自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型

滕曉艷，豐國寶，江旭東，趙賀桃

1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動力工程學(xué)院，哈爾濱 150080

結(jié)構(gòu)表面阻尼覆層處理，能夠有效降低大型幅板、殼體以及桁梁等大尺寸薄壁構(gòu)件的振動與聲輻射。因而廣泛應(yīng)用于空天飛行器、水下潛器和運(yùn)載車輛中輕質(zhì)薄壁結(jié)構(gòu)的振動與噪聲控制。高頻載荷普遍存在于上述輕薄結(jié)構(gòu)的極限工況中，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的高頻振動響應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致運(yùn)載工具內(nèi)部敏感儀器和電子設(shè)備的故障或損傷。因此，形成大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)預(yù)測模型，評價結(jié)構(gòu)的減振、消振或隔振性能，具有重要的工程應(yīng)用價值。

近些年來，能量流分析方法已成為預(yù)示結(jié)構(gòu)高頻振動響應(yīng)的重要方法。能量流分析方法忽略結(jié)構(gòu)模態(tài)的空間分布，以時空平均的能量密度和功率流為基本變量，通過波動在結(jié)構(gòu)中的能量傳遞特性描述結(jié)構(gòu)的高頻振動響應(yīng)。利用有限元法求解上述能量密度控制方程，將形成能量流分析模型的數(shù)值方法——能量有限元法(EFEM)[1]。蔡忠云[2]、孔祥杰[3]、王迪[4]等建立了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)梁與阻尼結(jié)構(gòu)梁的能量有限元模型，分析了結(jié)構(gòu)的高頻能量流響應(yīng)。Han等[5-6]研究了阻尼、橫向運(yùn)動以及剪切剛度對桿中縱波能量傳遞與分布特性的影響。葛月等[7]分析了耦合板結(jié)構(gòu)的能量傳遞系數(shù)。孫麗萍[8]和周紅衛(wèi)[9]等推導(dǎo)了耦合板結(jié)構(gòu)彎曲振動的能量密度控制方程，得到了控制方程的有限元解。Navazi等[10]通過實驗驗證了薄板結(jié)構(gòu)能量有限元模型的有效性。Seo等[11]基于板-梁連接處的功率流耦合關(guān)系，求解了板-梁耦合結(jié)構(gòu)的中、高頻功率流響應(yīng)。解妙霞[12]和Kwon[13]等根據(jù)薄殼理論和能量平衡關(guān)系，推導(dǎo)了圓柱殼及其耦合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程。陳書明[14]、Jandron[15]和Wu[16]等構(gòu)建了封閉聲腔的能量有限元模型，并應(yīng)用于汽車和水下潛器的振動噪聲預(yù)報。陳兆林等[17]為了分析結(jié)構(gòu)受到高頻沖擊載荷激勵后的瞬態(tài)響應(yīng)，提出了一種基于EFEM和虛擬模態(tài)綜合法的高頻沖擊響應(yīng)分析方法。Kong等[18]通過混響波場的形成研究了EFEM的有效性，研究結(jié)果表明：Le和Cotoni[19-20]推導(dǎo)出基于擴(kuò)散場的統(tǒng)計能量分析(SEA)準(zhǔn)則可以作為評價EFEA有效性的判據(jù)。

對于大阻尼結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)勢能密度和動能密度的時空均值不再滿足相等關(guān)系，經(jīng)典的能量流分析模型[1,2,4,6-18]不再適用。文獻(xiàn)[3]忽略了結(jié)構(gòu)勢能密度和動能密度的不等關(guān)系對能量密度控制方程的影響；同時，相比解析模型，形成的能量有限元數(shù)值模型也不利于解決大阻尼結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[5]沒有考慮大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)對能量密度控制方程的影響，不適于求解自由阻尼結(jié)構(gòu)的高頻振動問題。

因此，本文將考慮大阻尼條件下結(jié)構(gòu)勢能密度和動能密度的顯著差異對系統(tǒng)耗散功率的影響，通過等效剛度法確定附加阻尼結(jié)構(gòu)的等效復(fù)剛度和損耗因子，構(gòu)建大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程，推導(dǎo)阻尼材料不連續(xù)處的能量傳遞特性和耦合關(guān)系，解析求解完全自由阻尼梁和局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。對比提出的能量流解析解與經(jīng)典的時空平均波動解，檢驗自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型的有效性。

1 完全自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)

1.1 等效復(fù)彎曲剛度與損耗因子

圖1為完全自由阻尼梁斷面圖，基梁表面完全敷設(shè)阻尼層。基梁與自由阻尼層的厚度分別為hb和hd，基梁的長度為L，寬度為b，中性層高度為hN。約定在后續(xù)的公式推導(dǎo)中，和基梁相關(guān)的量以下標(biāo)s標(biāo)識，而和阻尼層相關(guān)的量以下標(biāo)d標(biāo)識，上標(biāo)*表示物理量的復(fù)數(shù)形式。

圖1 完全自由阻尼梁斷面圖Fig.1 Section view of a beam with full free layer damping

在dx微段內(nèi)，彎曲波作用下軸向纖維ab的變形ε與應(yīng)力σi為

(1)

式中：w(x,t)為完全自由阻尼梁在彎曲波作用下的橫向位移;ω為激振力頻率;Ei為阻尼層和基梁的彈性模量。

若完全自由阻尼梁內(nèi)縱向力合力為零，則有

(2)

由此，中性層高度為

(3)

(4)

完全自由阻尼梁內(nèi)軸截面上的復(fù)彎矩與曲率成正比，則有

(5)

式中：Deq為完全自由阻尼梁的等效復(fù)彎曲剛度。

將式(1)代入式(4)，并聯(lián)立式(5)，則有

(6)

由此，完全自由阻尼梁等效復(fù)彎曲剛度為

(7)

另外，根據(jù)等效復(fù)彎曲剛度式(7)，完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的等效損耗因子為

(8)

式中：Re(·)和Im(·)分別為取復(fù)數(shù)實、虛部的函數(shù)。

1.2 能量密度控制方程

圖2為完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)，兩端簡支，基梁長度為L，于x=x0處作用了激振力頻率為ω(ω=

圖2 完全自由阻尼梁Fig.2 A beam with full free layer damping

2πf)的簡諧力F(x0)ejωt，產(chǎn)生的輸入功率為πin。

完全自由阻尼梁的橫向彎曲振動方程為[3]

(9)

式中：于x=x0處作用的簡諧力幅值為F(x0)，meq=ρdSd+ρbSb為完全自由阻尼梁單位長度上的等效質(zhì)量，其中ρd、ρb分別為阻尼層和基梁的密度，Sd、Sb分別為阻尼層和基梁的橫截面積。

根據(jù)式(9)，完全自由阻尼梁的橫向振動位移的波動解表示為

(10)

式中：A、B、C、D為由邊界條件確定的待定系數(shù)；kf為復(fù)彎曲波數(shù)，表達(dá)式為

(11)

其中：kf1和kf2為復(fù)彎曲波數(shù)的實部與虛部。

另外，彎曲波在完全自由阻尼梁中復(fù)波速表示為

(12)

彎曲波在完全自由阻尼梁傳播時，結(jié)構(gòu)的能量密度為彎曲變形能密度Uf和動能密度Vf之和，經(jīng)時間平均處理后，能量密度表示為[21]

〈ef〉=

(13)

式中：( )′為共軛算子；〈 〉為時間平均算子。

時間平均處理后的能量流表示為[21]

〈qf〉=

(14)

(15)

(16)

式中：α1、α2為幅值系數(shù)。

聯(lián)立式(15)和式(16)，能量密度和能量流的時空均值存在如下關(guān)系：

(17)

式中：φ=arctanηeq為自由阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼角。

另外，類似于結(jié)構(gòu)能量密度的時空平均處理，彎曲變形能密度Uf和動能密度Vf時空均值分別為

(18)

(19)

根據(jù)Lase等[22]，系統(tǒng)耗散功率πdiss正比于激振頻率和勢能密度，則有

πdiss=2ηωU

(20)

式中：U為勢能密度。

對于小阻尼結(jié)構(gòu)，動能密度與勢能密度相等，式(20)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

πdiss=ηωe

(21)

式中：e為結(jié)構(gòu)能量密度。

對于大阻尼結(jié)構(gòu)，式(21)已不再適用，文獻(xiàn)[3]的能量有限元模型采用式(21)描述附加自由阻尼結(jié)構(gòu)的耗散功率，忽略了動能密度與勢能密度差異對耗散功率的影響。

由此，將大阻尼結(jié)構(gòu)勢能密度式(18)代入系統(tǒng)耗散功率式(20)，則有

(22)

對于穩(wěn)態(tài)彈性振動系統(tǒng)，能量流平衡方程表示為

(23)

將式(17)、式(22)代入式(23)，完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程為

(24)

對比文獻(xiàn)[5]，式(20)充分考慮了大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)對能量密度控制方程的影響，更適于描述完全自由阻尼梁的高頻能量流特性。

如圖2所示，將完全自由阻尼梁劈分為①、②兩部分，對應(yīng)的橫向位移分別為wf1(x,t)和wf2(x,t)，交界面x=x0處滿足橫向位移和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，以及彎矩和剪力的平衡條件，則有

wf1(x0,t)=wf2(x0,t)

(25)

(26)

(27)

(28)

因此，聯(lián)立式(10)、式(25)～式(28)就可獲得完全自由阻尼梁的解析波動解。將波動解分別代入到式(13)、式(15)，即可獲得完全自由阻尼梁的時域平均波動解與時空平均波動解。

1.3 能量流分析

如圖2所示，以簡諧力作用點為界限，將組合梁分割為①、②兩個子結(jié)構(gòu)。約定下標(biāo)1、2分別表示依附于梁①、②的各物理量。由式(24)，梁①、②的的能量密度解表示為

(29)

式中：Ffi1、Ffi2為由邊界條件確定的待定系數(shù)，i=1，2；λf為式(24)的特征值。

將式(29)代入式(24)，則有

(30)

然后，將式(29)、式(30)代入式(17)，能量流表示為

(31)

(32)

對于兩端簡支邊界條件，能量流滿足如下邊界條件：

(33)

對于系統(tǒng)輸入功率作用點，同時滿足能量密度連續(xù)性條件和能量平衡條件，則有

(34)

(35)

完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的輸入功率為[23]

(36)

由此，聯(lián)立式(29)～式(36)，確定了完全自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。

2 局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)

2.1 能量傳遞系數(shù)

在航空航天工程中，往往在輕薄結(jié)構(gòu)的聲振性能最薄弱的區(qū)域敷設(shè)阻尼層，因而預(yù)示局部自由阻尼梁的高頻振動具有重要的工程價值。如圖3所示，在基梁系統(tǒng)輸入功率附近敷設(shè)自由阻尼層。當(dāng)彎曲波傳遞到阻尼層兩端界面時，由于界面附近幾何、力學(xué)特性的不連續(xù)性，入射的彎曲波將產(chǎn)生負(fù)向的反射波與正向透射波。因此，將局部自由阻尼梁分割為①～④4個部分，利用能量流平衡關(guān)系建立各個子結(jié)構(gòu)的耦合關(guān)系，結(jié)合能量密為了確定彎曲波在阻尼兩端的能量傳遞特性，分析如圖4所示的無限長局部自由阻尼梁結(jié)構(gòu)，在坐標(biāo)原點處分割為基梁和完全自由阻尼梁，以編號①、②表示兩段半無限梁。入射彎曲波A1入射至阻尼界面，在①中產(chǎn)生負(fù)向反射波B1和漸逝波D1，在②中形成正向透射波A2和漸逝波C2。

圖3 局部自由阻尼梁Fig.3 A beam with partial free layer damping

度控制方程求解局部自由度阻尼梁的能量流響應(yīng)。另外，約定下標(biāo)1～4分別表示依附于梁①～④的各物理量。

由此，半無限梁①、②的橫向振動位移的波動解表示為

(37)

(38)

式中：A1、B1、D1和A2、C2為待定系數(shù)；kfb為基梁(半無限梁①)的彎曲波波數(shù)。

阻尼交界面x=0處滿足橫向位移和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，以及彎矩和剪力的平衡條件，則有

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

在阻尼交界面x=0處的入射彎曲波、反射彎曲波和透射彎曲波滿足如下能量平衡關(guān)系：

(44)

將式(37)、(38)代入式(39)～式(42)，并結(jié)合式(43)，可得半無限梁①至②的彎曲波能量流透射

圖4 彎曲波的透射與反射Fig.4 Transmitted and reflected flexural waves

系數(shù)τff12、反射系數(shù)γff11分別為

(45)

(46)

2.2 能量流分析

對于兩端簡支邊界條件，圖3中梁①和④能量流qp1、qp4滿足如下邊界條件：

(47)

對于系統(tǒng)輸入功率作用點，圖3梁②、③的能量密度ep2、ep3，功率流qp2、qp3分別滿足能量密度連續(xù)性條件和能量平衡條件，則有

(48)

(49)

(50)

對于梁①和②交界面x=x1處，流出交界面一側(cè)的能量平衡關(guān)系為

(51)

(52)

式中：γff22為梁②至①的彎曲波能量流反射系數(shù)，τff21為梁②至①的彎曲波能量流透射系數(shù)。

對于梁③和④交界面x=x2處，流出交界面一側(cè)的能量平衡關(guān)系為

(53)

(54)

式中：γff33、γff44分別為梁③至④，梁④至③彎曲波能量流的反射系數(shù)；τff34、τff43分別為梁③至④，梁④至③彎曲波能量流的透射系數(shù)。

另外，結(jié)合式(44)～式(46)，對于保守的一維振動梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，能量傳遞系數(shù)滿足如下關(guān)系：

圖5 彎曲波能量傳遞Fig.5 Power transfer of flexural wave

(55)

由此，聯(lián)立式(31)、式(36)以及式(47)～式(55)，則可求解局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。對于局部自由阻尼梁的波動解，利用①～④交界面處的連續(xù)性條件與平衡條件，結(jié)合波動解的形式獲得。

3 數(shù)值算例

為了檢驗提出的自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型的有效性，以完全自由阻尼梁和局部自由阻尼梁結(jié)構(gòu)為數(shù)值算例，對比分析上述2種典型工程結(jié)構(gòu)的能量流解析解和時空平均的波動解。其中，時空平均的波動解為其時域平均的能量密度在本地一個波長的空間平均。

3.1 完全自由阻尼梁

完全自由阻尼梁中心承受幅值F=1 N的簡諧載荷(如圖2所示)，激振頻率f=0.5、2、4、6 kHz， 能量密度參考值eref=10-12J/m。基梁的長度L=1 m，寬度b=0.008 m，厚度hb=0.002 m。基梁結(jié)構(gòu)的材料密度ρb=2 700 kg/m3，彈性模量Eb=71 GPa，損耗因子ηb=0.01。自由阻尼層的厚度hd=0.004 m，材料密度ρd=980 kg/m3，彈性模量Ed=0.33 GPa，損耗因子ηd=1.3。

能量流解析模型的能量密度表征某一點附近一個波長內(nèi)的能量密度均值，因而并不代表該點的能量密度均值。圖6為完全自由阻尼梁在不同激振頻率簡諧力作用下的能量密度分布，能量流解析解反映了時空平均波動解的整體變化趨勢，而且隨著激振頻率的增加，兩者的差異逐漸減小。同時，由于載荷、邊界與結(jié)構(gòu)的對稱性，高頻能量流響應(yīng)呈現(xiàn)對稱關(guān)系。此外，由于能量流解析解忽略了近場解的影響，在激勵作用點和兩端約束處與時空平均波動解的差異最大。

3.2 局部自由阻尼梁

如圖3所示，局部自由阻尼梁的中部區(qū)域(0.25～0.75 m 區(qū)間)敷設(shè)黏彈性自由阻尼層，結(jié)構(gòu)其它幾何尺寸，材料特性以及載荷工況均與完全阻尼梁結(jié)構(gòu)相同。

圖6 不同激振頻率下完全自由阻尼梁的能量密度分布Fig.6 Energy density distribution of a beam with full free layer damping under different excited frequency

圖7為局部自由阻尼梁在不同激振頻率簡諧力作用下的能量密度分布，與完全自由阻尼梁相比，阻尼層長度的減小削弱了能量衰減作用，引起局部自由阻尼梁的振動更為劇烈；在阻尼層的兩端，波數(shù)的改變引起能量密度的不連續(xù)。能量流解析解仍然反映了時空平均波動解的整體變化趨勢，隨著激振頻率的增加，兩者的差異逐漸減小。鑒于載荷、邊界與結(jié)構(gòu)的對稱性，高頻能量流響應(yīng)呈現(xiàn)對稱關(guān)系。由于能量流解析解忽略了近場解的影響，在阻尼層兩端和兩端約束處與時空平均波動解的差異最大。

圖7 不同激振頻率下局部自由阻尼梁的能量密度分布Fig.7 Energy density distribution of a beam with partial free layer damping under different excited frequency

由此，通過以上典型算例，本文提出的能量流解析模型能夠較為精確地預(yù)測自由阻尼梁等大阻尼結(jié)構(gòu)的高頻能量流響應(yīng)，反映結(jié)構(gòu)高頻振動下的能量分布規(guī)律。

4 結(jié) 論

為了預(yù)測自由阻尼梁在高頻激勵下的振動響應(yīng)，推導(dǎo)了大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程，對比分析了本文提出的能量流解析解與經(jīng)典的時空平均波動解，獲得了如下的研究結(jié)論：

1) 構(gòu)建了完全自由阻尼梁的高頻能量流解析模型，求解了結(jié)構(gòu)的高頻振動特性。數(shù)值結(jié)果表明，能量流解析解與經(jīng)典的時空平均波動解一致，而且隨著激振頻率的增加，兩者差異逐漸減小。

2) 分析了彎曲波在阻尼結(jié)構(gòu)耦合處的能量傳遞特性，構(gòu)建了局部自由阻尼梁的高頻能量流解析模型，求解了結(jié)構(gòu)的高頻振動特性。數(shù)值結(jié)果表明，隨著激振頻率的增加，能量流解析解與經(jīng)典的時空平均波動解一致逼近，計算誤差逐漸減小。

綜上，本文提出的解析模型為能量流分析方法應(yīng)用于大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的高頻振動響應(yīng)預(yù)報提供了借鑒，為結(jié)構(gòu)的阻尼減振設(shè)計優(yōu)化提供了可靠的計算模型。