基于復數微分算子的最優化分解方法及其應用

孟祥晶，程軍圣，楊 宇，潘海洋

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082)

在機械故障診斷的研究領域中，目前的研究熱點是選擇合適的信號處理方法完成對設備振動信號的分析。常見的方法有短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，簡 稱STFT）[1]、小 波 變 換(Wavelet Transform，簡稱WT)[2]、經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD）[3–4]以及由EMD 衍生出的局部特征尺度分解（Local Characteristic scale Decomposition，簡稱LCD）方法和局部均值分解（Local Mean Decomposition，簡稱LMD）方法等。上述信號分析與處理方法均在機械振動信號處理方面得到了廣泛的應用并取得了較好的效果[5–7]。

STFT和WT作為早期的信號分析方法，通常受到固定基函數的制約，往往使得分解的結果不具有物理意義，從而不能夠有效提取混合信號的最本質特征。EMD 及其衍生算法是近期最具代表性的信號分析方法，但是仍存在端點效應及模態混疊等缺點。鑒于以往信號處理方法的不足及信號的非線性特點，Thomas 等提出了自適應最稀疏時頻分析（Adaptive Sparsest Time Frequency Analysis,簡 稱ASTFA）[8]方法。其主要思想是在包含內稟模態函數（Intrinsic Mode Functions，簡稱IMF）[9]的過完備字典庫中搜索信號的最稀疏解，將混合信號的分解問題轉變為獲得單分量個數最少的優化問題。ASTFA無需選取基函數，分解得到的每個分量都可以表示為一個包絡函數和一個余弦函數的乘積，相比STFT和WT 的分析結果更有物理意義，且在優化過程中抑制了端點效應和模態混淆。但是ASTFA 仍存在一些不足，如包絡函數比余弦函數更平滑是分量的約束條件，實際的包絡函數和余弦函數成分有可能發生交疊，致使分解結果受到影響。另外，ASTFA需要對信號的所有數據點進行優化，優化參數過多導致計算量變大。

針對ASTFA方法的不足，本文提出基于復數微分算子的最稀疏分解（Optimization Decomposition Based on Complex Differential Operators，簡 稱CDOOD）方法。CDOOD 的實質是對原始信號進行濾波，即設計濾波器χ(k|λ)，然后對其參數λ進行優化，以便獲得信號的最優化解。由于使用了濾波器，CDOOD 需要優化的參數個數遠遠小于ASTFA，因此該方法極大地減少了計算量。此外，CDOOD 約束條件為使得單分量滿足局部窄帶信號[10]的條件，與ASTFA相比較，克服了包絡函數和余弦函數成分有可能發生交疊而導致分量的物理意義不明確的缺點。

綜上所述，本文提出了CDOOD方法，并介紹其基本原理。首先建立適合非線性與非平穩信號的濾波器，其次根據濾波后的信號產生復數微分算子并將分量約束為局部窄帶信號，最后通過優化算法尋找目標函數的最優化解。使用仿真信號進行分析，結果表明了CDOOD 方法不但克服了EMD 在分解環節中出現的端點效應與模態混疊的缺點，也克服了ASTFA出現端點效應的缺點，并且在準確性和正交性方面具有優越性。使用CDOOD方法對齒輪與軸承復合故障進行診斷分析，結果表明該信號分解方法在旋轉機械復合故障診斷中，相比于EMD 和ASTFA，能夠更準確地提取故障特征。

1 CDOOD方法原理

CDOOD 方法的主要思想是通過優化濾波器參數將混合信號的分解問題轉變為非線性優化問題，優化目標為使得分解的余量的能量最小，約束條件為使得單分量滿足局部窄帶信號的條件，最終優化分解為若干個內稟窄帶分量。其分解步驟如下：

(1) 選擇一時域信號s(t)，同時令si(t)=s(t)（si(t)是每次迭代的初始輸入信號）；

(2) 對si(t)進行快速傅里葉變換，得到si(k)=fft(si(t))，si(k)的快速傅里葉逆變換為si(t)=ifft(si(k))；

(3)建立濾波器χ(k|λ)，其中λ=[ω,ωb,ωc]，由于使用遺傳算法優化濾波器參數，并且隨機生成初始種群，故ω、ωb與ωc隨機產生

通過步驟(3)獲得具有一定特征的濾波信號，同時建立了完備字典庫Dic

符合式（2）條件的稱之為窄帶信號。假設一個窄帶信號的任意一個時間點上都存在一個臨域區間，使得信號在此區間滿足過完備字典庫的條件，那么這個信號就被稱作局部窄帶信號，本文稱其為內稟窄帶分量（Intrinsic Narrow-Band Components，簡稱INBC）。

(5)利用遺傳算法解決如下的最優化問題：

利用步驟(4)中的復數微分算子使內稟窄帶分量在式（3）中為零[11]，進而得到最優化參數λ0，之后令INBCi=ifft[χ(k|λ0)si(k)]；得到一個內稟窄帶分量。

(6) 為了繼續得到內稟窄帶分量，令si+1=si-INBCi；

(7)若||si+1||2<ξ，則分解終止，否則令i=i+1并返回第二步，直至得到所有的內稟窄帶分量。

2 仿真信號對比分析

考慮如下的仿真信號

圖1 CDOOD方法流程圖

其中x1(t)是調幅調頻信號，x2(t)是簡單的正弦信號。混合信號x(t)的采樣頻率1 024 Hz，采樣時間為1 s。x(t)及其分量的波形圖如圖2所示。

圖2 混合信號及其分量的波形圖

為了說明CDOOD 時頻分析方法的分解性能，對仿真混合信號x(t)分別采用EMD、ASTFA 與CDOOD進行分解，分解結果如圖3至圖5所示。由圖2 至圖5 的分解結果可知，經過EMD 的分解可以得到4 個主要的IMF 分量，IMF1和IMF2中包含了原信號的主要能量，但仿真信號中的x1(t)、x2(t)并未被分解開來，其分解效果不明顯，端點效應嚴重。ASTFA分解結果出現了明顯的端點效應，并且分解的殘余較大，能量泄露嚴重。相比EMD和ASTFA，CDOOD的分解結果更加平滑，殘余更小且無明顯的能量泄露和端點效應。由此可以看出CDOOD 能更有效抑制端點效應且分解效果更好。

圖3 混合信號基于EMD的分解結果

圖4 混合信號基于ASTFA的分解結果

圖5 混合信號基于CDOOD的分解結果

另外，為了直觀觀察各分解方法的分解效果，分別作出各分量的誤差曲線，如圖6 所示。可以看出，ASTFA 的誤差小于EMD，CDOOD 的誤差小于ASTFA，說明了CDOOD 方法的分解能力強于ASTFA和EMD。

為了進一步量化比較CDOOD、ASTFA及EMD 3 種方法的分解能力，分別使用能量誤差Ei和相關系數ri[12]考察分解分量與真實分量的吻合程度；使用正交性指標IO考察3種方法的正交性。具體數值如表1所示。

由表1 可以看出，相比于EMD 和ASTFA，CDOOD 的分解分量與真實分量的能量誤差更小，相關系數更高，正交性指標更小，說明了CDOOD的分解能力確實強于EMD和ASTFA。

圖6 基于EMD、ASTFA、CDOOD的信號分解結果各分量誤差曲線

表1 基于CDOOD、ASTFA、EMD 3種方法的分解結果評價指標比較

3 齒輪箱復合故障診斷實驗分析

為了驗證CDOOD 在實際應用中的可行性，將所提方法用于湖南大學試驗故障臺采集的機械復合故障數據中。該試驗通過激光切割，在軸承和齒輪上模擬混合故障。滾動軸承的型號為SKF6307-2RS，在軸承的外圈上切割寬0.15 mm、深0.2 mm 的槽。齒輪的齒數為37，在齒輪上切掉一個齒。至此齒輪箱復合故障設置完畢。實驗中通過將加速度傳感器放置于合適的位置來采集振動信號，采樣頻率為fs=8 192 Hz，采樣時間為1 s。滾動軸承與齒輪所在軸的轉速為600 r/min，即轉頻為fr=10 Hz，經過計算，滾動軸承出現外圈故障時的特征頻率約為fo=31 Hz。

將采集到的齒輪箱復合故障信號（如圖7所示）進行包絡譜分析，得到的結果如圖8所示。

圖7 復合故障信號時域波形圖

圖8 復合故障信號包絡譜

從其包絡譜可以分析出，復合故障信號中的軸承故障特征頻率及其2 倍頻、3 倍頻等明顯，說明軸承故障被成功提取出來，但是齒輪故障特征頻率被其它信號的所淹沒，無法判斷齒輪是否發生故障。

對復合故障振動信號進行EMD、ASTFA 和CDOOD分解，分解的結果分別如圖9至圖11所示。

圖9 EMD分量的時域波形圖

圖10 ASTFA分量的時域波形圖

圖11 CDOOD分量的時域波形圖

使用包絡譜分析方法對分解后所得分量進行解調，如圖12至圖14所示。

圖12 EMD分量的包絡譜

圖13 ASTFA分量的包絡譜

圖14 CDOOD分量的包絡譜

由圖12可以看出，IMF1至IMF4分量解調后均可在fo及其倍頻處得到較為明顯的譜線，符合軸承的故障特征頻率。由圖13可以看出，IMF1分量解調后可在fr處得到較為明顯的譜線，但在其余非特征頻率處也存在幅值更高的噪聲譜線，影響對齒輪故障的判斷。IMF2分量解調后可在fo及其倍頻處得到較為明顯的譜線，符合軸承的故障特征頻率。由圖14可以看出，INBC1分量經過包絡解調后，在頻率fo及其倍頻處譜線清晰可見，這與軸承故障特征相吻合。在INBC2分量的包絡譜中存在一條很明顯的譜線，且頻率正好是齒輪的嚙合頻率，分量的包絡譜在fo處也存在明顯的譜線。

對比圖12至圖14可知，各分量解調以后，EMD可提取軸承的故障信息，ASTFA 和CDOOD 可同時提取軸承和齒輪的故障信息，與ASTFA 相比，CDOOD在提取齒輪故障信息時，其幅值更大，受噪聲影響更小，效果更明顯。綜上所述，此方法具有能夠分別提取軸承以及齒輪故障特征的優點，因此，CDOOD 方法能夠有效應用于旋轉機械復合故障診斷。

由此可以說明該方法既可以把復合故障信號中的軸承故障特征提取出來，也可以將低頻的齒輪故障特征提取出來，這就為CDOOD 方法能夠應用于旋轉機械復合故障診斷提供了有效證據。

4 結 語

提出了一種新的適合處理非線性與非平穩信號的信號分解方法——CDOOD 方法，相對ASTFA 和EMD，CDOOD具有以下優點：

（1）CDOOD只需對濾波器參數進行優化，其優化參數的個數遠遠小于ASTFA的優化參數個數，從而大大減少了計算量。

（2）CDOOD 使用復數微分算子約束單分量滿足局部窄帶信號的條件，與ASTFA 相比較，克服了包絡函數和余弦函數成分有可能發生交疊而導致分量的物理意義不明確的缺點。仿真分析的結果表明，相對ASTFA 和EMD，CDOOD 在端點效應、模態混淆、正交性、準確性等方面具有一定的優越性。