空間對稱型7R機構運動特性分析及組合應用

韓博，許允斗,2，姚建濤,2，鄭東，張碩，趙永生,2,*

1. 燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島 066004 2. 燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島 066004

空間可展開機構可以在儲存和運輸時處于收攏狀態，占據運載裝置較小的空間，當需要工作時可完全展開，這種特點使得其在航空航天領域得到了廣泛的應用，如俄羅斯“聯盟號”飛船上的可展開天線[1]、日本ETS-Ⅷ衛星天線[2]、美國AstroMesh可展開天線[3]以及中國的HJ-1-C衛星SAR天線[4]等，已逐漸成為航天領域的研究熱點之一。

目前，國內外相關學者已針對空間可展開機構進行了一系列的研究，取得了較多研究成果。Lu等[5]采用Hoekens直線單元機構組成了一種平面可展天線結構，楊毅和張武翔[6]通過組合空間對稱型6R(R表示轉動副)機構得到了一類平板式可展開天線機構， Vu等[7]基于金字塔式可展開單元組合得到了多種平面可展開天線機構，文獻[8-9]研究了Bricard和Bennett連桿機構在空間可展開機構中的應用，文獻[10]和文獻[11]分別基于剪叉機構和Myard機構構造了大型可展開天線機構，文獻[12-15]也分別研究構造了多種類型的空間可展開機構。

隨著空間可展開機構的應用越來越多，一些學者針對此類機構的運動特性也進行了相關研究，文獻[16]和文獻[17]分別研究了一類空間多面體向心機構和四棱錐平板單元的運動特性，并基于此構造了一種空間伸展臂以及平板式空間可展開天線機構，許允斗等[18]針對大型構架式空間可展開天線提出了一種拆桿等效的自由度分析方法，該方法針對空間多環耦合機構具有較高的通用性，Zhao[19]和李端玲[20]等利用螺旋理論，分別分析了平面型和球面型剪叉機構的運動特性問題，Wei等[21]基于螺旋理論和圖論分析了魔術花球機構的自由度問題，文獻[22]和文獻[23]基于螺旋理論分別分析了剪叉機構組合單元的自由度、運動學以及動力學等問題，史創等[24]針對一種雙層環形桁架式可展開機構進行了機構設計與力學分析。

空間可展開機構多由空間連桿機構組合而成，7R機構是空間連桿機構中重要的一類，可作為串聯機構應用于機械臂上，也可經首尾相連后組成閉環機構進而組合成為空間可展開機構，文獻[25-27]研究了7R機構在機械臂中的運動控制與軌跡規劃問題，霍希建等[28]研究了7R機構在仿人機械臂中的應用；在閉環機構方面，郭盛等[29]研究了包含7R機構在內的單閉環過約束機構的構型綜合問題，Deng等[30]系統地研究了5R～8R 單閉環可展開機構的綜合與幾何設計方法，并給出了包含7R機構在內的多種單閉環可展機構的幾何形貌。通過以上文獻的研究可以發現，現有研究對串聯式7R機構的研究較為深入透徹，但是對閉環7R機構的運動特性的研究較少，關于閉環7R機構的組合應用的相關研究鮮有報道。

本文提出了一種空間對稱型7R機構，可用來構造空間可展開機構，結合圖論與螺旋理論[31]分析了機構的整體自由度、運動輸出構件自由度、奇異性等運動特性，獲得了運動副軸線不同方位情況下運動輸出構件的機構自由度性質，并對其瞬時性做了判別，同時分析了機構在不同驅動情況下的奇異特性，得到了機構在不同的驅動下處于奇異位形時的幾何條件，最后基于此空間對稱型7R機構，組合得到了一類在完全展開時具有較好的力學性能的空間多棱錐可展開機構，可較好地應用于航空航天領域。

1 空間對稱型7R機構構型描述

空間對稱型7R機構的結構圖及其機構簡圖如圖1所示，其包括E、A、B、C1、C2、D1、D27根連桿，7根連桿通過S1～S77個轉動副鉸鏈連接，其中轉動副軸線S1和轉動副軸線S2、S7均平行，轉動副軸線S3和軸線S4平行，轉動副軸線S5和軸線S6平行，且轉動副軸線S4和S5共面，整個7R機構關于過轉動副軸線S1且垂直于連桿E的平面對稱。

圖1 空間對稱型7R機構Fig.1 Spatial symmetric 7R mechanism

空間對稱型7R機構位置坐標系如圖2所示，坐標系原點O位于連桿E豎直方向的中垂線和鉸鏈S2S7中心點連線水平方向的中垂線的交點上，X軸平行于鉸鏈S2S7中心點連線，方向由鉸鏈S2的中心點指向S7的中心點，Z軸垂直向上，Y軸指向由右手定則確定，整個機構關于YOZ平面對稱。

圖2 位置坐標系Fig.2 Position coordinate system

文獻[30]的圖6中曾給出了幾種7R機構的幾何形貌，但與此空間對稱型7R機構形貌不同，其運動副軸線方位及機構對稱性與此機構亦不相同。由圖1可以看到，此空間對稱型7R機構含有C1、C2和D1、D2等4根兩端轉動副均平行的連桿，以及A、B、E等3根兩端轉動副不平行的連桿，其中A與B兩個構件兩端的轉動副軸線異面布置，這是此機構的特點，可以利用此特點，以A、B和E這3個構件作為復雜形體的節點連接件，利用C1、C2和D1、D2連桿作為展開收攏運動連桿，組合不同類型的空間可展開機構單元。

2 自由度分析

機構的自由度數為確定機構或運動鏈位形的獨立參數的數目，亦即確定機構整體運動所需的輸入的個數。對于空間環路機構而言，除需要計算整體機構自由度數目之外，還應關注機構中運動輸出構件的自由度性質，才能更好地應用此機構。由于空間對稱型7R機構關于YOZ平面對稱，當采用此機構組合空間可展開機構時，可利用其空間面對稱性，將構件E作為運動基礎構件(即機架)，選擇對稱的構件A和構件C作為運動輸出構件，因此下面將分析整體機構自由度數以及運動輸出構件的自由度，這樣可以更清晰準確地認識空間對稱型7R機構的自由度特性。

2.1 整體機構自由度分析

空間對稱型7R機構的旋量約束拓撲圖如圖3所示，在拓撲圖中，節點表示機構中對應的構件，連線表示對應的鉸鏈。

圖3 旋量約束拓撲圖Fig.3 Schematic diagram of screw constraint topology

根據前面得到的各個鉸鏈中心點的位置坐標以及軸線方向矢量，可以得到各個鉸鏈的運動螺旋表達式為

(1)

用ω表示轉動副的角速度大小，$表示相應的單位運動旋量，下標表示相應的運動副，則在此機構對應的旋量拓撲圖所示的環路中，閉環旋量方程可以表示為

ω4$4+ω3$3+ω2$2+ω1$1-

ω5$5-ω6$6-ω7$7=0

(2)

式中：0為6維列向量。

將上述約束旋量方程組寫成矩陣的形式：

Mω=0

(3)

旋量約束矩陣M是一個6×7維矩陣，機構自由度數對應于約束矩陣的零空間的維數，通過分析其旋量約束矩陣的秩rank(M)可以計算得到其對應的零空間的維數。由于此機構中α與β數值未知，都可以在0°～180°之間變化，亦即此機構中運動副軸線方位布置可以變化，因此可以將α與β視為兩個變量，將式(1)中各個運動螺旋代入式(3)中的旋量約束矩陣M中，通過MATLAB軟件編程計算，得出當α與β分別在0°～180°之間變化時，旋量約束矩陣M的秩的變化情況，從而分析運動副鉸鏈軸線方位布置對整體機構自由度數目變化的影響。

當α與β分別在0°～180°之間變化時，旋量約束矩陣M的秩的變化情況如圖4所示。

圖4 旋量約束矩陣的秩Fig.4 Rank of screw constraint matrix

由于旋量約束矩陣M是一個6×7維矩陣，零空間的維數為其列數減去秩，即7-rank(M)，因此根據圖4可得：

1) 當角度α與β均為0°或者180°時，此時鉸鏈軸線S1～S7均平行于Y軸，旋量約束矩陣M的秩為3，所以其自由度數為4，需要4個輸入才能完全確定整體機構的運動。

2) 當α與β中有一個為0°或180°，另一個為0°～180°之間的值時，約束旋量矩陣M的秩為5，此時其自由度數為2，需要兩個輸入才能完全確定整體機構的運動。

3) 當α與β均為0°～180°之間的值時，約束旋量矩陣M的秩為6，此時其自由度數為1，只需要一個輸入就能完全確定整體機構的運動。

分析以上結果可以看出對于空間對稱型7R機構，其運動副軸線方位布置不同，會導致機構自由度發生變化，且主要在角度α與β取0°或180°時自由度數目發生突變。

2.2 運動輸出構件自由度分析

將構件E作為機架，選擇對稱的構件A和構件C作為運動輸出構件，二者的運動性質也關于YOZ平面對稱。下面將采用反螺旋理論分析運動輸出構件A在不同運動副軸線方位布置情況下的自由度數目和性質，并判斷其瞬時性。

2.2.1α=β=0°,180°

此時鉸鏈軸線S1～S7均平行，且平行于Y軸，此機構變為平面7R機構，如圖5所示。

圖5 平面7R機構Fig.5 Planar 7R mechanism

此時各個運動旋量的表達式為

(4)

此機構可等效為一個兩分支并聯機構，兩個分支分別為5R分支和2R分支，5R分支的運動螺旋系為

(5)

2R分支運動螺旋系為

(6)

分別求取兩個分支的約束螺旋系并組合得到運動輸出構件的整體約束螺旋系為

(7)

對整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構件的運動螺旋系為

(8)

根據2.1節中的計算結果，此時整體機構自由度數為4，通過式(8)分析可知此時運動輸出構件的自由度數為2。通過分析式(5)中運動螺旋系可知，運動螺旋的數量為5，但是其最大線性無關組為3，因此具有兩個局部自由度，所以雖然運動輸出構件只具有兩個自由度，但是確定整個機構運動仍需要4個輸入，整體機構自由度數目為4，其中兩個自由度為不影響機構輸出件運動的自由度，即局部自由度。

由于此時機構為全R副平面機構，在機構任何可能的運動過程中，各個分支的運動副因為結構的限制總保持原有的幾何關系，應用反螺旋理論分析得到的分支約束力螺旋系不變，所以運動輸出構件的自由度不會發生改變，因此，此時計算得到的運動輸出構件的自由度是全周性的。

2.2.2α=0°,180°，β=0°～180°

此時鉸鏈軸線S1∥S2∥S7，且平行于Y軸，仍然將此機構等效為含兩個分支的并聯機構，兩個分支分別為5R分支和2R分支，5R分支的運動螺旋系為

(9)

2R分支運動螺旋系為

(10)

分別求取兩個分支的約束螺旋系并組合得到運動輸出構件的整體約束螺旋系為

(11)

對整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構件的運動螺旋系為

(12)

(13)

2R分支運動螺旋系為

(14)

分別求取兩個分支的約束螺旋系并組合得到運動輸出構件的整體約束螺旋系為

(15)

對整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構件的運動螺旋系為

(16)

2.2.3β=0°，180°，α=0°～180°

此時鉸鏈軸線S3∥S4∥S5∥S6，且平行于Y軸，5R分支的運動螺旋系變為

(17)

2R分支運動螺旋系為

(18)

分別求取兩個分支的約束螺旋系并組合得到運動輸出構件的整體約束螺旋系為

(19)

對整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構件的運動螺旋系為

(20)

分析式(20)中的運動螺旋可知，運動輸出構件具有兩個運動自由度，分別為繞YOZ平面內過點(0,x3z4/(x3-x4))且平行于Y軸直線的轉動和沿與連桿D2垂直方向的移動。

由于機構在上述的一個轉動和一個移動的運動過程中，各個分支的運動副因為結構的限制總保持原有的幾何關系，應用反螺旋理論分析得到的分支約束力螺旋系不變，所以運動輸出構件的自由度不會發生改變，因此，此時計算得到的運動輸出構件的自由度是全周性的。

2.2.4α,β=0°～180°

此時為最一般的情況，機構5R分支的運動螺旋系變為

(21)

2R分支運動螺旋系為

(22)

分別求取兩個分支的約束螺旋系并組合得到運動輸出構件的整體約束螺旋系為

(23)

對整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構件的運動螺旋系為

(24)

由以上分析可得，對于此對稱型空間7R機構而言，其運動副軸線方位布置的不同會影響機構整體機構自由度，同時也會令運動輸出構件產生瞬時自由度，綜合以上4種情況可知，當此機構中夾角β不為0°或180°時，無論夾角α值為多少，運動輸出構件均只有一個移動自由度，此時整體機構亦只需一個輸入便可確定整個機構的運動位形，這為后續由此機構組合構造空間可展開機構單元奠定了基礎。

3 奇異特性分析

由于此空間對稱型7R機構關于YOZ平面對稱，其各個構件的運動軌跡也關于YOZ平面對稱，如圖6所示，構件E和鉸鏈S3以及鉸鏈S1分別沿軸線M1O、M2O、M3O1作平移運動，因此可以將此空間對稱型7R機構進一步簡化為一個4R3P(P表示移動副)機構。

由于此空間對稱型7R機構可以等效簡化為一個4R3P機構，等效后其各個構件的運動并無變化，因此可以通過分析此4R3P機構的奇異特性來得到空間對稱型7R機構的奇異特性。不失一般性，可以通過分析不同驅動輸入條件下4R3P機構的奇異位形來得到空間對稱型7R機構運動過程中的所有奇異位形。機構在正常位形下時，雅克比矩陣滿秩，行列式值不為零，當處于奇異位形時，雅克比矩陣欠秩，行列式為零，因此可以通過圖6中的封閉環路，列寫此機構滿足的環路約束方程組，進而得到機構在不同驅動下的雅克比矩陣或其逆矩陣，通過其行列式為零值的條件計算得到機構在不同輸入下奇異位形所出現的幾何條件，分析其奇異特性。

在圖6中，θ1為平移軸線M1O和連桿D1軸線之間的夾角，θ2為平移軸線M3O1和連桿C2軸線之間的夾角，桿件E的桿長為l1，桿件D1、B和C2的桿長分別為l2、l3和l4，圖中各個轉動副中心點分別用H1～H4表示，E桿中心點用H5表示；移動副OH5、OH2和O1H4的長度分別為n1、n2和n3。

圖6 4R3P機構及其機構簡圖Fig.6 4R3P mechanism and its schematic diagram

在四邊形OH5H1H2中，可得

(25)

即

(26)

對式(26)求導可得

(27)

在三角形OO1H2和三角形O1H3H4中，可以得到

(28)

即

(29)

對式(29)求導可得

(30)

因此可以得到θ1和θ2之間的關系：

(31)

將式(27)和式(30)整理可得

(32)

將式(32)寫成矩陣的形式，可以得到

(33)

式中：0為五維列向量。

下面討論此機構在不同驅動條件下的奇異性問題。

(34)

方程左側系數矩陣的逆矩陣為此4R3P機構在軸線M1O上添加驅動時的速度雅克比矩陣，當速度雅克比矩陣欠秩導致行列式的值為0時，此矩陣的行列式也必為0，因此可以通過分析此矩陣的行列式的值為0時的幾何條件來得到此機構的奇異位形點。

(35)

式中：J為雅克比矩陣的逆矩陣。

式(35)矩陣行列式值為|J|=-l2l4cosθ2sinθ1，當機構處于奇異位形時，|J|=0，代入前述關系式整理得

|J|=-l2l4cosθ2sinθ1=

-l4cosθ2[(l3+l4sinθ2)/cosβ-l1/2]=0

(36)

綜合分析以上5種情況可知，在不同的驅動情況下，此機構的奇異位形點均發生在夾角θ1和θ2取0°或者90°時，這是此空間對稱型7R機構的特點，在用其組合構造空間可展開機構時，可充分利用此機構的奇異點特性并在機構運動過程中間避開其奇異位形點。

4 組合應用

應用此7R機構組合空間可展開機構時，由于運動副軸線方位布置會影響機構自由度，考慮到航天應用對大型空間可展開機構簡單可靠的要求，選用自由度少且無局部自由度的運動副軸線方位布置。根據本文第2部分的分析，當此機構中夾角β不為0°或180°時，運動輸出構件均只有一個自由度，且此時整體機構只需一個輸入便可確定整個機構的運動位形，因此選定此種情況時的7R機構來組合構造空間可展開機構。

針對運動構件A與B而言，二者的相對運動為沿位于XOY平面上與Y軸平行的直線的相互靠近或遠離，而這正是空間可展開機構中節點花盤構件間的相互運動，同時針對整體機構而言，兩個運動構件在XOY平面上向坐標原點O靠攏或遠離的同步運動，這與空間可展開機構中可展單元平面向心收攏的運動相同，考慮到夾角α與β角度數值可變，以及機構含有的連桿D1和D2，因此可以通過組合多個此7R機構來組合構造空間多棱錐可展開機構。

由于夾角α的大小并不影響機構自由度，因此可以隨意設置，當組合多棱錐可展開機構時，通過β角取不同的值，可以通過7R機構組合構造不同的空間多棱錐可展開機構，當α角取0°，β角分別取30°、45°以及60°時，通過此空間對稱型7R機構組合得到的空間三棱錐、四棱錐以及六棱錐機構如圖8所示。

由圖8可以看到，每個7R機構位于棱錐機構的一個側面，由于運動副的約束關系，每個7R機構的兩個運動輸出構件的運動是同時的，由于兩個側面的7R機構共用一個運動輸出構件，因此整個空間多棱錐機構中運動輸出構件的運動均為同時的，所以空間多棱錐機構的整體自由度與單個7R機構相同，空間多棱錐機構整體亦為單自由度機構。

圖7 構件A和B的運動軌跡示意圖Fig.7 Schematic diagram of motion trajectories of components A and B

圖8 由7R機構單元構造的多棱錐機構Fig.8 Polygonal pyramid mechanisms constructed by 7R mechanism unit

以空間六棱錐機構為例，分析角度α的取值對空間多棱錐機構收攏率的影響。設定空間六棱錐機構棱邊桿件長度為h，收攏后底面棱邊桿長度為m，當角度α取0°～90°之間任意角度時，六棱錐機構的完全收攏狀態如圖9所示，W表示視圖方向，r表示空間六棱錐機構完全收攏后節點花盤的包絡圓半徑，R表示空間六棱錐機構完全收攏后的整體外端包絡圓半徑。

從圖9中可以看出，空間六棱錐機構完全收攏后包絡體積為

V=h×πR2=

h×π(r+msinα)2

(37)

式中：V表示包絡體積。

圖9 空間六棱錐機構完全收攏后包絡體積Fig.9 Envelope volume of the fully folded space hexagonal pyramid mechanism

由式(37)可以看出，當機構桿件長度及節點花盤大小都已確定時，在0°～90°范圍內，空間六棱錐機構完全收攏后的包絡體積隨著角度α的增大而增大。

當角度α取0°、90°以及其他任意角度時，六棱錐機構的完全收攏狀態如圖10所示，由圖中可以看出，在節點花盤及構件長度都相同的情況下，角度α為0°時整體機構收縮后包絡空間最小，收攏率最高，角度α為90°時整體機構收攏后包絡空間最大，收攏率最低。

空間六棱錐機構完全展開狀態如圖11所示，圖中紅色箭頭線為節點構件A和B的向心運動軌跡以及相對運動軌跡，同時從圖中可以看出此機構完全展開狀態時即為機構處于邊界奇異位形的一個狀態(即θ2=π/2)，如果此時沿豎直方向給機構施加一個作用力，機構在這一位置的傳動角為0°，壓力角為90°，機構的關節不能運動，六棱錐單元機構退化為自由度為0的結構，可依靠結構中的桿件自身抵消外力的作用，而在關節處不需要提供額外的驅動力矩，此時機構具有較好的結構剛度和力學性能。

圖10 空間六棱錐機構完全收攏狀態Fig.10 Fully folded states of space hexagonal pyramid mechanism

圖11 空間六棱錐機構完全展開狀態Fig.11 Fully deployed states of space hexagonal pyramid mechanism

綜合以上分析，由不同數量的此空間對稱型7R機構組合可以得到任意棱數的空間多棱錐機構，通過合理布置機構中運動副軸線方位可以使得多棱錐機構獲得較大的收攏率，當機構完全展開時，由于其奇異特性，可以使之具有較好的力學性能，多個此類空間多棱錐機構可以擴展組合構造成為多種新型大尺度空間可展開機構，在航空航天領域具有較好的應用前景。

5 結 論

1) 針對一種空間對稱型7R機構進行了分析，通過旋量拓撲圖分析了其整體自由度，得到了其運動副軸線方位變化時整體機構自由度數目的變化圖；基于反螺旋理論分析了運動副軸線方位不同的情況下運動輸出構件的自由度數目和性質，并針對其瞬時性做了判別，發現其在不同運動副軸線方位布置情況下會出現局部自由度與瞬時自由度。

2) 將空間對稱型7R機構等效為4R3P機構，根據其幾何約束條件建立了機構運動約束方程組，分析了機構在不同驅動情況下的奇異特性，得到了機構在不同的驅動下處于奇異位形時的幾何條件。

3) 通過合理布置運動副軸線方位，選定自由度為1且具有較大收攏率時的空間對稱型7R機構單元組合構造了一類單自由度多棱錐型空間可展開機構，此類可展開機構處于完全展開狀態時處于機構的一個奇異位形，可有效提高可展機構在工作狀態時的靜剛度和力學性能，同時通過多個棱錐型空間可展開機構的組合，可以構造出新型大尺度空間可展開機構，在航空航天領域具有重要的應用價值。