基于Mathematica的航天器軌道理論可視化教學

張漢清　周芳

[摘 要]為了激發學生學習航天器軌道理論的主動性，深化對軌道力學新概念的理解和掌握，文章基于軌道力學課程的領域特征與內容特點，探究了科學計算軟件Mathematica對該課程學習的巨大助力。Mathematica軟件以其先進的可視化和交互功能，為學生學習航天領域課程開辟了新的途徑。將Mathematica融入教學步驟，可以培養學生主動探究、積極動手、問題導向、潛心鉆研的學習習慣，并保證教學過程的每一步都及時進行實例仿真和動態演示，使學生在加深課堂印象的同時，建立對新概念的正確直覺，形成對知識真正的個性化理解，獲得對該學科的積極體驗與情感。

[關鍵詞]Mathematica； 軌道力學；數值仿真；交互體驗

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）05-0107-03

航天器軌道力學是我校航天學院本科生的一門重要專業基礎課，也是航天測控、航天器應用等領域需要了解與掌握的基礎課程。該課程主要講授二體問題的運動方程、軌道根數及其關系、星地空間幾何轉換、受攝運動、軌道控制和星座設計等內容。在當前軌道力學技術領域，一個主流的趨勢便是采用虛擬仿真和可視化的方法去研究、分析復雜的軌道力學問題，獲得對關鍵問題的深刻見解，催生極具創新性的全新思路。因此在本學科專業的教學實踐中，仿真實驗、實際操作的地位更加重要，脫離了這些教學條件，便會嚴重制約學生對當今航天技術知識的掌握程度。為了提高學生的學習興趣，激發學生的創造性，筆者所在課程組嘗試了以 Mathematica 環境為教學平臺，對已有教材中的所選內容進行深度加工和處理，加大可操作性實例的比例，增加情境感較強的典型例題。同時，注重知識點的可應用性和知識范圍的廣度。在以上背景下，我們充分利用Mathematica科學計算軟件所集成的多種現代化科學技術手段，探索和實踐可視化教學方法在航天器軌道力學專業教學中的嶄新應用，構建航天器軌道理論的仿真教學環境和交互式CAI課件，以更加立體直觀的方式呈現課程的學習難點，增強學生的學習興趣和創新思維能力。

一、Mathematica簡介

Mathematica是目前世界上應用廣泛的軟件計算系統。該軟件博采眾長，擁有一套完整、簡單易學的交互式可視化操作方式。作為把計算機、數學建模、數值計算、數據處理和實際問題有機結合的一種高效工具，它開辟了聯系實際問題進行科學計算的途徑。目前不少大學將Mathematica作為理工科學生入校必修的計算機課程之一，同時，Mathematica也是數學建模和仿真實驗課程最常用最經典的工具。Mathematica給幾乎所有的科學研究專業領域提供了強有力的支持，因此當前迫切需要緊跟前沿趨勢。在本科生中開設以Mathematica作為仿真與實驗基礎的課程，不僅對學生專業課程的學習提供巨大助益，對學生將來從事科學研究工作也具有重要意義。

二、利用 Mathematica改進課程教學方法

針對航天器軌道理論課程自身的特點，我們本著“重概念、重應用、重演示、重交互”的課程建設原則， 從緊扣培養目標、理順課程體系、突出直觀理解、傳授設計思想等幾個方面入手，摸索出一條以演示說明概念、以特點理解應用、以實驗加深理解的課程建設新路子。具體來說，主要有以下幾個方面。

（一）科學分析學生特質及專業要求，進一步推動教學內容與教學方法的改革

我們將問卷調查和訪談作為主要的他說方式，對學生的專業知識結構與學習需求進行了認真細致的調查和分析，進一步深入了解和探索學生的知識儲備、年齡特征和學習訴求。在組織和整理相關教學內容時，充分結合學生的個人特點以及專業技術前沿、實踐工程案例，借助Mathematica仿真技術，打造和構建更加接近現實應用環境的教學情境。在實驗教學中，將各種先進的多媒體工具進行有機融合，進一步提高教學效果。

（二）探索將航天器軌道力學抽象的知識直觀化、形象化的途徑，制訂具體的教學方案，輔助學生觀察和理解

從課程實際內容來看，部分軌道力學的專業知識不僅抽象晦澀，并且存在復雜的空間邏輯和數學邏輯，如二體軌道6個根數的意義和攝動演化特征、慣性系與旋轉系下衛星軌道的相互關系等，如果只依靠教師的語言描述和一些簡易的靜態圖形圖表就無法充分有效地表達知識點的內在特性。然而借助Mathematica仿真技術，教師可以設計出高度逼真的虛擬情境，并將其應用于課程教學之中，這樣不僅可以提供直觀、形象的知識對象，而且可以加深學生對重點知識的理解和掌握。

（三）探索將學生由學習被動者轉為學習主動者的多種途徑，提高學生的參與意識和實踐能力

基于Mathematica的可視化交互能力，我們設計了具備良好效果的交互界面和接口的仿真課件，使學生可以參與操作和演示，并且可以實時修改仿真參數，調節仿真過程并觀察運行結果，針對重點、難點內容可反復揣摩。與此同時，高年級的學生由于其本身已經具備一定的科研能力與學習能力，因此，可以在課程教師的循循引導下自主成立興趣小組，以小組為單位嘗試進行仿真課題的設計和研發等工作。筆者在教學實踐中發現這種方式很受學生的歡迎，效果良好，于是進一步優化了興趣小組的高效教學與組織形式，推廣和發展了這種主動式學習途徑。

（四）踐行CAI課件的新型制作方法，培養活躍的課堂模式，以豐富的展示內容激發學生的學習興趣，調動學生學習的積極性和主動性

Mathematica具有強大的圖形表現力，使得仿真課件可集實時仿真計算、聲音視頻等多媒體特點于一身，為學生創造了圖文并茂、翔實有趣的虛擬仿真環境，充分體現課程內容的趣味性和直觀性，能夠調動學生學習的主動性和增強學生的課堂主人翁意識，從而避免了以往教學中由知識晦澀難懂所造成的課堂沉悶等現象。

三、Mathematica仿真課件應用實例

我們充分結合教學內容設計實驗仿真課件，以學生為主體，以問題為載體，以Mathematica為工具，通過實驗讓學生自己探索并發現軌道動力學規律，證明結論，并進行推廣和模擬檢驗，使學生能加深對抽象的數學概念的理解。

（一）基于Mathematica的航天器軌道機動的互動實驗教學

軌道機動是使航天器從一個軌道轉移到另一個軌道上的基礎動作，需要在軌道變動時進行發動機點火，為航天器提供動力。由于軌道機動涉及變軌前后多種三維空間軌道，學生必須對這種軌道構型有充分的認識才能掌握軌道機動的關鍵約束，我們基于Mathematica在二體軌道可視化的基礎上，通過在某一點實施三維速度矢量的改變來實現變軌的可視化，如下圖所示。

以不同顏色和不同線形代表機動前和機動后的軌道，箭頭指示航天器機動方向，通過該互動仿真界面，可以對時間、軌道根數、機動等參數分別進行調整，并實時計算和顯示出軌道仿真結果，學生可以親自動手體會軌道機動的實施效果，通過鼠標隨意調整三維觀察的視角。通過這種易于上手的交互實驗，學生能夠迅速獲得軌道機動的直覺體驗，總結出優化的軌道機動策略。

（二）航天器在旋轉坐標系下的動力學

圓限制性三體問題（CRTBP）動力學模型是深空探測領域的重要基礎性理論框架，對其進行研究、分析，不但能使動力學模型由非自治系統簡化為自治系統，而且能使原問題中的許多重要特征變得清晰明了。由于旋轉坐標系是一種典型的非慣性坐標系，在這種坐標系下研究航天器運動規律會出現許多與人們日常經驗相違背的現象。學生初次學習時能夠明確辨別旋轉系與慣性系的異同和聯系，這對于幫助學生正確建立旋轉系下新的理解和直覺模式具有十分重要的意義。我們通過Mathematica互動實驗的途徑引導學生正確理解旋轉坐標系下航天器所遵循的動力學原理，并嘗試澄清由慣性坐標系的定式思維所帶來的一些錯誤認識，為后續學習拉格朗日點、運動禁止區、月球及深空探測軌道等打下基礎。

下圖展示了我們設計的系列課件，采用化整為零、消化分析的方法幫助學生理解旋轉坐標系下動力學方程中各項的物理內涵。

接下來，我們利用所設計的動態交互課件，綜合旋轉坐標系下動力學方程三項加速的共同作用，同時將航天器在慣性系和旋轉系下的軌跡動態顯示出來，并且在旋轉系隨時間旋轉的同時，該坐標系下的軌跡也同步跟隨旋轉，學生可以認真觀察和體會軌跡隨著時間的演化在兩種坐標系中的形成過程，這種過程在傳統課堂上是無法向學生直觀展示的。借助于Mathematica強大的交互性能，學生可研究各種航天器軌道（如圓軌道、橢圓軌道、雙曲軌道以及混沌軌道）在旋轉系下的構型和形成過程，隨意設置初始狀態、時間和旋轉角速度，即時觀察對軌道構型的影響。

（三）航天器星下點軌跡的可視化

在軌道力學課程中，星下點軌跡作為展示航天器飛行路徑的有效方式，可以表示航天器飛行投影下的地面軌跡。所有星下點串連而成的曲線就是星下點軌跡。隨著航天器軌道設計的不同，其對應的航天器的星下點軌跡會有所不同。如地球靜止軌道衛星，它的星下點軌跡是一個點，但是地球同步軌道衛星的星下點軌跡是一個“8”字形，這個“8”字的交叉點位于赤道之上。一般的課程教學遠遠不能達到讓學生加深理解的程度，當航天器做更為復雜的飛行運動時其所形成的星下點軌跡就更難理解了。使用Mathematica可以充分利用三維可視化技術，以更加生動活潑的方式顯示出航天器繞地球轉動的飛行情況，便于學生掌握航天器星下點軌跡的形成過程。下圖是我們實現的航天器星下點軌跡可視化仿真，它能更直觀地說明以上觀點。

四、結論

為了讓學生增強學習的主體意識，深化對軌道力學新概念的理解和掌握，我們根據課程的內容特點，基于科學計算軟件Mathematica的先進可視化和交互功能，采用啟發探究、演繹推導、分部剖析、綜合推廣等教學方法，著重培養學生分析、解決問題的能力以及良好的學習品質，并在教學過程的每一步都及時進行實例仿真和動態演示。這樣能夠在加深學生印象的同時，使學生建立對新概念的正確直覺，使師生之間保持有效互動，幫助學生獲得對該學科的積極體驗與情感。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 耿立華，吳寶軍.談數學軟件Mathematica的使用[J]. 中國校外教育（理論），2009（2）：164.

[2] 李雪賁. 數學軟件Mathematica在教學中的妙用[J].鎮江高專學報，2009（3）：107-110.

[3] 鄒永福，夏文杰. Mathematica軟件在數學模型課程教學中的應用[J].河池學院學報，2009（S1）：93-95.

[4] 趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 李路，江開忠，張學山. 基于Mathematica的三維數據處理[J].上海工程技術大學學報，2008（4）：339-343.

[6] 梁浩云. Mathematica軟件與數學教學[M].廣州：華南理工大學出版社，2001.

[7] 王高峽. 用Mathematica軟件繪制空間圖形的方法和技巧[J]. 重慶工學院學報（自然科學版），2007（7）：17-20.

[8] 劉興元，何宜軍.Mathematica軟件的繪圖功能在高等數學教學中應用示例[J].邵陽學院學報（自然科學版）， 2008（4）：41-44.

[責任編輯：龐丹丹]