一種殘差模糊匹配的非線性目標跟蹤改進算法

騰紅磊，王躍鋼，楊 波，單 斌，張復建

(1.火箭軍工程大學 三系，陜西 西安 710025；2.火箭軍士官學院，山東 青州 262500)

0 引言

近年來，非線性卡爾曼濾波由于其優點而得到國內外學者的深入研究。其中，擴展卡爾曼濾波器(EKF)及其一些改進算法得到較廣泛的應用，但需計算雅克比矩陣，且一階線性化近似精度低[1]。為了克服EKF的理論局限性，Julier等提出無跡卡爾曼濾波(UKF)算法[2]，避免雅克比矩陣的復雜計算，但應對高維數系統存在發散可能。Arasaratnam等[3]使用三階球面-相徑容積法則代替Unscented變換近似計算策略，提出容積卡爾曼濾波(CKF)，并被應用于導航定位、目標跟蹤和動態定位等領域[4-5]。上述方法是基于狀態先驗分布選擇確定數目的采樣點，并對非線性函數直接傳遞后的采樣點加權處理，以近似獲得狀態后驗概率密度分布，數學意義上統一歸為確定采樣型濾波器。

非線性卡爾曼濾波在應用于目標跟蹤時性能依賴于噪聲統計特性和系統模型是否準確，否則引起系統估計誤差持續增大，甚至濾波發散。針對先驗統計特性未知和估計誤差較大約束條件下的EKF算法，通過選擇合適的噪聲協方差矩陣能提高濾波數值穩定性和收斂速率[6]。因此，學者提出當模型的非線性和噪聲先驗統計特性滿足一定條件時UKF估計誤差有界收斂，并指出調整噪聲協方差矩陣能確保濾波器收斂[7]。孫妍等將STF算法引入CKF算法框架，提出容積卡爾曼的自適應改進算法(ACKF)，仿真結果證實了可行性[8]。雖然CKF及其相關改進算法能有效提高濾波精度和數值穩定性，抑制濾波發散，但缺少相關的理論對CKF的數值穩定性和濾波收斂性進行系統的分析[9]。

本文基于已獲得的非線性算法的收斂性結論，提出一種基于殘差的模糊自適應(RTSFA)非線性目標跟蹤算法，利用李雅普諾夫第二方法給出算法收斂的充分條件，將T-S模糊邏輯和量測橢球界限規則引入非線性跟蹤算法，最后給出RTSFA算法的具體流程。

1 RTSFA目標跟蹤算法機理

假設非線性離散系統和量測模型描述如下：

xk+1=f(xk,uk)+ωk

(1)

yk+1=h(xk+1)+νk+1

(2)

式中：xk∈Rn為k時刻系統的狀態向量；uk∈Rp為控制向量；yk∈Rm為量測向量；ωk∈Rn，νk∈Rm分別為零均值且線性無關的高斯白噪聲；函數f(xk)和h(xk)分別為狀態和量測的非線性函數。

首先，定義估計誤差和一步預測誤差為

(3)

(4)

這里基于文獻[10-11]對誤差表達式進行簡化：

(5)

因線性化近似時忽略了高階項，為了得到嚴格的預測誤差等式，這里定義2個未知對角矩陣βk=diag(β1,k,…，βn,k)，αk=diag(α1,k,…，αn,k)，使得下式成立：

(6)

(7)

由Sigma點卡爾曼濾波(SPKF)算法[12]可得，系統濾波滿足高斯分布積分：

(8)

(9)

(10)

量測預測及協方差、互協方差為

(11)

(12)

(13)

狀態更新及協方差、卡爾曼增益為

(14)

(15)

(16)

由式(3)、(4)、(15)易得

(17)

整理式(17)、(7)，代入(6)可得

(18)

因此，可求得預測誤差協方差為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

通過定義未知的對角矩陣，給出基于SPKF基本框架且含有線性誤差的系統濾波嚴格形式，下面進一步分析RTSFA算法機理收斂的充分條件。

2 RTSFA目標跟蹤算法機理收斂性分析

對式(3)的估計誤差進行分析，下面不加證明的給出關于隨機過程有界性的結論[14]：

引理 1 假設存在隨機過程Vk(ηk)，實數vmin，vmax，μ>0，0<λ≤1，使得隨機過程ηk的每個解都滿足下式：

vmin‖ηk‖2≤Vk(ηk)≤vmin‖ηk‖2

(25)

E[Vk(ηk)|ηk]-Vk-1(ηk-1)≤μ-λVk-1(ηk-1)

(26)

則隨機過程均方指數有界，即

(27)

為證明過程更準確，有如下假設：

假設1 非線性系統(見式(1)、(2))對于k≥0，存在umin,umax,smin,smax,βmin,βmax,αmin,αmax,φmax≠0使以下不等式成立：

(28)

(29)

證明：定義李雅普諾夫函數：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

根據假設條件1、2的各界限值可得

(35)

將式(35)代入式(34)，并分別對不等式兩端求逆：

(36)

(37)

(38)

考慮恒等式tr(UV)=tr(VU)，對式(38)兩端求跡，存在實數μk>0，且在假設條件下有界。將式(36)代入式(37)可得

(39)

(40)

(41)

聯合假設1、2的各界限值可得

(42)

3 RTSFA目標跟蹤算法步驟及應用

根據上述的收斂性結論，結合式(10)、(12)，Rk和Qk的值成為關鍵。因此，引入自適應協方差矩陣，構造自適應Rk和Qk如下[10]：

(43)

(44)

采用單點模糊產生器[15]，確定2個模糊集：D為減少，I為增加。選擇T-S模型設計推理引擎，ρ和σ的變化邏輯關系通過Qk和Rk的遞推關系為

(45)

(46)

2) 根據式(43)、(44)，本文構造的自適應狀態方程噪聲協方差和量測方程噪聲協方差僅與殘差有關，當出現異常量測更新時會產生較大殘差。因此，這里選擇量測橢球界限規則確定量測空間的有效區域，用于判定異常量測野值，描述如下：

(47)

式中γG為界限閾值，可從χ2狀態分布中得到[16-17]。

RTSFA的非線性目標跟蹤算法總結如下：

a.初始化后驗概率密度函數

(48)

b.時間更新

4) 根據式(47)進行判定，不滿足則按下式進行更新：

(49)

若滿足則進行下一步。

6) 重復執行算法步驟2)～5)。

4 仿真實驗

4.1 實例1：濾波初值信息不明純方位跟蹤

二維笛卡爾坐標系下，假設雷達測站位于坐標原點，目標在空間內沿方向角30°做近似勻加速直線飛行，目標運動模型的狀態方程描述為

xk+1=Fkxk+ωk

(50)

(51)

(52)

目標運動的量測方程為

(53)

假設目標的理論初始位置為[200 0]，初始速度和加速度分別為10 m/s、2 m/s2。為了驗證初始狀態偏差較大時算法的性能，設置濾波器的初始狀態x0=[10 30 10 50 10 10]T，初始協方差矩陣P0=10-2I6，δ和ζ分別取10-6和10-4，仿真數據產生步數N=100。

首先，分析不同調節因子的影響，以x方向加速度信息為對象，取調節因子ρ和σ為常量102、104和模糊值，并與CKF進行對比，結果如圖2所示。在初始狀態存在較大偏差時，CKF失去跟蹤能力，雖然能夠基本收斂但濾波精度下降且收斂較慢。104RAKF(RAKF為殘差自適應卡爾曼濾波)和RTSFA較CKF明顯具有較快的收斂速度，并減少由初始狀態不準確引起的估計誤差。盡管兩者能克服濾波發散，但隨著估計誤差的減小，RTSFA的模糊自適應調節因子相比于常量調節因子具有更高的濾波精度。102RAKF較104RAKF(調節因子為102和104常值的RAKF)具有更高的濾波精度，但其選擇較小的調節因子，其收斂速度不理想。

圖1 初始狀態偏差較大時x方向加速度估計曲線

其次，為了更好的對比算法性能，使用加速度信息定義的均方誤差均值：

(54)

表1 幾種算法下x方向加速度均方誤差均值

當系統初值不明甚至存在較大偏差時，RTSFA的算法跟蹤性能優于其他確定采樣卡爾曼濾波器，尤其是與常量調節因子的卡爾曼濾波相比具有更快的收斂速度，并能在估計誤差減小時確保估計值更接近真實值。

4.2 實例2：量測噪聲時變純方位目標跟蹤

基于實例1的仿真環境，目標在空間內以一定角速度做機動轉彎，運動量測方程和噪聲特性形式仿照實例1定義，目標運動模型的狀態方程描述為

xk+1=Fkxk+Γωk

(55)

(56)

(57)

(58)

在量測噪聲時變的條件下，圖2～4分別為4種算法跟蹤目標的位置、速度和角速度的均方根誤差結果。在目標跟蹤30 s內，量測噪聲與先驗量測噪聲相對一致，4種濾波估計誤差相差不大。

圖2 4種算法下位置的均方根誤差

圖3 4種算法下加速度均方根誤差

圖4 4種算法下角速度均方根誤差

在31～90 s和91～150 s時量測噪聲發生變化，先驗量測噪聲協方差不能對系統量測噪聲進行準確數學描述，4種算法估計誤差都開始迅速變大。與其他3種算法相比，標準CKF算法不具備調整量測噪聲協方差的能力，估計誤差隨時間更新逐步加大，濾波精度下降，收斂較遲緩；102RAKF采用較小調節因子，能有效提高濾波精度，避免濾波發散，但收斂較緩慢；104RAKF收斂快，但收斂后精度較差。表2為4種算法的狀態估計均方根誤差均值統計數據。

表2 4種算法下狀態估計均方誤差均值

RTSFA算法基于量測殘差和模糊邏輯遞推量測噪聲協方差陣，使R更接近真實值，克服時變噪聲統計特性引起的濾波發散問題。由圖2～4及表2可知，本文算法的濾波估計精度和收斂速率優于其他3種算法，跟蹤數據更接近真實值。

5 結論

1) 提出一種基于殘差的模糊自適應(RTSFA)非線性目標跟蹤算法。該算法根據Sigma點卡爾曼濾波(SPKF)的基本框架和球面徑向規則推導出線性化誤差約束條件下的近似高斯權值積分一般形式。同時，利用李雅普諾夫第二方法證明了RTSFA非線性目標跟蹤算法估計誤差有界收斂的充分條件，并構造一種噪聲估計器在線修正噪聲統計特性，引入T-S模糊邏輯算法和量測橢球界限規則選擇準確的自適應噪聲協方差調節因子，有效抑制傳統非線性跟蹤算法因噪聲統計不準引起的濾波發散，增強非線性濾波器應對目標跟蹤的魯棒性。

2) 將本文算法應用于信息不明和量測噪聲時變純方位目標跟蹤中進行仿真驗證，在目標因初值誤差和量測時變引起估計誤差變大時，與其他確定性采樣卡爾曼濾波器和常量調節因子的殘差自適應卡爾曼濾波相比，該方法具有更強的魯棒性和更快的收斂速度，表現出更好的跟蹤能力。