壓電纖維復合材料有限元模擬及其試驗研究

黃丹丹，陳 勇,2

(1.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240；2.先進航空發動機協同創新中心,北京 100000)

0 引言

壓電陶瓷(PZT)是一種應用較廣的智能材料，因靈敏度高，響應時間短及能量密度高等特點，在航空、航天及汽車等領域中得到了廣泛應用，可作為驅動和傳感材料。但壓電陶瓷很脆弱，當暴露于大機械應力或變形時易破裂，且對曲面的一致性很差。因此，研究人員提出含有壓電陶瓷纖維的壓電陶瓷復合材料(PCT)的概念，以消除上述壓電陶瓷的缺陷[1-3]。1996年，美國航空航天局(NASA)Langley研究中心研制出一種新型壓電陶瓷材料—壓電纖維復合材料(MFC)。與傳統壓電陶瓷驅動器和較早開發的壓電復合材料相比，MFC_P1型驅動器通過指間交叉電極的設計，利用更強的纖維縱向壓電應變常數d33來實現更高的機電耦合，其具有更好的耐久性和柔韌性，同時輸出具有頻率響應高，動態反應快，承載大，性能穩定，不發熱，不產生噪聲及受外力干擾小等優點[3]。MFC可用于控制振動(激振或減振)、控制結構變形、收集能量和結構健康監控等方面。

Williams等[4]研究了MFC的線性/非線性拉伸、剪切特性。Deraemaeker和Steiger等采用經典層合板理論對MFC進行精細尺度的有限元建模，預測MFC材料性能參數[5-6]。劉永剛等對叉指形電極壓電驅動器性能進行分析，研究叉指形電極壓電驅動器的結構特點和電場結構[7-8]；楊賓華等[9-10]對MFC在精細尺度上的有限元建模進行了研究。與制造商提供的數據相比，這些數值提供了MFC更全面的材料參數，有助于提高MFC有限元模型仿真結果的準確性。很多研究人員已研究了MFC驅動器的有限元仿真計算[5-6,11-16]，由于計算量大，精細尺度的有限元建模法在工程中的應用很少。在工程應用中，研究人員提出了一些MFC簡化有限元模型進行MFC智能結構的靜態特性和模態分析[17-19]。然而，這些簡化應用于工程中的MFC有限元建模方法都忽略了MFC本身指間交叉電極的設計及其對MFC變形的影響，不能模擬出MFC的真實變形；簡化的有限元模型參數和實際參數存在誤差，未進行修正，不利于MFC智能結構進一步的動力學預測。

本文考慮MFC主要力學層—壓電陶瓷纖維層和指間交叉電極設計，建立MFC均質壓電層等效有限元模型，在ANSYS-APDL中對其進行結構-壓電耦合場的模態仿真分析與自由應變和阻滯力參數測試，數值上驗證了MFC的有限元模型，并修正有限元模型中的壓電應變常數。與細觀尺度上的MFC復雜有限元模型相比，該有限元模型節約計算資源，可應用于實際工程中。同時，本文基于M2807-P1進行MFC-鋁合金懸臂梁的試驗，并與仿真結果進行對比，試驗驗證上述的有限模型，試驗結果表明，MFC激勵法操作簡單，重復性好，快速正弦掃頻具有較高的信噪比。

1 MFC有限元模型及其參數驗證

1.1 MFC均勻壓電層等效有限元模型

MFC驅動器是由聚酰亞胺薄膜中嵌入薄的PZT纖維制作而成，上、下表面覆蓋有指間交叉模式的電極，如圖1所示[20]。在d33模式下工作，本文的研究對象為M2807-P1。

圖1 MFC實物圖

壓電材料的應力-應變關系為

T=cES-eTE

(1)

D=eS+εSE

(2)

式中：T為應力分量；S為位移分量；E為電場方向；D為電場位移矩陣；c為剛度矩陣；ε為介電常數矩陣；e為壓電耦合系數矩陣。式(1)中電場和應力參數是不獨立的。

假定電場強度E3僅沿著z軸起作用，圖2為MFC_P1驅動器d33效應示意圖。圖中，h為MFC壓電層的厚度，L為MFC壓電層纖維方向的長度，b為MFC壓電層的寬度。z軸伸長量ΔL和應變為

ΔL=d33E3L

(3)

ε33=d33(U/a)

(4)

式中：U為MFC驅動電壓;a為兩相鄰電極間的距離；d33為纖維縱向壓電應變常數。

圖2 MFC_P1驅動器d33效應

M2807-P1長度為40 mm、寬度為18 mm、厚度為(0.3±0.1) mm；壓電層長28 mm、寬7 mm、厚(0.178±0.1) mm，相鄰電極的間距為0.4 mm。假定MFC中的壓電陶瓷纖維層為橫觀各向同性的材料，其有效材料參數[11-13]如表1所示。表中，Em為楊氏模量，G為剪切模量，μ為泊松比，ρ為密度。

表1 有限元仿真MFC壓電層有效材料參數[11-13]

纖維縱向壓電應變常數d33=4.6×10-10m/V彈性常數Em1=9.37 GPaμ12=0.188 μ31=0.405G12=5.26 GPa Em2=15.33 GPa μ21=0.334μ23=0.147G13=2.476 GPa Em3=32.58 GPaμ13=0.116μ32=0.313G12=2.76 GPa 介電常數/(F·m-1)εσ33=0.734×108 εσ11=εσ22=0.850×108密 度/(kg·m-3)ρMFC=7 500

M2807-P1壓電層上、下表面覆蓋有指間交叉模式的電極(55個相鄰電極間距為0.4 mm)，如圖3[21]所示。圖中，坐標軸1表示纖維的極化方向，坐標軸2表示銅電極方向，坐標軸3表示MFC厚度方向。 很多應用于工程中的MFC有限元模型是假定均勻壓電陶瓷層和整體的電極層，忽略MFC本身指間交叉電極的設計及其對MFC變形的影響，不能模擬MFC的真實變形。因此，有必要建立一個MFC簡化等效的模型，既能模擬出MFC的真實變形，也可減少計算的成本。本文對MFC_P1型驅動器進行等效有限元建模，考慮主要力學層，即壓電陶瓷纖維層(包括壓電陶瓷纖維和環氧樹脂)，忽略了其他層，并假定該層為均勻壓電層，纖維的極化方向相同，采用電壓遞進的電勢設置，如圖4所示，模擬MFC_P1驅動器的真實變形。

圖3 MFC的分層結構

圖4 M2807-P1幾何模型及有限元模型

通過在ANSYS-APDL軟件環境中進行模擬，有限元建模假定壓電層全部為壓電材料，采用壓電耦合六面體單元Solid226(20節點，在每個節點處有3個平移自由度，以及1個與壓電性質相關的自由度)建模，可模擬出壓電材料機電耦合效應。

1.2 數值驗證

根據制造商提供的數據，M8528-P1中d33值與電場E有關，當E>1 000 V/mm，d33=4.6×10-10m/V時，有必要對制造商所提供的d33值進行修正，使數值計算出的自由應變和阻滯力值與參考值在一定誤差范圍內，將修正后的d33值應用到數值模型中。圖5為不同d33值下的自由應變和阻滯力。數值驗證的機械和電壓邊界條件如表2所示。

圖5 不同d33下的自由應變和阻滯力

MFC表面力學邊界條件電壓邊界條件底面(zy平面)上表面(zy平面)約束MFC底面(位于zy平面)在Ox方向上沒有位移,只允許在zy平面內運動 -相同的Oz方向上,MFC底面和上表面的電極表面設置相同恒定的電勢值,且電壓逐漸遞增,相鄰的電壓差為2 000 V橫截面1(xy平面)橫截面2(xy平面)約束一端橫截面在Oz方向上位移為0 - -側面1(xz平面)側面2(xz平面)耦合側面上的節點在Oy方向上的位移相同 -

圖6為M2807-P1沿極化方向(z軸)的自由應變圖，位于2個相鄰電極間的壓電纖維在極化方向是平面內拉伸模式，同時上、下電極中間存在一個應變不活躍區域，與文獻 [5-6,11-16]研究MFC在細尺度建模吻合較好。仿真結果表明，上述有限元數值模型可有效地模擬出MFC的工作變形。

圖6 M2807-P1在極化方向(z軸)的自由應變圖

2 MFC-鋁合金懸臂梁模型有限元分析

本文建立了M2807-P1-懸臂梁試件驗證MFC有限元數值模型。懸臂梁材料為6061鋁合金，材料密度為2 700 kg/m3，彈性模量為67 GPa，泊松比為0.23。鋁合金板自由端長0.200 m，夾持長度0.050 m，寬0.029 m，厚0.001 2 m，M2807-P1驅動器位于懸臂梁根部，如圖7所示。

圖7 M8528-P1-鋁合金懸臂梁示意圖

借助ANSYS-APDL軟件，基于MFC均勻壓電層等效有限元模型，對MFC-懸臂梁結構進行仿真分析。在APDL中參照表1中的MFC材料參數和改進后的d33(為5.11×10-10m/V)，設置MFC材料參數。MFC采用Solid226(20節點，每個節點處有3個平移自由度和1個壓電相關的自由度)建模，懸臂梁部分采用六面體單元Solid186(20節點，每個節點處有3個平移自由度)建模。假定MFC與懸臂梁間粘接良好，建模時不考慮粘接層的影響，采用粘接操作連接MFC和懸臂梁間的結點。通過約束梁根部一端節點的所有機械自由度實現模型的機械邊界條件。模態分析計算采用Block Lanczos方法，求解MFC-懸臂梁的固有頻率和振型；靜力分析，數值計算MFC-懸臂梁自由端的靜位移，將MFC的電極表面一端電極端保持恒定電壓為0，并在MFC的電極表面施加遞進的0～1 000 V的電壓負載作為電壓邊界條件。在ANSYS-APDL軟件中進行結構-壓電耦合場分析，網格劃分如圖8所示。

圖8 M8528-P1-鋁合金懸臂梁有限元模型

3 MFC-懸臂梁試驗

3.1 試驗裝置

圖9為試驗裝置，由幾個子系統組成。第一個子系統是帶有MFC驅動器的鋁合金梁，被夾持在振動隔振臺上，MFC粘貼在鋁合金的根部位置進行激勵。第二個子系統包括一個恒電壓功率放大器和一個信號發生器，提供了施加到MFC驅動器的開環控制(無反饋)電壓變化。測量子系統可監控梁的振動，模態試驗采用Polytech公司多點掃描測振儀PSV-500-H測量，根據懸臂梁幾何形狀，布置四邊形結點掃描網格，每一個結點的振動速度可以單獨測量，單點測量方式測量MFC-懸臂梁自由端邊緣測點A振動響應，逐點掃描方式得到各點頻域響應幅值和相位，繪制模態振型；靜力試驗測量采用激光位移傳感器，測量MFC-懸臂梁自由端中間測點B的靜撓度。PC端接收測量系統的數據，記錄、保存和分析測量數據。

圖9 試驗裝置圖

選擇懸臂梁夾持端根部處粘貼MFC的原因是：在懸臂梁前幾階模態下，根部位置的z軸方向的應變都較大，以保證有足夠的激勵能量(應變能)從MFC傳遞到結構的每一部分；同時根部位置是各階彎曲模態的模態節點位置，貼在根部位置對懸臂梁自身的模態振型改變影響較小。

3.2 模態試驗

本文設計的MFC激勵系統，可以實現3種典型的激勵方式，即快速正弦掃頻、白噪聲隨機和階躍激勵，同時敲擊試件根部，進行傳統的錘激法測試，測量MFC-懸臂梁自由端邊緣測點A的速度響應信號(見圖9(a))。

圖10(a)為錘激法響應信號進行快速傅里葉變換得到的頻譜圖。圖10(b)～(d)為3種MFC激勵響應信號對應的頻譜圖。MFC激勵響應頻譜中主要有7個峰值，依次為一彎、二彎、一扭、三彎、四彎、扭轉、五彎模態。由圖可知，MFC激勵法快速正弦掃頻響應的頻譜具有較高的信噪比。

圖10 錘激法和MFC激勵法響應頻譜圖

3.3 靜力試驗

靜力試驗中，MFC驅動電壓U(t)可用Heaviside階躍函數描述，即

U(t)=A·H(250-mod(t,500))

(5)

式中:A為階躍幅值;mod(…)為取模函數。

圖11為給MFC施加1 000 V階躍電壓時懸臂梁自由端點B位移變化。由圖可看出兩種效應，第一個效應是自由阻尼振動，電壓從0變到1 000 V后振蕩；第二個效應是MFC壓電元件的蠕變，當施加在MFC驅動器的電壓不再變化時，懸臂梁的自由端點B位移值隨著時間緩慢變化，并在一定時間后達到穩定值。

圖11 靜力試驗結果圖

4 結果比較

4.1 模態試驗結果

表3比較了仿真和試驗的MFC-鋁合金懸臂梁的前5階典型彎曲模態固有頻率和偏差。有限元法仿真結果比錘激法及MFC激勵法得到的固有頻率略高，最大偏差不超過2%，驗證了上述的MFC有限元模型。

表3 仿真和試驗的MFC-鋁合金梁的固有頻率

圖12為MFC-鋁合金懸臂梁的前5階有限元仿真和試驗測量的彎曲模態振型圖。

圖12 鋁合金板前5階彎曲模態有限元仿真振型和測試振型

圖13為鋁合金板中線上的節點垂直位移的有限元仿真和試驗結果。

圖13 鋁合金板前5階彎曲模態中線的節點垂直位移圖

由圖12可知，彎曲模態的各階次有限元仿真和試驗測量的振型符合較好，彎曲模態的特征和模態節點位置一致，并使用模態置信準則(MAC)對模態振型進行相關性驗證[22-23]。

MFC-懸臂梁的模態振型的矩陣對角元素都大于0.97，所有非對角矩陣元素都小于0.03(見圖14)，按照相關規定[22-23]可知有限元仿真計算和試驗測量的模態振型相似，驗證了有限元數值模型。

圖14 MFC-鋁合金懸臂梁模態置信系數MAC

4.2 靜力學試驗

為了準確地量化有限元仿真結果與試驗測量結果的差異，本文進行了靜力學實驗。

試驗獲得了施加電壓為100 V、200 V、300 V、400 V、500 V、600 V、700 V、800 V、900 V，1 000 V 10種情況下梁的靜態偏轉值。圖15為有限元法(FEM)仿真和試驗測量得到的懸臂梁自由端B點位移。表4為兩者的具體結果分析。FEM仿真和實驗結果基本一致，計算出的差異不超過2%。

圖15 FEM仿真和試驗下懸臂梁自由端點B的位移

驅動電壓/V實驗撓度/mmFEM計算撓度/mm相對誤差 /%1 000-0.315 6-0.317 80.70900-0.283 6-0.286 00.86800-0.250 7-0.254 21.40

續表

5 結論

本文考慮MFC_P1驅動器指間交叉電極設計，建立MFC_P1驅動器均質壓電層等效有限元模型，借助ANSYS-APDL軟件對MFC進行結構-壓電耦合場的仿真計算。對含有MFC_P1驅動器的鋁合金懸臂梁進行數值研究和試驗研究，主要結論如下：

1) 通過自由應變和阻滯力的數值仿真，與制造商提供的參考數據相比，初始纖維縱向壓電應變常數d33值仿真計算的MFC自由應變和阻滯力的誤差分別為-5.5%和15.95%，修正d33值為5.11×10-10m/V后，仿真得到的自由應變和阻滯力的誤差分別減小為5%和-6.4%，從數值上驗證了MFC_P1有限元模型。

2) MFC-鋁合金懸臂梁仿真和試驗結果顯示，彎曲模態的固有頻率誤差不超過2%，模態振型對角元素模態置信系數(MAC)大于0.97，非對角元素MAC小于0.03；不同電壓下的MFC-懸臂梁自由端B點的靜態偏轉誤差不超過2%。FEM仿真和實驗結果之間達成一致，說明了MFC-P1有限元模型的可信度。

3) 本文提出的MFC-P1驅動器的有限元模型，與細觀尺度的MFC有限元模型相比，節約了計算成本，可以應用于實際工程中，后續將對含有MFC-P1驅動器的復合材料葉片進行進一步的數值仿真和試驗研究。

試驗結果表明，壓電纖維復合材料MFC應用在模態測試上的優勢，操作簡單，重復性好，尤其是快速正弦掃頻信號具有較高的信噪比。