探討導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的運(yùn)用

摘要：自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材以后，導(dǎo)數(shù)所具有的基本性質(zhì)，給我們提供了一種全新的解題工具，因此導(dǎo)數(shù)的在高考中的地位就顯得尤其重要。本文基于導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要地位，主要從導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)以及基本性質(zhì)的擴(kuò)展應(yīng)用兩個(gè)方面探討導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中，特別是在函數(shù)中的具體應(yīng)用，如：分析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、極值、最值等一些基本問(wèn)題上的解題思路，擴(kuò)展的應(yīng)用針對(duì)一些稍有難度的題型進(jìn)行討論。針對(duì)每一項(xiàng)具體的應(yīng)用，舉例體會(huì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的解題過(guò)程，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用的特征得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；單調(diào)性；極值；最值；凹凸性

1前言

在數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)，從初中的數(shù)學(xué)教材開(kāi)始，函數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)逐步的出現(xiàn)在我們的數(shù)學(xué)教材中，而且由淺到深，函數(shù)知識(shí)越來(lái)越豐富。甚至現(xiàn)在很多版本的小學(xué)教材已經(jīng)將一元一次方程求解納入教學(xué)大綱，方程中未知數(shù)的求解就是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的入門(mén)，是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的最基礎(chǔ)的一個(gè)環(huán)節(jié)，也就是說(shuō)，函數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)更加的廣泛，在教材上提前讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。

為什么函數(shù)問(wèn)題如此深入教材？無(wú)論是在初中、還是高中階段，函數(shù)的內(nèi)容在考試中都占據(jù)了非常重要的問(wèn)題，初中階段接觸的一些較為簡(jiǎn)單的函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，到了高中學(xué)習(xí)階段，我們又接觸了像冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)基本的函數(shù)。函數(shù)之所以這么重要，因?yàn)樗膽?yīng)用十分的廣泛，我們生活中遇到的太多事情大大小小都可以和函數(shù)結(jié)合起來(lái)，所以再題目中出現(xiàn)就不會(huì)那么奇怪了，因?yàn)榻滩氖琴N近生活的，我們不止是為考試而學(xué)習(xí)，我們希望學(xué)到的知識(shí)能在生活中得到體現(xiàn)，得到很好的應(yīng)用。再者函數(shù)還可以和圖像、圖形等多種方式結(jié)合，因此它的形式多樣，變化復(fù)雜，在出考題上就會(huì)相對(duì)靈活，更能全面考察學(xué)生的綜合能力。導(dǎo)數(shù)本是大學(xué)階段高數(shù)教育的入門(mén)內(nèi)容，近年來(lái)引入到高中教材，在此情境下探討導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的具體應(yīng)用就變得很有必要。

2導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用舉例

（1）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)考試試卷中的位置分布通常在最后的一個(gè)大題中，且占據(jù)的分值屬于重量級(jí)，通常在解決一個(gè)總的函數(shù)問(wèn)題，求解函數(shù)表達(dá)式基本都是入門(mén)級(jí)，基礎(chǔ)級(jí)的問(wèn)題了。在沒(méi)接觸導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)前，對(duì)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解就已經(jīng)有各種各樣的方法。但是隨著高中教材的豐富，導(dǎo)數(shù)的引用，又為解決這類(lèi)問(wèn)題提供更廣更深的思路，下面我們看一個(gè)具體的例子來(lái)感受一下導(dǎo)數(shù)在這類(lèi)問(wèn)題中的具體運(yùn)用：

例1，在x=x0處，函數(shù)y=f（x）能夠取得極大值或極小值，我們把x0點(diǎn)稱(chēng)為的極值點(diǎn)。已知有兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx有2個(gè)極值點(diǎn)分別為1、-1，求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式.

解：對(duì)f（x）求導(dǎo)可以得到：

由題目可知1、-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)

即當(dāng)x=1或x=-1時(shí)，有f（x）=0

則有：

所以函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式為：

（2）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在函數(shù)不等式證明中主要體現(xiàn)出一種最大最小化的概念，可以看成是函數(shù)極大值極小值的一種擴(kuò)展形式。通常形式，比如需要證明f（x）>g（x），那我們可以構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的一本基本性質(zhì)證明出函數(shù)h（x）>0，則可以證明f（x）>g（x）。

例2，函數(shù)f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知f（x）有極值點(diǎn)x=1、x=-2。

（i）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；

（ii）設(shè)g（x）= x3-x2，證明：f（x）≥g（x）恒成立。

解：（i）由于f（x）的導(dǎo)數(shù)為：

當(dāng)h'（x）=0時(shí)，得到x=1

∵當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，h'（x）≤0，∴h（x）在x∈（-∞，1]上是呈單調(diào)遞減的，則x∈（-∞，1]時(shí)，h（x）≥h（1）=0；

又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，h'（x）≥0，∴h（x）在x∈（1，+∞）上是呈單調(diào)遞增的。則x∈[1，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1）=0。

∴對(duì)于任意的x∈[-∞，+∞），永遠(yuǎn)都有h（x）≥0，

又∵x2≥0，所以f（x）-g（x）≥0

即對(duì)于任意的x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x），命題得證

（3）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不僅僅是為了參加考試，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是和生活密切相關(guān)的，函數(shù)問(wèn)題本身就是在生活中應(yīng)用很廣泛的問(wèn)題了，有了導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，我們能把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得更靈活。

例3：通常情況下，水庫(kù)儲(chǔ)蓄的水的量是隨著時(shí)間的變化而變化的，蓄水量單位：億立方米，時(shí)間的單位為：月，用t表示時(shí)間這一變量，v表示蓄水量這一變量。我們根據(jù)往年的一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得出蓄水量v和時(shí)間t之間存在的函數(shù)關(guān)系：

（i）當(dāng)v<50時(shí)，是枯水期。用i（1

（ii）求解水庫(kù)1年的蓄水量（e=2.7）。

解：

（i）

1.在0

通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到t2-14t+40>0，這樣就可以求解出t<4或者是t>10，

又因?yàn)?

0

2.在10

v（t）=4（t-10）（3t-41）+50<50，

與1類(lèi)似，通過(guò)化簡(jiǎn)得到（t-10）（3t-41）<0，

可以求解出

10

而且又因?yàn)?0

10

綜合1和2的求解結(jié)果可以得出t最終的取值范圍是：

0

這樣就能得到水庫(kù)的枯水期分別是在1、2、3、4、11和12總共6個(gè)月。

（ii）

根據(jù)（i）的結(jié)果可以得知：V（t）僅可能在（4，10）范圍內(nèi)取得最大值，現(xiàn)對(duì)V（t）求導(dǎo)可以得到：

令V（t）的導(dǎo)數(shù)等于0，可以求解出：

現(xiàn)將V（t）和V（t）隨t取值變化的情況示于下表：

從表中可以看出，V（t）在t=8的時(shí)候值為最大，且V（8）=8e2+50≈108.32（億立方米）

因此可以得出，水庫(kù)一年內(nèi)最大的蓄水量為108.32（億立方米）

3.結(jié) 論

根據(jù)前文我們對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題應(yīng)用舉例的具體分析，可以看出來(lái)，導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中非常靈活且重要。因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的作用，最好程度的利用好導(dǎo)數(shù)解題這項(xiàng)新工具。當(dāng)然，在使用導(dǎo)數(shù)這項(xiàng)工具我們也要把握好方法，注意一些關(guān)鍵的事項(xiàng)。首先，重視導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容，根基要穩(wěn)要扎實(shí)，像單調(diào)性、極值這些知識(shí)雖然理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是在解題中卻沒(méi)這么直白；其次，要有一種思想，數(shù)學(xué)上的思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)高度概括，要有一種全局思想，但也要抓重點(diǎn)、走主線；然后，加強(qiáng)函數(shù)和其他像不等式、方程、幾何圖形等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)難點(diǎn)，但也是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的一種體現(xiàn)；最后，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，除了基本的一階導(dǎo)數(shù)、還有二階導(dǎo)數(shù)，在掌握基本知識(shí)后可以適當(dāng)擴(kuò)展自己的新知識(shí)面，又將會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界的一片新天地。

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作者簡(jiǎn)介：謝治民（2001.07-），男，漢族，四川安岳人，高三在讀，對(duì)于數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)具有濃厚興趣和探究熱情。

（作者單位：成都七中嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）