一維離散映射的數(shù)學(xué)實驗項目設(shè)計與實踐

熊梅　李順異　張大林

【摘 要】利用MATLAB軟件，對一維離散映射的參數(shù)分支進行模擬，通過數(shù)值實驗說明混沌對初值的敏感性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗;倍周期;混沌

中圖分類號： O172 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）05-0220-003

1 背景簡介

數(shù)學(xué)實驗是以實際問題為載體，把數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件和計算機有機結(jié)合起來，以數(shù)學(xué)理論知識作為原理，以軟件編程、圖形演示和數(shù)值計算等為實驗內(nèi)容，以實際生活問題和數(shù)學(xué)教材為實驗對象，以計算機作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結(jié)推廣為主要實驗方法。強調(diào)學(xué)生的主體地位，在教師引導(dǎo)下查閱文獻資料，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與實踐，再運用現(xiàn)代的計算機技術(shù)和數(shù)學(xué)專業(yè)軟件來進行數(shù)學(xué)推演和數(shù)值計算，以求出實驗結(jié)果。用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)，借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來分析解決實際問題，并撰寫實驗報告或論文，使學(xué)生得到全面鍛煉，從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主動探索精神、綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識。

“混沌”一詞出現(xiàn)在生活的各個領(lǐng)域，不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理和生物等自然科學(xué)，而且出現(xiàn)在金融、經(jīng)濟和管理等社會科學(xué)，甚至出現(xiàn)在文學(xué)和藝術(shù)范疇：從宇宙起源到龍卷風(fēng)的產(chǎn)生，從金融危機到侏羅紀公園中恐龍的重現(xiàn)。本文從一個一維離散映射開始，用MATLAB軟件進行模擬研究，進而討論了復(fù)雜而有趣的混沌現(xiàn)象.

2 實驗?zāi)康?/p>

（1）復(fù)習(xí)函數(shù)的迭代，差分方程，不動點等基本知識;Matlab編程實踐時間序列圖，蛛網(wǎng)迭代圖，參數(shù)分支圖等的作圖.

（2）使用數(shù)值迭代，蛛網(wǎng)迭代等方法來研究混沌的數(shù)值特征.

（3）了解渾沌的倍周期分叉，遍歷性和某些普適結(jié)構(gòu)，計算機和數(shù)學(xué)結(jié)合在科學(xué)研究中的重要性.

（1）在區(qū)間[6，18]所劃分的各區(qū)域（I至V）內(nèi)自行選擇參數(shù)α的值，做出映射（1）迭代的時間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖，觀察并比較圖形特征.通過數(shù)值實驗說明混沌對初值的敏感性.

由分支圖（圖1）可知，從區(qū)域I到V，映射（1）經(jīng)歷了典型的倍周期到混沌過程.通過作出迭代映射的時間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖，表征典型的周期解和混沌現(xiàn)象.如圖2所示，分別取α=13，17作出圖形，其很好的表征了映射的周期性和混沌特性，回顧了”迭代映射”的基本知識，考查了迭代映射的時間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖形的基本作圖。

用數(shù)值試驗說明混沌對初值的敏感性，即初值相差非常小，經(jīng)過充分迭代之后結(jié)果相差也是非常大的.將對”混沌對初值的敏感性”轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值試驗的設(shè)計與實踐，令初值x0=0.1，另一初值X0=x0+10-6，? |x0-X0|=10-6.取α=17，作出由初值x0，X0所確定的時間序列圖和迭代絕對誤差圖.由圖3可知，迭代次數(shù)n≤25時，由初值x0，X0出發(fā)所確定的迭代結(jié)果非常接近，而當(dāng)?shù)螖?shù)n>25時，迭代結(jié)果（絕對誤差）相差就很大了.通過數(shù)值試驗，形象的說明了混沌對初值的敏感性.

3.2 通過數(shù)值方法求取第一分叉值c1及第二分叉c2.

（1）利用Feigenbaum常數(shù)估計第三分叉值c3'.

（2）直接使用數(shù)值方法計算第三分叉值c3.

用估計方法和數(shù)值計算得到的結(jié)果有什么區(qū)別？

用數(shù)值方法計算分支值，要求學(xué)生給出分支點的估計值.如計算周期1周期2的分支值，可使用二分法，逐步搜索法等.在獲得第一和第二分叉值后，由Feigenbaum常數(shù)的定義

由（2）式可以給出第三分叉值的估計值.注意到Feigenbaum常數(shù)是取極限以后的結(jié)果，所以估計值c3'與數(shù)值計算直接得到的c3有較大差異，引導(dǎo)學(xué)生探討發(fā)生這種情形的根本原因.

3.3 作出映射（1）關(guān)于參數(shù)α在區(qū)間[6，40]上變化的參數(shù)分支圖，闡述分支圖的特征，比較它與Logistic映射分支圖形的異同.

由分支圖知道，映射（1）由倍周期分支到混沌，再經(jīng)歷周期窗口到混沌，中間又有倍周期分支到混沌.在每一個小的部分與整體是自相似的，迭代結(jié)果的范圍逐步增大，而Logistic映射只在α∈[0，4]上存在.

4 實施數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才

4.1 數(shù)學(xué)實驗及其分類

數(shù)學(xué)實驗是以實際問題為載體，把數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件和計算機有機結(jié)合起來，以數(shù)學(xué)理論知識作為原理，以軟件編程、圖形演示和數(shù)值計算等為實驗內(nèi)容，以實際生活問題和數(shù)學(xué)教材為實驗對象，以計算機作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結(jié)推廣為主要實驗方法.強調(diào)學(xué)生的主體地位，在教師引導(dǎo)下查閱文獻資料，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與實踐，再運用現(xiàn)代的計算機技術(shù)和數(shù)學(xué)專業(yè)軟件來進行數(shù)學(xué)推演和數(shù)值計算，以求出實驗結(jié)果.用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)，借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來分析解決一些實際問題，并撰寫實驗報告或論文，使學(xué)生得到全面鍛煉，從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主動探索精神、綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識.

圖3 時間序列圖和絕對誤差圖，其中α=17，x0=0.1，X0=x0+10-6.

圖4 映射（1）關(guān)于α∈[6，40]的分支圖

按其實驗內(nèi)容和性質(zhì)，常可分為以下六個層次的實驗：（1）基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)實驗.此類實驗的目的是要求學(xué)生掌握一些常用數(shù)學(xué)軟件包的基本命令，熟悉相關(guān)軟件的圖形繪制與數(shù)值計算等的基本技能.（2）驗證性數(shù)學(xué)實驗.要求學(xué)生通過對數(shù)學(xué)實驗現(xiàn)象的觀測，驗證數(shù)學(xué)中的基本理論和經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，以增強其對數(shù)學(xué)概念的認識，并揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵.（3）研究性數(shù)學(xué)實驗.要求學(xué)生根據(jù)教師提出的實驗課題設(shè)計相應(yīng)的實驗方案，運用數(shù)學(xué)理論相關(guān)知識和數(shù)學(xué)技巧，尋求解決實際問題的途徑，得出研究性結(jié)論.（4）應(yīng)用性數(shù)學(xué)實驗.要求學(xué)生結(jié)合實際生活問題，如太陽能房屋的造型設(shè)計、股市行情走勢分析、基金投資分配等，建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并運用數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)值計算，從而指導(dǎo)實際問題.（5）拓展性數(shù)學(xué)實驗.要求學(xué)生學(xué)會揭示數(shù)學(xué)理論之間的聯(lián)系并從中拓展發(fā)現(xiàn)新的知識，或拓展到其他相關(guān)領(lǐng)域（如運籌與優(yōu)化、數(shù)值方法計算、分形與混沌等科學(xué)領(lǐng)域）.（6）綜合性數(shù)學(xué)實驗.[5]