小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何圖形困難的調(diào)查與策略

藍和平 卓泳萍

摘 要：空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是，由于幾何內(nèi)容抽象，強調(diào)演繹推理，所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點。如何突破這一難點？首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因，然后找到有針對性的策略。

關(guān)鍵詞：幾何題；困難；調(diào)查；對策

空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是，由于幾何內(nèi)容抽象，強調(diào)演繹推理，所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點。如何突破這一難點？首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因，然后找到有針對性的策略。于是，我決定采取問卷調(diào)研和學(xué)生解題過程相結(jié)合的方法研究。

一、問卷調(diào)研

六年級兩個班共100人，每人一卷，我強調(diào)調(diào)研的真實性。同學(xué)們積極配合。對調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計如下表：

從整個統(tǒng)計表看，學(xué)生在知道計算公式方面（問題1、問題2）“能”的人數(shù)比例較高，而公式的推導(dǎo)過程（問題3、問題4）“能”的人數(shù)比例較低。從數(shù)據(jù)上顯示出學(xué)生沒有深刻體驗到公式的推導(dǎo)過程。問題5“不能”的人數(shù)比例是65%，學(xué)生對于一些幾何概念很模糊。問題10“沒有”的人數(shù)比例是80%，學(xué)生不善于反思自己的思維過程，長久下去必定導(dǎo)致思維單一。另外在添加輔助線、畫圖助理解、觀察幾何模型、畫立體圖四個方面“沒有”的人數(shù)比例也較高。如此看來，學(xué)生的識圖和作圖能力較弱。而識圖和作圖能力直接影響到學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。

可見，學(xué)生在空間想象力、識圖作圖、概念闡述、思維靈活性四個方面存在問題。為了進一步證實學(xué)生解答幾何題困難的原因，我挑選教學(xué)中出錯率較高的幾何題，讓學(xué)生解答，了解出錯的原因，挖掘影響學(xué)生正確解答幾何題的不良因素。

二、結(jié)合問卷調(diào)研的結(jié)果和教學(xué)中學(xué)生的解題過程進行具體分析

1.空間想象能力差

學(xué)生中已經(jīng)了解求解圖形面積公式的占比高達85%，但是僅有44%了解推導(dǎo)這一計算方程的經(jīng)過。由此可知，多數(shù)學(xué)生并未有補、割、平移和旋轉(zhuǎn)等計算推導(dǎo)經(jīng)驗，只是將公式死記硬背下來。學(xué)生并不了解圖形轉(zhuǎn)化的流程經(jīng)過，尤其是立體幾何學(xué)科，學(xué)生“畫”“看”“思考”的不夠多，沒有能力將立體問題轉(zhuǎn)為平面幾何問題，不具備較強的空間想象能力。

如下面左圖是一個標(biāo)準(zhǔn)圖形，圖形（ ）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后和標(biāo)準(zhǔn)圖形完全相同（圖1）。

這是有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的知識，許多學(xué)生做錯了。學(xué)生沒有實際的物體去實踐操作嘗試，只能在腦海里想象，這就要求學(xué)生有一定的空間想象能力，一旦想象模糊，題目就會出錯。可見，學(xué)生的空間想象力影響到幾何題的正確性。

2.識圖和作圖能力較弱

調(diào)查問卷表明學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的主動性。學(xué)生在面對幾何題計算求解過程中，更加慣于從條件和問題之間尋找其中內(nèi)在關(guān)聯(lián)、摸索思考，但很少審題并繪制圖形分析題干，而認(rèn)為繪圖計算需要耗費大量的時間精力。例如，下面這道題，100名學(xué)生里45人做錯了。

選擇題：將平行四邊形拉成長方形，那么平行四邊形面積（ ）長方形面積。

A.大于 B.等于 C.小于

這一題其實很好理解，只需將繪圖并對比“高”就能夠得到答案。可是學(xué)生在實際計算時，卻很容易出錯。筆者了解到多數(shù)得出正確答案的學(xué)生在解題時都在稿紙上繪制了圖形。而沒有得出正確答案的學(xué)生（共計45名）中，有38人解題從不繪圖，胡亂猜測、盲目下筆。

除了不善于畫圖以外，學(xué)生的識圖能力也較弱。有些圖形題看似復(fù)雜，其實認(rèn)真細看，添加輔助線幫助分割，圖形就會變得很簡單。例如，求陰影部分面積（圖2）。大部分學(xué)生覺得無從下手。其實只要在圖形上添兩條輔助線，把圖分割移補后可以得到：陰影部分的面積剛好等于正方形面積的二分之一。

3.概念闡述欠準(zhǔn)確

幾何題中的概念比較多，概念所反映的內(nèi)涵是非常明確的，來不得半點模糊。一旦理解不透，思維推理不嚴(yán)謹(jǐn)，解題就會出現(xiàn)錯誤。在求解下題“星星工程項目組建設(shè)過程中使用的新型壓路機的滾筒結(jié)構(gòu)直徑大小為1m，滾筒總長1.5m，如果以10圈/min的速度轉(zhuǎn)動，一小時能夠前進多遠？”有60%的學(xué)生錯列式為3.14×1×1.5×10，把底面周長算成了圓柱的側(cè)面積，學(xué)生對底面周長的含義并不十分理解。

4.解題思維不靈活

許多學(xué)生在做題的時候表現(xiàn)出不能觸類旁通，只能是老師怎樣講的就怎樣用。對于延拓性的題目感到束手無策。例如學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的面積計算后，解答以下三道應(yīng)用題。

（1）圖中半圓的直徑是5厘米，求整個圓的面積。

（2）丁丁用一根長31.4米的紅色鐵絲，然后繞成一個圓形，請求出這個圓的面積。

（3）已知半圓的周長等于10.28厘米（圖3），求半圓的面積。

對于第（1）題，并沒有多少學(xué)生感到困難。解答第（2）題時，有部分學(xué)生感到比較困難，但經(jīng)過教師的點撥，很快就領(lǐng)悟如何解答。對于第（3）題很多學(xué)生就感到無從下手了。為什么學(xué)生會感到第（3）題很困難？因為這題不像書本的例題，他們找不到“圓的半徑是多少”。就算有的學(xué)生懂得方法，可是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，求半徑時錯列式為“10.28×2÷3.14÷2”，把“半圓周長中的直徑”漏掉了。學(xué)生受到了書本例題的影響，教師教過的題，他們就會做；沒有教過的題，越不典型，就有越多學(xué)生可能解決不了。這種消極的思維方式，不僅影響到小學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)，可能成為中學(xué)階段學(xué)習(xí)的一個隱患。

三、策略

1.訓(xùn)練看、畫、想，培養(yǎng)空間想象力

在進行幾何初步知識教學(xué)時，應(yīng)該重視學(xué)生的觀察、繪圖、思考。也就是“多看”，多閱讀教材，多對比、觀察不同模型、圖形以及實體等；“多畫”即經(jīng)常練習(xí)繪制3D圖，經(jīng)常從不同角度繪圖；“多想”即將實體轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀文Ｐ停⑾胪ú煌瑘D形和部分的關(guān)聯(lián)，閉上眼睛之后在腦海中重現(xiàn)想象幾何圖形。譬如在教授圓錐體時，高線就是學(xué)生無法真實看見，也無法觸摸到，很難掌握的知識，因此教師可以運用模型展示、操作實踐，引導(dǎo)學(xué)生觀察，助其建立圓錐體的“高”這一概念。在授課時，教師不妨用教具順著底面直徑和頂點之間連線將圓錐切開，接著展開讓學(xué)生觀察所獲截面（等腰三角形），三角形底邊為底面圓直徑，從底面圓心到頂點之間直線距離即為“高”。隨后再讓學(xué)生親自測量“高”，并在黑板上繪圖標(biāo)識。如此一來，抽象概念就變得具體而形象了，學(xué)生更好理解。總之，“多看”“多畫”“多想”是培養(yǎng)空間想象力的重要途徑。

2.注重實驗操作，建立形體表象

常言道“光說不練假把式”。圖形知識的教學(xué)過程中，不應(yīng)該僅僅重視“觀察”，還應(yīng)該結(jié)合實驗操作教學(xué)，幫助學(xué)生更好地感知理解幾何形體。譬如在教授“圓柱表面積”部分內(nèi)容時，老師可以利用教具，將圓柱體展開，隨后帶領(lǐng)學(xué)生繪制展開圓柱體后所得平面圖，再說明各面計算方法。如此一來，學(xué)生先觀察然后繪圖，就很容易理解“圓柱表面積”這一知識點了。

3.加強變式訓(xùn)練，掌握解題技巧

在求解幾何題時常用的方法和數(shù)學(xué)思想有翻折、平移、割拼、割補、借用、旋轉(zhuǎn)以及添線等。完成基礎(chǔ)知識部分教學(xué)之后，筆者運用活動課，設(shè)計了大量練習(xí)題，練習(xí)上述解題方法的應(yīng)用，增強學(xué)生的知識應(yīng)用和問題求解能力。如圖4，即為割補方法解題的案例。學(xué)生只有認(rèn)真識圖，才能正確地移補陰影部分，還原成一個三角形。圖中的陰影部分就是拼成一個三角形。又如，圖5是利用添線、割拼的方法解答的。這是求圖形面積的幾何題，圖形很特別，用常規(guī)思路解答，常常無從下手。若能巧添輔助線，就能化難為易，使問題迅速得到解決。用線連接起來后可以看出，這個圖形的面積是一個正方形的面積加上一個圓形的面積。只要能作出準(zhǔn)確的輔助線，學(xué)生便會體驗到柳暗花明又一村的美妙。

學(xué)生解答幾何題困難的原因是復(fù)雜多樣的。本人只是從學(xué)生方面挖掘原因，提出實踐性的對策。實踐后我感覺效果很好，因此拿來與為“學(xué)生解答幾何題困難”犯愁的同行參考。學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，對老師的教育方法提出很高的要求。愿大家共同努力，把解幾何題的活動更好地變成學(xué)生動腦筋、再創(chuàng)造的過程。