為外函數(shù)，u=g（x）為內函數(shù)。

（二）初等函數(shù)

定義2：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合所構成并可用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

（三）復合函數(shù)的求導法則

設y=f（u），u=g（x）且f（u）及g（x）都可導，則復合函數(shù)y=f[g（x）]的導數(shù)為=·

復合函數(shù)的求導法則又稱為鏈式法則，按照復合函數(shù)的定義，分解出內外層函數(shù)，由外往內逐層求導。此法則可推廣到三層以上的復合函數(shù)。

三、初等函數(shù)的導數(shù)

求初等函數(shù)的導數(shù)，首先分析初等函數(shù)的運算結構，即初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過了哪些四則運算、復合運算以及這些運算的先后順序;其次基于這些運算的先后順序，綜合運用四則運算及復合函數(shù)的求導法則對初等函數(shù)進行求導。

例1：求f（sinx）=sinx-3sinx+1的導數(shù)。

分析一：f（sinx）的運算結構為：sinx、-3sinx、1三個函數(shù)之和，sinx看成是sinx與sinx的乘積。對f（sinx）應用四則運算（加減法）的求導法則。

解一：f′（sinx）=（sinx·sinx）′-3（sinx）′+（1）′

=2cosx·sinx-3cosx

=2（sinx-3）·cosx

分析二：f（sinx）的運算結構為：由外函數(shù)f（u）=u2-3u+1與內函數(shù)u=sinx復合而成。對f（sinx）應用復合函數(shù)的求導法則。

解二：f′（sinx）=·

=（2u-3）·u′

=2（sinx-3）·cosx

分析三：f（sinx）的運算結構為：sinx、-3sinx、1三個函數(shù)之和，sinx是由外函數(shù)u與內函數(shù)u=sinx復合而成。對f（sinx）首先應用四則運算（加減法）的求導法則，在計算sinx的導數(shù)時，應用復合函數(shù)的求導法則。

解三：f′（sinx）=（sinx）′-3（sinx）′+（1）′

=2sinx·（sinx）′-3cosx

=2（sinx-3）·cosx

由例1可以看出，函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的運算結構密切相關，同一函數(shù)的不同運算結構，運用的求導法則也會不同。一旦運算結構分析錯誤，就很難正確求出函數(shù)的導數(shù)。其中，復合函數(shù)的求導法則在計算中也容易出錯，與復合運算分解不徹底有關。

例2：求y=e的導數(shù)。

分析：y=e的運算結構為：由外函數(shù)y=e與內函數(shù)u=sin2x+復合而成，u=sin2x+是sin2x與之和，而sin2x與還是復合函數(shù)，其中sin2x是sinv與v=2x復合而成，是與w=x+1復合而成。

y=e的求導過程為：對y=e應用復合函數(shù)的求導法則，在計算u=sin2x+的導數(shù)時，先應用四則運算（加法）的求導法則，然后對sin2x與分別應用復合函數(shù)的求導法則。

解：=e

=（sin2x）′+（）′=2cos2x+

=·=（2cos2x+）·e

例3：求y=cosnxcosnx的導數(shù)。

分析：y=cosnxcosnx的運算結構為：cosnx與cosnx的乘積，而cosnx與cosnx都是復合函數(shù)，其中cosnx是un與u=cosx復合而成，cosnx是cosv與v=nx復合而成。

y=cosnxcosnx的求導過程為：首先應用四則運算（乘法）的求導法則，然后對cosnx與cosnx分別應用復合函數(shù)的求導法則。

解：=（cosnx）′·cosnx+cosnx·（cosnx）′

（cosnx）′=ncosn-1x·（-sinx）

（cosnx）′=（-sinnx）·n

=-ncosn-1x·（sinx·cosnx-cosx·sinnx）

四、小結

在給學生講解初等函數(shù)的導數(shù)時，應注重對函數(shù)表達式運算結構的分析，結構分析準確是正確求導的基礎，并用典型例題加以講解，能夠取得非常好的效果。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]鄭之蘭.基于“運算”的函數(shù)求導方法[J].南京廣播電視大學學報，2008，（04）：103-105.

A Probe into the Teaching of the Derivative of the Elementary Function

LIU Qing-jun

（Department of Basic Teaching and Research，ChongQing Police College，Chongqing 401331，China）

Abstract：The derivative of one-dimensional elementary function is an important part of higher mathematics.In this paper，by analyzing the operating structure of the expression of elementary function，that is，the operating relationship between functions，including four arithmetic operations and composite operations，a method of derivation based on "operating structure" is proposed.Thus the derivative of the function is correctly obtained.

Key words：elementary function;operating structure;composite function