價格隨機變化的面向訂單企業原材料庫存優化模型

陳光會，趙 議，蘇 兵

（西安工業大學 經濟管理學院，西安 710021）

0 引言

原材料庫存優化主要包括原材料購買價格變化一次和變化多次的庫存優化問題。其中，原材料購買價格變化一次的庫存優化又分為購買價格上漲的庫存優化模型[1]和購買價格下降的庫存優化模型[2]。原材料購買價格變化多次的庫存優化包括購買價格連續變化的庫存優化[3-5]和購買價格隨機變化的庫存優化。對于原材料購買價格隨機變化的庫存優化研究中，Wang Y（2001）[6]以最小化期望庫存成本為目標建立原材料庫存優化模型，Berling P（2008）[7]令單一產品的購買價格隨機變化符合OU過程，以總庫存費用最小為目標建立庫存優化模型；胡雄鷹等（2008）[8]討論了價格季節性隨機波動環境下的產品采購；陳素芬等（2012）[9]令原材料購買價格的隨機變化服從布朗運動，以有限期內企業利潤最大為目標建立庫存優化模型。還有一些文獻研究了面向訂單[10（]make to order）企業庫存優化問題。Lu Y,Song J S（2005）[11]針對MTO企業原材料庫存成本最小為目標建立原材料優化模型；武育楠（2011）[12]在需求為正態分布的情形下，建立了以期望利潤最大為目標的MTO企業原材料庫存優化模型。

對國內外相關研究進行總結，發現現有的面向訂單企業原材料庫存優化要么以總成本最小，要么以期望利潤最大為目標建立模型并求解，但都假設客戶訂單能被完全滿足，這一點與企業的實際情況不符。針對以上研究的不足，本文在考慮原材料購買價格波動的基礎上，結合面向訂單企業庫存管理的特性，考慮原材料的供應因素以及客戶訂單滿足率，以克服以往面向訂單企業庫存優化未考慮客戶訂單滿足率的不足，以庫存總成本即訂購成本、采購成本、缺貨懲罰成本之和最小和客戶訂單滿足率最大為雙目標，對基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優化問題建立模型并進行求解，給面向訂單企業庫存優化提供依據。

1 問題描述與模型構建

1.1 問題描述

面向訂單企業接到客戶對產品A的訂單，其需求量為D，生產一件A產品需要n種原材料，分別為xi(i=1,2,…,n)，原材料購買價格是連續隨機變化的，客戶訂單的到來也是連續隨機變化的，以面向訂單企業總成本最小且客戶訂單滿足率F最大化為目標，決策A產品訂單下的原材料采購量，其中所有原材料都依賴于采購且都配套采購，并使得客戶訂單滿足率F∈[a，b] 。

為更好地解決價格波動的面向訂單企業原材料庫存優化問題，給出以下假設條件：

（1）生產中無殘次品，且都符合客戶要求；

（2）企業的生產成本和生產時間都可以忽略不計；

（3）客戶訂單不會被取消，且無緊急訂單；

（4）為滿足客戶訂單而采購的原材料不入庫直接生產。

令K表示固定訂購費用；Qi表示第i種原材料采購量的單位持有費用；Pi表示第i種原材料的單位購買價格；hi表示第i種原材料的單位持有費用；bi表示第i種原材料的單位缺貨成本；f表示客戶訂單滿足率；D表示客戶訂單量；ai表示第i種原材料的單位需求量。

1.2 模型構建

綜合考慮問題目標和所有的限制條件，建立模型如下：

目標函數（1）：企業總成本最小；目標函數（2）：以客戶訂單滿足率最大為目標，由第i種原材料最小的采購量決定產品的生產量（即實際供應量）除以客戶訂單需求量。

約束（3）產品A客戶訂單滿足率F小于等于最小的原材料的滿足率；約束（4）面向訂單企業對產品A的供應量的約束；約束（5）原材料采購價格服從布朗運動dPi=μidt+piσidω；約束（6）原材料的采購量的約束；約束（7）單位采購成本小于單位懲罰成本。

2 模型求解

2.1 設計近似算法CA對模型進行求解

對基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優化問題進行分析，在原材料價格隨機波動的情況下，使得客戶訂單滿足率盡可能大，在實際中可能發生兩種情形：

情形一：如果最小原材料的供應滿足率大于1時，即minfi＞1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時，客戶滿足率與成本成反比。

情形二：如果最小原材料的供應滿足率小于1時，即minfi＜1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時，客戶滿足率與成本成反比。

算法基本思想如下：

第一，面向訂單企業接到產成品訂單D，根據產品構成計算出qi=ai·D,(i=1,2,…,n)，即求出構成產品A的n種原材料的需求量。面向訂單企業針對訂單，采購原材料。原材料供應商對原材料xi(i=1,2,…,n)，的供應量為si(i=1,2,…,n)，計算第i種原材料的訂單滿足率排序，并進行比較，找出 minf。i

第二，分下述兩種情形

（1）當 minf＞1，計算

i

（2）當minfi＜1，計算

①若→0，則產品整體成本變化的趨勢基本不變，則盡可能大的滿足客戶訂貨；若＞0，則此時產品整體成本變化的趨勢是上漲的，由于未來價格上漲，企業必然會增加原材料的采購量，則令F=minfi。

②若＜0，表示產品整體成本變化的趨勢是下跌，未來價格下跌，則企業相應減少對原材料的采購量，則計算，排序，并進行比較，找出 max，則

第三，按照f進行配套采購n種原材料。

第四，根據原材料采購數量等計算總成本TC，輸出對應的Qi。

根據以上算法思想設計算法，首先求解最小原材料供應率小于1的情形下的算法。

2.2 設計算法CA

（1）算法CA的步驟

第1步：計算qi=ai·D,(i=1,2,…n)；

第3步：排序用冒泡法找出minfi；

第4步：若minfi＞1；

第6步：若→0，或＞0，令F=1；

第11步：輸出。

（2）算法CA的時間復雜度分析

算法第1步需要計算n次；第2步需要計算n次；第3步需要比較n-1次；第5至7步需要進行n次循環；第8步需要計算n次；第9步需要比較n-1次；第10至11步需要進行次n次輸出；所以該算法的復雜性為ο(n7)。由此得到以下定理。

定理1：購買價格波動的面向訂單企業原材料庫存優化問題算法CA的時間復雜度為ο(n7)，其中n為原材料種類數。

由于算法CA是一個近似算法，因此需要對算法的性能好壞進行分析，算法性能的好壞通常用算法的近似比來度量。

（3）算法CA的近似比分析

令OPT(I)表示實例I的最優解，A(I)表示應用算法CA對實例I的解。首先分析最優解并給出引理。

引理1：對于任一實例I，該問題最優解OPT(I)的下界為

即對于任一實例I，問題最優解OPT(I)的下界為，證畢。

應用算法CA對任一實例進行求解，算法得到的解：

根據以上分析，給出如下定理。

定理2：購買價格波動的面向訂單企業原材料庫存優化問題算法CA的近似比為：

近似比α與pi，maxF成正比，與minF，Qi成反比,如圖1所示。

圖1 近似比α與 pi、maxF、minF、Qi的關系

結合定理2進一步討論近似比的變化范圍并給出幾個推論。

當K=0時，算法CA的近似比為：

當K=0時，即采購無固定訂貨成本時，則有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論1如下。

推論1：基于客戶庫存成本最小的面向訂單企業原材料庫存優化問題算法CA的近似比上界為：

由于K≤max{k}，算法CA的近似比為：

當K=max{k}時，即采購成本最大，固定訂貨成本取最大值時，有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論2如下：

推論2：基于客戶庫存成本最小的面向訂單企業原材料庫存優化問題算法CA的近似比下界為：

由于近似比α的取值取決于pi、maxF、minF、Qi，因此，若原材料滿足率最大值與最小值相差不大以及價格波動不大時，即當α趨近于1時，算法CA下的解接近于最優解。

3 實例

本文以西安某公司為例，其產品液位測控儀表（按訂單生產裝配）生產物料清單如表1所示。其中：x1，x2，…，xn(i=1，2，…，n) 表 示 原 材 料 ；q1，q2，…，qn(i=1，2，…，n)表示原材料的需求量；a1，a2，…，an(i=1，2，…，n)表示單位產品原材料的需求量；s1，s2，…，sn(i=1，2，…，n)表示原材料的供應量；f1，f2，…，fn(i=1，2，…，n)表示原材料的訂貨滿足率。公司接到客戶對液位測控儀表的訂單，其需求量為D=200，公司啟動對液位測控儀表訂單的原材料采購，且客戶訂單滿滿足率最大化，現需決策原材料的采購量Qi，使得企業庫存總成本（固定訂貨成本200元+采購成本+缺貨懲罰成本）最小。

已知客戶訂單的需求量為D=200件A產品，則種原材料的需求量qi，供應量si，以及原材料客戶滿足率fi，結果如表1所示。

表1 液位測控儀表的物料清單

運用算法CA對實例求解如下：

第一步，首先根據產品的物料清單計算客戶訂單所需求的各種原材料的需求量qi，再根據原材料供應量si以及計算各原材料的供應率f，通過以上計算得出i各個原材料的供應率然后按照大小排列記為f1,f2,f3,…fn，運用冒泡法求出minfi=0.8，如表2所示。

第二步，由于minfi=0.8＜0.1則計算，得到，此時令F=minfi=0.8。

第三步，以此類推，計算n種原材料各個原材料的需求量，根據客戶滿足率F=0.8進行配套采購。此時，按照客戶滿足率采購如下頁表2所示。

第四步，計算企業總庫存成本minTC=115228.8。

對該公司的原材料庫存進行分析得出，在進行面向訂單企業原材料庫存優化決策過程中，如果原材料供應率發生變化導致原材料價格發生變化，那么應用基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優化模型進行庫存優化更為合適。此時，客戶訂單滿足率較高，且企業庫存成本較低，因此面向訂單企業原材料庫存得到了優化。

表2 客戶滿足率F=0.8時的采購數據

4 結束語

本文針對購買價格波動的面向訂單企業原材料庫存優化問題，以總成本（固定采購成本+采購成本+缺貨懲罰成本）最小為及客戶訂單滿足率最大的雙目標，建立面向訂單企業原材料采購模型模型，并設計近似算法求解。經過分析得出，在訂貨滿足率最大值與最小值相差不大以及價格波動不大時，算法得到的解接近于最優解，最后結合實例驗證模型和算法的有效性。