壓電微夾鉗的遲滯及蠕變補償

盧志誠，劉文翠，惠相君，周鵬飛，孫靖康，汪家樂，崔玉國

(1. 寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211；2. 首信自動化有限公司，河北 遷安 064400)

0 引言

微夾鉗作為微裝配與微操作的末端執行器，在微機電系統(MEMS)裝配中可用來夾持微小零件,然后裝配成微部件、微系統[1]。在生物工程中，微夾鉗可用來捕捉、搬運細胞[2]。按照驅動方式不同，微夾鉗可分為真空吸附式、電磁式、形狀記憶合金式、靜電式、電熱式及壓電式。壓電微夾鉗由于響應速度快，結構緊湊，驅動力大，成本低，因而更具優勢。

壓電材料因具有明顯的非線性(包括遲滯特性和蠕變特性)而影響了壓電微夾鉗工作時的準確性。為了改善這一現象，研究人員針對壓電執行器的遲滯及蠕變補償展開了相關的研究。李朋志等[3]提出了周期軌跡跟蹤的動態模糊系統(DFS)前饋與Prandtl-Ishlinskii(PI)模型相結合的控制方法，在2 μm的最大位移下，壓電陶瓷驅動器的遲滯誤差降至5.1 nm。Liu等[4]采用雙對數模型描述了壓電驅動器的蠕變特性，并通過實驗驗證了模型的有效性。Orszulik等[5]提出了改進的PI遲滯模型，使之能夠擬合非對稱的遲滯環。Zhu等[6]采用Bouc-Wen模型對壓電驅動器的遲滯特性進行建模，并通過前饋控制對遲滯非線性進行了補償。趙廣義等[7]采用Preisach模型建立壓電陶瓷執行器的遲滯模型，進而基于逆模型進行控制，在10 μm的位移下，最大遲滯誤差為5.99%。Wang等[8]分別采用Preisach模型與非線性彈性模型來描述壓電驅動器的遲滯與蠕變特性，并建立逆模型補償了遲滯及蠕變特性。

本文在考慮壓電材料遲滯曲線非對稱性的前提下，為提高微夾鉗遲滯模型的精度，采用PI遲滯模型對微夾鉗的升回程位移分別建模，進而根據辨識得到的逆模型來補償微夾鉗的遲滯誤差。同時，兼顧模型簡單及精度較高的考慮，以二階慣性環節來建立并辨識微夾鉗的蠕變特性，進而基于所設計的無需求逆的蠕變控制器來補償微夾鉗的蠕變誤差。

1 微夾鉗結構及運動原理

1.1 微夾鉗結構

圖1為本文壓電微夾鉗示意圖。鉗指包括2片壓電陶瓷晶片及一片黃銅基板。定位塊用來固定左、右鉗指，并使左、右鉗指間具有一定的初始間隙。底座一方面用來同壓板和預緊螺釘相結合，對2鉗指進行預緊；另一方面，通過其末端的沉頭通孔，將微夾鉗安裝固定于其前一級的執行機構上。微夾鉗整體尺寸為44.5 mm×13.5 mm×14.5 mm。

圖1 微夾鉗

1.2 微夾鉗運動原理

圖2為微夾鉗鉗指運動的原理圖。圖中，P表示壓電晶片電極化方向，E表示電場方向。由圖可知，當同時給構成微夾鉗鉗指的2晶片施加方向相反的驅動電壓u(t)時，上晶片伸長，但又因上晶片下表面與黃銅基板上表面固定，則使上晶片向下彎曲δ(t);下晶片縮短，又因下晶片上表面與黃銅基板下表面固定，則使下晶片向下彎曲，由此驅動鉗指產生向下的彎曲變形。另一方面，當構成微夾鉗另一鉗指的2晶片極化方向與圖2所示的2晶片極化方向相反時，在電壓作用下，鉗指向上彎曲變形，從而使兩鉗指實現夾持動作。

圖2 鉗指運動原理圖

2 微夾鉗遲滯補償

2.1 遲滯建模

PI遲滯模型由于無累計誤差，且參數較少，因而常用來描述對象的遲滯特性。它屬于算子模型，由多個Backlash算子加權后來擬合遲滯非線性。單個Backlash算子如圖3所示，其輸出為

y(t)=H[x,y0](t)=w·max{x(t)-r,

min[x(t)+r,y(t-T)]}

(1)

式中：H為遲滯算子；x、y分別為Backlash算子的輸入、輸出；y0為算子輸出的初始值；w、r分別為Backlash算子的權重、閾值；T為采樣周期。

圖3 Backlash算子

n個Backlash算子加權疊加構成PI遲滯模型可表示為

ri,yi(t-T)]}

(2)

如圖4所示，當輸入為ri(即式(2)中的x(t))時，輸出φ(r)(即式(2)中的y(t))為

(ri≤r

(3)

r可通過選取一定算子數n后，通過等分閾值來確定值。w可根據PI遲滯模型與實測遲滯曲線擬合得到。

圖4 PI遲滯模型計算示意圖

根據式(3)采用升回程分別建模的方法來建立微夾鉗遲滯模型。對壓電微夾鉗施加波峰為90 V、60 V、30 V的變幅值三角波電壓，得到鉗指位移遲滯曲線。利用Backlash算子疊加擬合遲滯曲線，算子過多會導致計算量過大，而算子過少將造成擬合精度不夠，影響控制結果。綜合考慮后選定為22個算子，通過最小二乘法辨識出各個算子的權重。圖5為壓電微夾鉗遲滯曲線的實測值與模型值，模型值相對于實測值的最大誤差為2.17 μm。

圖5 鉗指位移的實測值及模型值

2.2 遲滯補償

實際補償時用PI遲滯模型的逆模型，它與PI遲滯模型互為反函數，如圖6所示。PI遲滯模型的逆模型可表達為

(4)

式中：φ′(r′)為φ(r)的反函數;w′、r′分別為遲滯逆模型中的權重與閾值。若將w′、r′求出，即可確定PI遲滯逆模型。

圖6 PI模型及其逆模型

由于PI正模型及其逆模型互為反函數，于是逆模型的閾值即為正模型的輸出：

(5)

同樣，由于PI正模型及逆模型互為反函數，故在相同閾值處的斜率(即該閾值處的權重和)互為倒數。由式(3)可得

(6)

由式(4)可得逆模型的權重和為

(7)

PI逆模型的權重與PI模型的權重互為倒數，進而由式(6)、(7)可得

(8)

當i=0時，有

(9)

當i>0時，由式(8)可得

(10)

當求得PI逆模型的閾值與權重后，根據式(4)可求得用于補償微夾鉗遲滯特性的控制電壓。圖7為將該控制電壓作用于微夾鉗后對鉗指位移的控制結果。由圖可知，遲滯被補償后，鉗指實際輸出位移相對于目標位移的誤差顯著減小，由補償前的-11.8～10.7 μm減小為-1.7～1.0 μm。

圖7 鉗指位移的遲滯補償結果

3 微夾鉗蠕變補償

微夾鉗在進行微操作(如裝配微零件、捕捉細胞)時是一種精細操作，需一定的時間才能完成。當時間較長時，壓電材料便表現出明顯的蠕變特性。若不對蠕變特性所產生的蠕變誤差進行補償，就會降低微夾鉗的操作精度。

3.1 蠕變建模

圖8為壓電微夾鉗在持續時間900 s、幅值20 V的階躍電壓作用下鉗指的輸出位移。由圖可知，在900 s內，鉗指位移發生了約4 μm的蠕變。

圖8 鉗指位移的實測蠕變

觀察圖8的蠕變曲線，其趨勢呈現出慣性環節的特性。為此，采用慣性環節來描述微夾鉗的蠕變特性，并通過MATLAB辨識工具箱來辨識微夾鉗的蠕變模型。當用一階慣性環節來辨識時，蠕變模型相對于實測蠕變曲線的擬合度僅為77.68%；用二階慣性環節時，擬合度為94.02%；用三階慣性環節時，擬合度為96.96%。綜合考慮模型的精度及階數，這里采用二階慣性環節來描述微夾鉗的蠕變特性，其蠕變模型可表示為

(11)

式中p1、p2、z為待定系數。

根據圖8所測得的微夾鉗蠕變曲線(見圖8中虛線框)，辨識所得到蠕變模型為

(12)

圖9為微夾鉗蠕變特性的實測值與模型值。由圖可知最大擬合誤差為0.05 μm。

圖9 鉗指位移蠕變的實測值與模型值

3.2 蠕變補償

當微夾鉗存在蠕變特性時，其數學模型可用線性輸出和非線性輸出兩部分來描述(見圖10中右虛線框)，其中非線性部分用來描述蠕變特性。圖10中，num(s)與den(s)分別為蠕變模型中的分子與分母。其微夾鉗的數學模型可表示為

(13)

式中：k為微夾鉗鉗指位移與驅動電壓之間的比例系數；Δ(s)，U(s)分別為復數域內的微夾鉗鉗指輸出位移和作用于鉗指上的驅動電壓。

圖10 蠕變補償原理

根據圖10給出的微夾鉗蠕變特性的數學模型，可設計出無需求逆的蠕變補償器(見圖10中左虛線框)。該蠕變補償器可表示為

(14)

式中Uc(s)為系統蠕變控制前的輸入電壓。

由于本文壓電微夾鉗的蠕變模型為二階慣性系統，極點個數為2個，且輸入為階躍電壓，式(14)可進一步表示為

(15)

式中：p3、p4分別為蠕變模型的2個極點；a，b，c均為待定常數，其值可根據復數域算子所對應的階次系數來求解。

對式(15)進行拉普拉斯反變換，有

(16)

式中u(t)為蠕變補償器在時間域的輸出電壓。

圖11為在上述補償電壓作用下，微夾鉗鉗指的實際輸出位移。由圖可知，經蠕變補償后，在900 s作用時間內，鉗指位移的蠕變由補償前的4 μm幾乎減小為0。

圖11 鉗指位移蠕變的補償結果

4 結束語

本文采用PI模型對壓電微夾鉗位移遲滯特性的升程與回程進行分段建模，進而更好地擬合其非對稱的遲滯特性。辨識出各參數值后計算出PI逆模型。通過PI逆模型求得用于補償系統遲滯特性的控制電壓，實現對系統的遲滯補償。然后，以一個二階慣性環節描述系統的蠕變特性，設計出無需求逆的蠕變控制器，完成了對壓電微夾鉗鉗指蠕變非線性的補償。實驗結果表明，在最大位移為120 μm的情況下，鉗指位移的遲滯誤差由補償前的-11.8～10.7 μm減小為-1.7～1.0 μm；在900 s的作用時間內，鉗指位移的蠕變由補償前的4 μm幾乎減小為0。