持續有界路面激勵下的車輛主動懸架可靠L1干抗抑制控制

王 剛，陳海虹，周知進

（貴州理工學院 機械工程學院，貴陽550003）

懸架系統是汽車底盤的重要機械部件，其功能為支撐車身重量并提供必要的舒適性、平順性。隨著傳感技術、控制技術的發展，開發智能可控的主動懸架是當前的發展趨勢[1–4]。

在主動懸架控制算法的研究中，H∞控制是一個有效的控制方法，已經取得了大量的研究成果[5–18]。由于懸架性能的多樣性，研究主動懸架的多目標控制是有效的解決方案。在現有的H∞控制或H∞/GH2控制中，以L2增益來衡量舒適性的好壞，同時以GH2性能來保證懸架行程和輪胎動載荷不超過給定的界限。該方案由于便于處理多目標控制問題，得到了廣泛的關注，如采樣的H∞控制[5–6]、有限頻域H∞控制[7–8]、狀態微分和時延容錯的H∞控制等[9–18]。另一方面，執行器可能因為老化、部件磨損、外部干擾等因素導致出現輸入效率損失，即執行器錯誤[12]。

然而，值得注意的是在主動懸架的H∞或GH2控制中，路面激勵假設為能量有界的外部干擾（L2空間）。由于持續的隨機白噪聲路面激勵是一類能量無界但是幅值有界的信號，L2增益控制理論上無法應用于干擾為能量無界的情況[11]。如文獻[20]研究了持續有界干擾下的二維系統的l∞-增益（L1）問題，在時變時延和持續有界干擾下，取得了良好的控制效果。文獻[21]應用l∞-增益理論研究了持續有界干擾下的模糊控制問題。

當前，L1干擾抑制控制得到了一定的關注[19–22]。由于L1干擾抑制能處理幅值有界的持續隨機信號，無需假設路面干擾能量有界，能應用于更廣泛的路面工況。研究主動懸架的L1干擾抑制控制具有一定的新穎性。

基于上述分析，提出車輛主動懸架的可靠L1干抗抑制控制。給出控制器設計的充分條件，能應用于含執行器錯誤和持續有界的路面情況。最后，通過3 類典型的持續有界路況驗證所提方法的有效性。在不同類型的路面激勵下，所提方法具有較好的減振性能。

1 主動懸架模型

研究圖1所示的1/4主動懸架模型，圖中ms表示簧載質量，mu表示非簧載質量。主動懸架部分由彈簧、阻尼器和主動執行器構成，其中ks和cs表示彈簧剛度和阻尼器阻尼系數，u(t) 表示主動控制力。將輪胎簡化為彈簧和阻尼形式，可壓縮系數為ku，阻尼系數為cu。定義zs為車身垂直位移，zu為非簧載質量垂直位移，zr為路面垂直干擾。

圖1 1/4車主動懸架模型

根據圖1可得懸架的動力學方程同文獻[2]。選擇系統的狀態矢量為

其中：

其中：zmax為最大的懸架行程，(ms+mu)g 為整車靜載，umax為最大輸出力。

為了滿足上述要求，定義被控輸出及歸一化的時域約束為

其中：ω(t)表示持續的有界干擾，即ω(t)并不隨時間收斂到零點。

對于上述持續的有界外部干擾，定義一個二次型Lyapunov函數和一個L1干擾抑制控制器

其中：F 表示一個1×4 的一般矩陣，P 表示一個4×4的對稱正定矩陣。

備注1：H∞及GH2性能指標分別表示如下

其中：

從式（7）和式（8）可看出，兩者都要求路面干擾滿足能量有界。因此，并非適用所有路面情況。

在本文中，控制目標為

(1)當ω(t)=0，系統滿足指數穩定性。

(2)在零初始條件下滿足如下的L1性能

值得注意的是，在設計目標中，僅要求外部干擾是幅值有界的，這符合實際的路面情況。

為了便于證明，引進如下引理。

引理1（Tseng[21]）：給定標量α、β，可微的實標量函數以及干擾若有則如下不等式成立

2 可靠L1干擾抑制控制

如下定理以LFMIs形式給出了可靠L1干擾抑制控制器的存在條件，主要結果如下。

定理1（L1干擾抑制控制）：考慮閉環系統(4)，給定正標量α、β、?、ρ，則系統在無攝動時滿足指數穩定性，且在零初始條件及最大干擾幅值ωmax=ρ下滿足懸架硬約束（2）及L1性能指標（9）。若存在對稱矩陣P>0和一般矩陣F滿足

其中：Ε=AP+BF，Γ=C1P+D1F，*表示對角對稱項。

證明：對二次型Lyapunov函數式（5）求導可得

進一步代入系統微分方程及L1干擾抑制控制器可得

上式可改寫為

在上式兩邊加上αxTP-1x-βωTω可得

其中：

若滿足式（11），可保證Θ負定，則有

在無干擾下，由Lyapunov 不等式V+αV <0 可知系統滿足指數穩定性。

在持續的有界干擾下，根據引理1可知

在零初始條件下可得

其中：ωmax=ρ2。

為了滿足系統的L1干擾抑制性能，考慮如下不等式

根據上式可得

結合式（4），將式（17）改寫為

其中：Ψ =C1+D1FP-1。因此，可得

應用Schur-補可得

將懸架硬約束性能寫為

應用Schur-補可知上式等于

若滿足式（13）、式（14）、式（15），可保證系統在有界的持續干擾下，即ωmax=ρ2時，滿足懸架硬約束條件。故證明完成。

備注2：定理1 僅考慮了完美的執行器，即無控制錯誤。然而在實際控制中，執行器可能因為老化、部件磨損、外部干擾等因素導致出現輸入效率損失，即執行器錯誤[12]。

考慮可能出現的執行器錯誤，則實際的控制器為

定義

為了設計一個可靠的L1干擾抑制控制器，提出了以下定理。

定理2（可靠L1干擾抑制控制）：考慮閉環系統(4)，給定正標量α、β、?、ρ、ε，則系統在無攝動時滿足指數穩定性，且在零初始條件及最大干擾幅值ωmax=ρ 下滿足懸架硬約束（2）及L1性能指標（9）。若存在對稱矩陣P>0和一般矩陣F滿足：

其中：

類似地，可得式（21）至式（24），故得證。

3 車輛主動懸架可靠L1控制研究

本小節研究車輛主動懸架L1干擾抑制性能，在simulink軟件里建立主動懸架的控制模型，懸架的參數如表1 所示[23]。懸架行程約束選為zmax=0.1m，最大控制力為umax=2 500 N。

假設執行器存在部分失效，執行器錯誤滿足rm=0.8，rM=1。r(t)在rm和rM之間隨機變化。由于定理2 含有線性-分數矩陣不等式，需要對控制參數進行線性搜索來尋找最優解。參數的搜索范圍為0<α<10，0<β<10，搜索間隔為0.1。優化的控制參數為α=2.9，β=7。假設路面激勵的最大幅值的平方為ωmax=0.01，故可取ρ=0.1。

表1 1/4車模型參數

為了評估閉環系統的干擾抑制性能，以3 類典型的持續有界的路面輪廓進行驗證。

第一類持續的路面輪廓為如下凸起的干擾激勵[23]

其中：

圖2為主動懸架系統在連續包塊激勵下車身加速度的時域響應曲線。

圖2 包塊輪廓工況下車身加速度響應

圖3 包塊輪廓工況下懸架約束響應

圖3為主動懸架時域硬約束條件下的響應情況。

從圖中可看出，在設計的L1干擾抑制控制器作用下，懸架加速度明顯小于無控的情況。其中主動控制的車身加速度均方根值為0.06，而被動懸架的車身加速度均方根值為0.229。在進行主動控制時，車身加速度均方根值下降76%。顯然，駕駛舒適性能提高了。

第二類持續的路面輪廓為如下正弦型干擾激勵[23]

其中：Ai、Ωi和φi分別表示幅值、波數和相位。

在本小節，路面仿真參數取

在這種路況下，設置優化的控制參數為：α=2.9，β=7，ρ=0.2。圖4 為主動懸架系統在正弦型道路激勵下車身加速度的時域響應曲線。

圖4 正弦型路面輪廓工況下車身加速度響應

圖5為主動懸架時域硬約束條件下的響應情況。從圖中可看出，在正弦型道路激勵下，懸架加速度明顯小于無控的情況。其中主動控制的車身加速度均方根值為1.289，而被動懸架的車身加速度均方根值為2.996。在主動控制條件下，車身加速度均方根值下降57%。顯然，駕駛舒適性能提高了。在正弦型道路激勵下，最大的干擾界限ωmax<ρ2，故懸架動行程、輪胎動載荷和控制力均小于給定的極限值，而被動懸架的懸架動行程超出了規定的范圍。

圖5 正弦型路面輪廓工況下懸架約束響應

第三類持續的路面輪廓為如下隨機干擾激勵[2]

具體符號定義可詳見文獻[2]。w(t)表示單位功率譜密度的零均值白噪聲，其余參數為

圖6為主動懸架系統在連續隨機激勵下車身加速度的時域響應曲線。

圖7 為主動懸架時域硬約束條件下的響應情況。由于持續的隨機白噪聲路面干擾不滿足能量有界條件，故L2（H∞/GH2）干擾抑制控制器理論上無法應用。而本文提議的L1干擾抑制控制器能夠處理能量無窮的持續隨機白噪聲路面。

圖6 隨機路面輪廓工況下車身加速度響應

圖7 隨機路面輪廓工況下懸架約束響應

從圖中可看出，在設計的L1干擾抑制控制器作用下，懸架加速度明顯小于無控的情況。

其中主動控制的車身加速度均方根值為0.132 3，而被動懸架的車身加速度均方根值為0.514 2。在主動控制時，車身加速度均方根值下降75%。顯然，駕駛舒適性能提高了。同時，懸架約束性能也能得到滿足。

圖8 為懸架加速度的頻域響應曲線，從圖中可知L1控制在0.1 Hz～100 Hz范圍內能有效抑制外部干擾的影響，且ρ越小，干擾抑制效果越好。

表2 為ρ 不同時的車身加速度均方根值，由于ρ反映最大的干擾幅值，故可根據路面情況進行設定。當路面等級較大時，選擇較大的ρ 值。當路面等級較小時，可選擇較小的ρ。為了保證懸架硬約束，有時需要較大的ρ。同時注意到參數α 和β 也會影響系統的干擾抑制性能，故可預先進行控制參數線性搜索來尋找最小的L∞范數。

圖8 懸架加速度頻域響應

表2 ρ不同時的車身加速度均方根值

4 結語

提出可靠的L1干擾抑制控制器設計方法，用于車輛主動懸架的多目標控制。相對于基于H∞/GH2的控制方法而言，所提方法的優點在于移除了路面干擾能量有界的假設，可適用于持續有界的路面干擾。在控制中，將設計條件歸結為一個廣義特征值問題，可方便應用標準的數值軟件進行求解。

數值結果驗證了設計方法的有效性，在持續有界的路面干擾和執行器部分失效工況下，可靠的L1控制方法能明顯提高駕駛舒適性能，且保證時域硬約束性能。研究結果能夠為主動懸架的L1控制提供一定的理論參考依據，在后續的研究中，可進一步將結果推廣到考慮參數攝動及含執行器時延的可靠的L1控制。