自由空間中集群式有源噪聲控制系統(tǒng)布放對穩(wěn)定性的影響分析

玉昊昕，陳克安

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院 環(huán)境工程系，西安710072)

一般來說，集中式多通道有源噪聲控制系統(tǒng)在計算饋給次級源的控制信號時，需要使用所有次級通路傳遞函數(shù)的信息和所有誤差傳感器的信號[1]。集中式多通道有源降噪系統(tǒng)有利于提高降噪量和擴(kuò)展降噪?yún)^(qū)域，目前已經(jīng)廣泛運用在各種有源降噪工程中[2]。然而隨著次級源和誤差傳感器數(shù)量的增多，實現(xiàn)集中式系統(tǒng)所需要的計算量和成本隨之成指數(shù)級增長。在實際工程中，可以采用分散式控制策略來降低大規(guī)模有源噪聲系統(tǒng)的實現(xiàn)難度和成本，分散式系統(tǒng)將集中式系統(tǒng)拆分為多個獨立的單通道子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)只有一個次級源和誤差傳感器，各個子系統(tǒng)獨立運行，而不考慮各個子系統(tǒng)之間的聲耦合[3]。然而忽略子系統(tǒng)之間聲耦合作用將導(dǎo)致系統(tǒng)整體性能的下降并可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[4–5]。

集群式系統(tǒng)是一種新的系統(tǒng)實現(xiàn)策略，它介于集中式系統(tǒng)和分散式系統(tǒng)之間，如圖1所示。

圖1 集群式系統(tǒng)示意圖

集群式系統(tǒng)包含多個規(guī)模不一的子系統(tǒng)，各個子系統(tǒng)之間雖然互相獨立，但子系統(tǒng)本身是一個小規(guī)模的集中式系統(tǒng)。

類似的系統(tǒng)在振動或振聲控制中也稱為分布式（distributed）控制系統(tǒng)。在振聲控制的研究中發(fā)現(xiàn)某些代價函數(shù)下，分散式系統(tǒng)性能顯著差于集中式系統(tǒng)，而當(dāng)使用模塊優(yōu)化和局部代價函數(shù)時，分布式系統(tǒng)性能與集中系統(tǒng)一致[6]。而在平板結(jié)構(gòu)的振動控制中，分散式控制雖然能達(dá)到與集中式控制相近的性能，但是并不能保證收斂[7]。

與分散式系統(tǒng)相比，集群式系統(tǒng)由于各個子系統(tǒng)更多地考慮了自身次級源和誤差傳感器之間的聲耦合，因此有更好的穩(wěn)定性[6]；與集中式系統(tǒng)相比，由于子系統(tǒng)規(guī)模減小，又大大降低了系統(tǒng)實現(xiàn)難度和成本，是介于集中式和分散式系統(tǒng)之間的折衷形式。

由于常見的噪聲可以在頻域分解為各個頻率，因此本文通過建立集群式系統(tǒng)在單個頻率噪聲下的理論模型，并將控制迭代公式轉(zhuǎn)換為線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)[8]，分析系統(tǒng)布放對傳遞函數(shù)零極點的影響，得出使集群式系統(tǒng)在自由空間中保持穩(wěn)定的系統(tǒng)布放原則。

1 理論分析

1.1 控制算法

考慮有I個子系統(tǒng)的集群式系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)包含的次級源和誤差傳感器數(shù)均為N，使用多通道FxLMS 算法。顯然當(dāng)I=1 時，集群式系統(tǒng)等效為集中式系統(tǒng)，當(dāng)N=1 時等效為分散式系統(tǒng)。為了簡化分析，假設(shè)每個誤差傳感器處的初級噪聲均為由一個正弦信號經(jīng)過初級通路模型產(chǎn)生的單頻信號。所有子系統(tǒng)均使用該正弦信號作為參考輸入，如式(1)所示，式中ω為信號的數(shù)字頻率，n采樣時間。

這樣，整個系統(tǒng)的次級源和誤差傳感器總數(shù)均為NI，從第j個次級源到第k個誤差傳感器的次級通路傳遞函數(shù)在頻率ω處的響應(yīng)為

因此相應(yīng)的濾波x信號為

假設(shè)所有的子系統(tǒng)有相同的控制濾波器長度L與迭代系數(shù)μ，并在同一時刻開始控制，則誤差信號和控制器系數(shù)迭代公式分別為

式中：e(n)為各個誤差傳感器接收到的誤差信號矢量，d(n)為各個誤差傳感器處的初級噪聲信號矢量，R(n)和為如式(6)和式(7)所示的濾波x 信號矩陣。由于子系統(tǒng)之間在物理上的互相影響是實際存在的，因此R(n)是所有元素均不為0的方塊矩陣；而子系統(tǒng)之間互相獨立，每個子系統(tǒng)只有自身的次級通路和誤差信號信息，在進(jìn)行系數(shù)迭代時無法考慮其它子系統(tǒng)的影響，因此是對角方塊矩陣。

式(6)和式(7)中的Rp,q(n)表示第p 個子系統(tǒng)的傳感器到第q個子系統(tǒng)的次級源之間的次級通路脈沖響應(yīng)，如式(8)所示。

式中：w(n)為自適應(yīng)濾波器控制系數(shù)矢量，如式(10)到式(12)所示。

式(12)中：wj,l(n)表示與第j 個次級源相關(guān)的自適應(yīng)濾波器的第l個系數(shù)。如果用w(p-1)N+j,l(n)來表示第p 個子系統(tǒng)中第j 個濾波器的第l 個系數(shù)，則式(5)中單個系數(shù)的迭代公式如式(13)所示。

1.2 等效傳遞函數(shù)

對式(4)等號兩側(cè)做Z變換，整理得式(14)，在此式中，上標(biāo)H 表示厄米特共軛，S 為如式(15)所示的次級通路響應(yīng)矩陣。

式(15)中：Sp,q表示第p個子系統(tǒng)的次級源到第q個子系統(tǒng)的誤差傳感器之間的次級通路響應(yīng)矩陣，如式(16)所示。

對式(13)做Z 變換，并代入式(14)中的Wl(z)可得

式中

將式(17)代入式(14)，即可得到整個系統(tǒng)Z 變換后的方程，如式(20)所示。

式(20)中的求和部分包含的E(e±i2ωz)部分導(dǎo)致整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無法直接得出。因此這里可以進(jìn)一步假設(shè)參考信號為同步采樣信號，且每L 個采樣點對應(yīng)參考信號整數(shù)個信號周期[9]。在這一前提下，Lω就等于π的整數(shù)倍，因此有

這樣就去掉了式(21)中包含E(e±i2ωz)的部分，系統(tǒng)方程就化為

式中β稱為歸一化迭代系數(shù)，有

將式(18)代入式(22)，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

H(z)為NI×NI 傳遞函數(shù)矩陣，表示了每個誤差傳感器信號與所有初級噪聲之間的關(guān)系。式(24)表示集群式系統(tǒng)的收斂過程等價于一個反饋系統(tǒng)，G(z)為開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，β為反饋增益。

2 算例

2.1 單個子系統(tǒng)

首先考慮單個子系統(tǒng)在自由空間中的情況，假設(shè)子系統(tǒng)本身為一個小型的集中式系統(tǒng)，有2 個次級源、2 個誤差傳感器，其空間位置如圖2 所示。圖中尺寸為與波數(shù)k 相關(guān)的歸一化尺寸，即kd=1，即次級源和誤差傳感器分布在大小為1的正方形的四個頂角上。如果聲速為344 m/s，對于頻率100 Hz的信號，圖中距離1實際表示約548 mm。

圖2 集群式系統(tǒng)2通道子系統(tǒng)

自由空間中距離為l 的2 點之間的聲耦合系數(shù)為

如果進(jìn)一步假設(shè)揚聲器和傳感器電路的傳遞函數(shù)為1，則自由場中的次級通路響應(yīng)矩陣為

此時傳遞函數(shù)矩陣H(z)為2×2矩陣，包含了4個傳遞函數(shù)。β 從0 變化到0.1 時，H(z)零點的變化軌跡如圖3所示，根軌跡如圖4所示，圖中“○”表示β=0時的位置，“+”表示β=0.1時的位置。

注意到，在零點圖中，隨著β的變化有共軛零點始終保持在角度±ω處的單位圓上，說明H(e-iω)=0，也就是誤差傳感器處的信號為0，這與自適應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能一致。

圖3 單個子系統(tǒng)的零點軌跡

在根軌跡圖中，隨著β的變化，極點從角度±ω處的單位圓上向圓內(nèi)移動，根軌跡落在單位圓內(nèi)。

說明當(dāng)β=0時，極點與零點重合，H(e-iω)=1，也即誤差傳感器處的信號等于初級噪聲，系統(tǒng)不起控制作用，對應(yīng)μ=0時自適應(yīng)系統(tǒng)不進(jìn)行迭代。當(dāng)β>0時，系統(tǒng)極點落在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 單個子系統(tǒng)的根軌跡

2.2 兩個子系統(tǒng)

假設(shè)集群式系統(tǒng)包含2 個2.1 小節(jié)所述的子系統(tǒng)，子系統(tǒng)在自由空間中對稱布置，子系統(tǒng)之間的距離為d1，如圖5所示。

圖5 對稱布置的集群式系統(tǒng)

系統(tǒng)在不同d1下的穩(wěn)定性如表1 所示，d1分別為-0.1、0、0.1和1時的誤差迭代曲線如圖6所示。

表1 集群式系統(tǒng)在d1不同時的穩(wěn)定性

圖6 d1不同時的收斂曲線

可以看到，當(dāng)d1=-0.1時兩個子系統(tǒng)的空間區(qū)域互相重疊，此時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，這種情況下系統(tǒng)根軌跡如圖7所示。

可以看到當(dāng)β>0時，有根軌跡落在單位圓外，這解釋了在這種情況下系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因。

圖7 d1=-0.1時系統(tǒng)根軌跡分布

當(dāng)d1=0時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)在ω 處的響應(yīng)如式(28)所示。可以看到式中矩陣每行有2個傳遞函數(shù)的幅度響應(yīng)為0.5，這使得每個誤差傳感器的總響應(yīng)均為1，即系統(tǒng)既不收斂，也不發(fā)散，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

如圖8 所示，在d1>0 時隨著β 從0 改變到0.1，d1取值0.1和1時系統(tǒng)的根軌跡均落在單位圓內(nèi)，因此此時系統(tǒng)均是穩(wěn)定的，且圖8(a)所示d1=0.1的根軌跡比圖8(b)d1=1的根軌跡更靠近單位圓，這解釋了d1=1時系統(tǒng)誤差收斂的速度快于d1=0.1時的原因。

不同d1取值對收斂速度的影響如圖9所示。結(jié)合圖6 來看，隨著d1從0 開始增加，系統(tǒng)誤差的收斂速度不斷增加，同時收斂速度的增加速度不斷降低，當(dāng)d1>0.5時，收斂速度的增加已經(jīng)可以忽略了。

當(dāng)d1很大時（如100），整個系統(tǒng)的零極點已經(jīng)和第2.1小節(jié)的單個子系統(tǒng)保持一致，也就是說由于子系統(tǒng)之間距離很大，子系統(tǒng)之間的相互影響與自身次級源對誤差傳感器的影響相比已經(jīng)可以忽略不計。

圖8 d1>0時系統(tǒng)的根軌跡分布

圖9 隨著d1增大系統(tǒng)收斂曲線的變化

3 結(jié)語

本文對集群式有源噪聲控制系統(tǒng)在控制單頻噪聲時的迭代公式進(jìn)行Z 變換，推導(dǎo)得到等效傳遞函數(shù)。對系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)的零極點圖進(jìn)行分析能預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差，后續(xù)對單個子系統(tǒng)的仿真驗證了理論推導(dǎo)的正確性。

考慮最簡單的情況，假設(shè)集群式系統(tǒng)包含2 個對稱放置的子系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明，當(dāng)2 個子系統(tǒng)的空間區(qū)域互相重疊，也就是距離小于0時，由于根軌跡分布在單位圓外，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)距離0時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時等效傳遞函數(shù)中每個誤差傳感器的幅度響應(yīng)為1，也就是說系統(tǒng)無效。如果要集群式系統(tǒng)有效，兩個子系統(tǒng)之間的距離應(yīng)至少大于0.5。因為如果距離小于0.5，此時系統(tǒng)雖然仍能保持穩(wěn)定，但子系統(tǒng)之間的互相影響將強(qiáng)到導(dǎo)致誤差收斂速度顯著減慢，而相反地，如果距離大于0.5，子系統(tǒng)之間的互相影響就減弱到可以接受的程度，此時系統(tǒng)必定處于穩(wěn)定狀態(tài)，且有最佳的誤差收斂速度。

由上述分析可以得出結(jié)論，集群式系統(tǒng)子系統(tǒng)的空間布放對系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要影響，子系統(tǒng)之間的互相影響越大，系統(tǒng)越接近不穩(wěn)定狀態(tài)，誤差收斂速度越慢，反之亦然?？偟膩碚f，集群式系統(tǒng)的空間布放應(yīng)滿足以下兩個原則：

(1)子系統(tǒng)的次級源和誤差傳感器應(yīng)緊密布放，增大自身次級源對自身誤差傳感器的影響能力；

(2)盡可能減少子系統(tǒng)之間的互相影響，至少應(yīng)使其至少小于子系統(tǒng)自身次級源對誤差傳感器的影響。