基于Euler Bernoulli理論的壓電系統集中參數模型修正

宋偉志，周 輝，張晨駿，陳智勇，趙海軍，2，岳遂錄

（1.洛陽理工學院，河南 洛陽471023； 2.天津職業技術師范大學，天津300222）

近些年，微電子機械系統（MEMS,Micro-Electro-Mechanical System）及集成電路超低功耗技術（Ultra-low power integrated circuit technology）得到快速發展，無線電子設備的功耗降到了微瓦數量級，這使得利用振動能量收集器為這些設備提供電能變為可能。壓電俘能系統由于結構簡單、抗電磁干擾能力強而得到國內外學者的廣泛研究[1–7]。常用的俘能系統設計是基于懸臂梁結構，如圖1所示。

在系統建模分析中，多采用集中參數模型[2–4,8–10]，如圖2所示。這種模型以集中參數描述懸臂梁的運動機理（一般描述自由端運動）。這些參數包括等效剛度keq、等效質量meq、等效阻尼ceq。keq可以通過在懸臂梁自由端施加集中荷載，測量其靜態形變量來求得，meq可以在基礎靜止情況下，借助瑞利商數[11]將懸臂梁的動能表示為自由端速度形式獲得，ceq可通過振子半衰期或阻尼振動曲線來求得。

圖1 基礎平動及轉動時懸臂梁示意圖

然而，壓電俘能系統懸臂梁結構振動屬于基礎激勵問題，懸臂梁振動由本身慣性激勵引起，在懸臂梁質量不可忽略的情況下，懸臂梁分布質量對激勵項貢獻一慣性力，而當M/meq≤1（M為懸臂梁末端質量，meq表示懸臂梁質量）時，上述慣性力對激勵幅值影響顯著，此時使用集中參數模型會產生較大誤差。

圖2 懸臂梁基礎激勵下集中參數模型

針對上述存在問題，本文基于Euler Bernoulli理論，分別分析了Euler Bernoulli模型和集中參數模型自由端位移響應，利用懸臂梁末端相對位移傳遞函數，研究了在一階模態下集中參數模型峰值傳遞率的誤差，在理論推導的基礎上，對集中參數模型進行了修正，仿真及有限元分析表明，在1 階模態附近，修正后的集中參數模型峰值傳遞率誤差大幅降低。

1 集中參數模型修正分析

1.1 簡諧激勵下集中參數模型運動學分析

如圖2 所示，為便于分析，以y(t)表示基礎位移、x(t)表示等效質量meq位移響應建立系統運動學方程，如式（1）所示。

在簡諧激勵下，基礎激勵表示為：y(t)=Y0ejωt，設meq位移響應為：x(t)=X0ejωt，可分別求得

將上式分別代入方程式（1）可求得

鑒于壓電系統工作過程中，工作效率取決于等效質量與基礎間的相對運動，故引入等效質量與基礎相對運動z(t)，易知

將式（2）代入式（3）可得

1.2 簡諧激勵下Euler Bernoulli模型運動學分析

對于圖1 所示懸臂梁結構，以g(t)表示懸臂梁橫向運動，h(t)表示懸臂梁小幅轉動，以w(x,t)表示懸臂梁上任一點橫向位移，則懸臂梁振動方程為

式中：E 表示懸臂梁彈性模量，I 為懸臂梁截面關于中性軸慣性矩，m 表示懸臂梁單位長度下的質量，cs為懸臂梁應變率阻尼系數，在機電復合結構下通常表示為csI，ca為空氣阻尼系數。

同上，為分析懸臂梁末端與基礎間相對運動，引入wb(x,t)、wr(x,t)。其中wb(x,t)表示基礎位移，wr(x,t)表示懸臂梁末端相對于基礎位移，則

將式（6）代入式（5）可得到

即為懸臂梁末端相對位移的運動方程。由式（7）可知，懸臂梁激勵包括慣性力及外部阻尼效應。

方程式（7）的解可表示為收斂本征函數級數的形式[12]

對于懸臂梁結構，相對運動的邊界條件為

在比例阻尼情況下，質量歸一化本征函數φr(x)同樣適用于無阻尼自由振動，則邊界條件可簡化為

由上述公式及邊界條件可得第r 階模態下質量歸一化本征函數

其中：λr為r 階模態下的無量綱頻率，由特征方程式（12）求得。

參數σr如式（13）所示

以δrs表示克羅內克爾符號表示第r 階模態的固有頻率，則式（11）滿足以下正交條件[12]

結合式(7)、式(9)、式(14)，可將偏微分方程轉化為無限常微分方程集合[13]

其中：ζr為系統阻尼比，fr(t)為模態力函數，可具體表示為

其中：

在初始條件為0時，求得模態力函數情況下，利用杜哈梅積分可求得模態響應：

綜上，結合式（11）、式（17），可求得式8(a)中懸臂梁任何部分的振動響應

在壓電俘能系統研究中，懸臂梁運動一般采用簡諧平動來化簡問題，基礎平動如式18(b)所示，且基礎不會發生轉動，故h(t)=0。

式中：A0為基礎簡諧振動的振幅，ω為激振頻率，j為虛數單位。

將式18(b)代入式（17）可求得簡諧激振下的模態響應

由式18(b)、式（11）、式18(b)、式（19）可求得在簡諧激勵下懸臂梁自由端（x=L）的振動響應，如式（20）所示

1.3 Euler Bernoulli及集中參數模型對比分析

利用上一小節推理結論，分析對比Euler Bernoulli及集中參數模型在簡諧激勵下的相對位移傳遞率，相對位移傳遞率定義為懸臂梁自由端相對位移響應與基礎位移輸入間的比值，同時對方程進行無量綱化，引入頻率比Ω =ω/ωr，則可分別得到兩種模型下的相對位移傳遞率

根據兩模型傳遞率函數，對系統1 階模態（r=1）進行分析，式中λ1、σ1可通過式（12）、式（13）確定。同時，由于傳遞率公式為阻尼比的函數，所以有必要對兩模型在不同阻尼比時的傳遞率函數進行分析，分析結果見圖3。

由圖3易知，在阻尼比相同情況下，集中參數模型傳遞率峰值存在較大誤差，阻尼比較小情況下，1階固有頻率附近其誤差達到36.14%。此外，由于集中參數模型為單自由度模型，不能反映懸臂梁高階模態，故隨著頻率比的增大，其誤差會進一步加大。

2 懸臂梁集中參數模型修正

當懸臂梁在低頻附近受到激勵時，由Euler Bernoulli 模型推出的相對位移傳遞率函數，可只取求和中的首項，而對于r ≥2 的項可忽略不計，則Euler Bernoulli模型中相對位移傳遞率函數為

圖3 阻尼比不同時兩模型傳遞率比較

引入傳遞率幅值修正參數α1，式（22）可簡化為

其中：

結合式（12）、式（13）、式（23）可求得修正參數值α1?1.565 98。即：如果集中參數模型固有頻率足夠精確，集中參數模型乘以修正因子α1即可得到Euler Bernoulli模型在低模態的簡化解。

為對上述修正因子的正確性進行驗證，分別做出集中參數模型、集中參數修正模型以及Euler Bernoulli 模型在阻尼比為ζ=0.05 時的相對運動傳遞率曲線進行對比，結果如圖4所示。

由圖4可知，修正后的集中參數模型在1階模態附近較大的頻率比范圍內和Euler Bernoulli 模型吻合很好，在1階模態之前，其相對位移傳遞誤差不超過5%，在2階模態附近開始有所偏差。但根據未修正的集中參數模型所求得的相對運動幅值存在很大偏差。

圖4 集中參數、修正集中參數及Euler Bernoulli模型相對位移傳遞率函數曲線（ζ=0.05）

對上述修正后的集中參數模型進行驗證，利用HyperMesh 建立了懸臂梁的有限元模型，有限元分析中，模型選用的參數及邊界條件如下。

表1 （a）模型信息

表1 （b）材料信息

邊界條件：

掃頻范圍：1 Hz～81 Hz；

阻尼比：0.05；

載荷：約束點施加豎直方向的強制位移，為便于分析，位置幅值為定值1 mm。

分析中懸臂梁約束端及自由端振幅、位移傳遞率結果見圖5。

圖5 懸臂梁約束端及自由端位移、位移傳遞率

為便于表示系統1 階模態附近的響應特性，做出懸臂梁系統在頻率比下的位移傳遞率曲線，如圖6所示。

分析系統在1 階模態處位移傳遞率誤差，結果見表2。

表2 1階模態處懸臂梁位移傳遞率誤差

圖6 懸臂梁位移傳遞率

由上述結果可知，修正后的集中參數模型與有限元分析結果較為吻合，其在1 階模態處位移傳遞率誤差為4.71%，而未修正的集中參數模型誤差達到32.75%。綜上可得，利用修正后的集中參數模型在低頻階段分析運動響應特性更為準確。

3 結語

為提高懸臂梁壓電系統集中參數模型的預測性能，利用Euler Bernoulli模型對集中參數模型進行了修正。通過模型結果對比及數值分析得到：未修正的模型相對位移傳遞率存在較大誤差，其誤差值一度達到32.75%，而修正后的集中參數模型相對運動幅值傳遞率曲線在1 階模態附近與Euler Bernoulli模型吻合很好，其誤差不超過5%，只有在2 階模態以后開始出現偏差。這說明提出的修正模型在低頻工作頻段具有較好的預測性能。利用上述結論，在簡化懸臂梁模型的基礎上，可進一步提高分析模型運動特性的準確性，這對懸臂梁結構在工程應用中的建模分析具有一定價值，尤其在懸臂梁式壓電俘能系統建模分析中，可更加準確地對系統輸出功率進行預測及處理。