籃球罰籃落點對命中率影響的數學模型

張弘毅

摘 要：本文通過大量的模型假設和簡化，將籃球運動中的罰籃簡化為一個幾何概型問題，由此得到的結論是：隨著出手時的角度增加，籃球的運動軌跡變高，落筐時的速度與水平方向的夾角也變大，命中率上升。這一定性的結論與真實的籃球比賽體現出的規律相符，同時也能夠為投籃訓練提供一些指導。本模型做出的假設和簡化很多，比較粗糙，因此有很大的改進空間。

關鍵詞：罰籃；命中率；數學模型；入筐角度；命中區域

中圖分類號：G841 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）05-0213-03

1 課題背景

籃球，目前最熱門的體育運動之一。不僅需要個人能力的展現，還需要團隊每個隊員的合作，配合以及戰術的制定。而當對方犯規時，罰球，就主要看的是你罰籃的命中率了。在無數的籃球比賽中，罰籃是非常重要的得分手段。它是唯一一種不允許對方進行防守的得分方式。強如NBA球員，也有很多人的罰球成為球隊的弱點，在重要的比賽中受到針對，必須被教練員換下，無法發揮自己的作用。典型的例子如，沙克·奧尼爾、德懷特·霍華德、德安德魯·喬丹等。

在生活中，球場上，有的人，罰籃板球時總會打到籃筐而彈出，命中率低，而有些人卻能做到百發百中。其中自然會有所謂的“手感”因素，也就是對球掌控能力的好壞。對于經常投籃的球員來說，經常打籃球和好久沒打籃球兩種情況，對球的掌控熟練度是有很大差別的。除此以外，個體反應快慢，身體素質的差異也影響命中率。顯然，一名專職籃球運動員和業余愛好者對抗，那么運動員更能夠保證做出標準或高難度的動作。命中率自然也大有可能提高。

上述這些，再加上肌肉記憶和心理作用等方面的差異，歸根結底都是從個體生物學角度找原因。但從運動訓練角度來說，這些個體差異甚至包含太多的隨機因素，不能夠成為訓練項目設計的依據。我希望通過本文，討論籃球入筐落點與命中率的關系，以科學的角度認識罰球的命中率，從而可以為投籃訓練提供一些新思路新想法。

2 數學模型

2.1 參數定義

入筐角度（θ）：籃球剛碰上籃筐所在平面接觸時籃球速度與水平面的夾角。

落點：籃球剛與籃筐所在平面接觸時的接觸點。

總區域（S）：作為一個球員，即使在最極端情況下，投出的罰球落點也不會離開這樣一個區域，該區域稱為總區域。

命中區域（S陰影）：能進筐的籃球，其落點所在的區域。

出手角度（α）：籃球出手時的速度與水平方向的夾角。

命中率（P）：籃球入筐的概率。

2.2 模型假設

從模型的復雜性不能過高和真實性不能太差兩個方面進行考慮，做如下假設：

（1）忽略籃球的下旋角速度，認為是在空氣中平動，而不轉動；（2）忽略籃筐的彈性，認為籃筐無彈性是剛體；（3）忽略空氣阻力；（4）因籃球運動速度較大，在籃筐附近，籃球的運動軌跡近似看作直線運動；（5）總區域是籃筐的正上空，其面積就等于籃筐圍成的面積；（6）球員投出的罰球落點在總區域中呈均勻分布，因此由幾何概型，P=S陰影/S。

2.3 數學模型

模型以國際籃球（FIBA）標準為基礎建立，籃筐高度 H=3.05m，籃筐中心與罰球人員距離L=4.225m。

籃球半徑r=12.3cm

籃筐內半徑R=22.5cm

以籃筐為主要對象考慮如下：

①當落筐角度θ=45°時，如圖1，當球的重心位于籃筐半面內時，如圖1所示陰影面積為籃球重心所能穿過的點所組成的重心區域。

又因為以45°角度斜向下落，可以將籃筐周圍的運動近似看做直線運動，所以將重心區域斜向上45°移動r的距離，再由豎直方向投影得到落點的大致區域位置如圖2所示。

又因為當籃球落點在最前沿，如圖3所示

籃球具有斜向下45°的速度V，所以水平分速度VX= Vcos45°=V，豎向分速度Vy=Vsin45°=V

在籃球接觸籃筐瞬間會受到視為剛體籃筐一個向的支持力，足以改變籃球運動時的豎直分速度Vy，籃球會被彈飛。所以當籃球沿切線l斜向下45°運動時，正好不接觸籃筐進筐。

∴過圓心A作AB⊥l，延長AC交l與E

∵∠BDF=45°，∠BDC=135°，∠ABD=∠ACD=90°

∴∠BAE=∠AEB=45°

∴△ABE為等腰直角三角形

∵AB=AC=r=12.3cm

AE=12.3×≈17.39cm

DC=CE=12.3×（-1）≈5.09=d

所以落點實際位置應為圖5所示的陰影部分。

陰影部分可簡化分為兩部分計算面積S陰影，上半部分是半圓，下半部分不是個規則形狀，限于我的知識水平，將其近似看作是半個橢圓

S上=≈163.34cm2

S下=≈81.83cm2

S陰影=S上+S下=245.17cm2

S筐=πR2=1589.62cm2

P1==0.1542=15.42%

②當θ=60°時如圖6

R-r=10.2cm

X==7.1cm

∵∠BDE=60°，∠BAC=60°

∵AC=ABAD=ADBD=DC

∴△ADB≌△ADC

∴d==7.1cm

S=R-r+x=17.3cm

22.5-7.1=15.4<17.3cm

△r=17.3-15.4=1.9cm

S上≈163.34cm2

S下≈132.92cm2

S陰影=S上+S下=296.26cm2

P2==0.1864=18.64%

綜上：P1

同以上①②計算方法，當θ=30°概率為P3，

∴P3

籃球的P（命中率）-θ（落筐角度）圖象大致如圖8，隨著落筐角度增加，罰球的命中率單調上升。

根據假設3，籃球運動軌跡是一條拋物線，若球的初速度有一個上限（即人手腕的力量不能無限上升），出手角度就只能在一個特定的范圍內變化，才有可能命中。定性地說，出手角度越大，落筐角度也越大。根據上述模型的計算結果，在可接受范圍內盡量投高弧線的罰球，命中率就能越高。

3 對數學模型的分析

3.1 誤差分析

首先，下旋對于投籃來說非常重要。在無旋轉情況下，當球觸碰籃筐的前沿，會被彈力沿撞擊速度方向的反方向彈飛，但若存在下旋角速度，會給籃球一個與相對運動方向相反，也就是一個近似向下的摩擦力，若足夠大可以使籃球進筐，命中率提升。因此我在本文中忽略了下旋角速度，這是可以改進的地方。

第二，我忽略了籃筐的彈性，即把籃筐作為剛體，這也是影響命中率的重要因素，在籃球撞擊時，籃筐會發生形變，不會像未發生形變時類似于鏡面反射，而是反射方向會偏離一定角度，從而影響籃球之后的運動軌跡。

第三，我在計算中認為命中區域由半個圓和半個橢圓組合而成。半圓部分在模型中是精確的，而半橢圓部分是近似的。命中區域實際上可以精確地計算出來，但這超過了我的數學水平，故用了這樣一種近似，在未來這是一處可改進的點。

第四，本文只討論了落筐角度的因素，正如課題背景部分所述，罰球綜合地考驗著球員的生理、心理、技巧等。這許多因素都沒有在本文中加以討論，但是為了討論這些因素，一方面可以把它們與總區域的面積建立聯系，另一方面也可以考慮放棄假設6，認為投出手的籃球“更可能”命中籃筐中心，而不是均勻分布于總區域中。

最后，假設3和假設4都導致了模型中涉及的籃球運動軌跡與現實存在偏差。這也是可以改進的。

3.2 指導應用

通過本文的分析，我們得到定性的結論：在投籃時，應使籃球運行軌跡拋物線高，弧度大，保證入筐時的角度足夠大，就能使觸筐的機會減少，增加“空刷”的概率，提高罰球的命中率。這一結論可以應用于投籃訓練。

3.3 改進的潛力

通過以上分析不難指出這一數學模型可供改進的一些點：

（1）本文簡化了模型，未涉及籃球運動時自轉問題、籃筐彈性問題以及空氣阻力的考慮。為了考慮這些因素，可以簡單地在本模型的基礎上加入相應的修正量。（2）為了簡化計算，形狀復雜的命中區域被我簡化成了，方便計算的半圓+橢半圓圖形來計算，為了算得更精準，可以用MATLAB等工具精確化。

4 結論和建議

本文研究了罰球時的籃球入筐的概率，用忽略空氣阻力、不繞質心的轉動的情況下的運動來討論命中率。

通過建立模型，得到了罰球時籃球入筐的運動情況并簡化，并得到籃球的入筐角度與命中率的關系，命中率隨入筐角度的增大而增大，當籃球的入筐角度在合理范圍內達到最大值時，命中率達到最高。

教練員在日常練習中要特別加強罰球規范性的要求，使運動員的投籃弧線和入射角度盡量大，提高命中率與得分率。

最典型的例子，NBA的兩場季后賽中，第一場小喬丹獲得了12次罰球，罰中5球，快船贏得比賽；第二場小喬丹獲得了17次罰球，命中6球，快船輸掉了比賽。他的罰籃次數從常規賽的5.7次暴漲到14.5次，可無論他如何宣稱自己加練了罰籃，他的命中率仍是可憐的37.9%。

罰籃和投籃的命中率，會決定球隊的輸贏，教練員需加強訓練，使運動員形成肌肉記憶，提高團隊水平。

參考文獻

[1] 李鐵，賀麗.籃球罰球技術中“拋體運動方程”應用研究[J].湖北體育科技， 2015，34（07）：612-614.

[2] 楊愛茜，李輝.基于MATLAB對籃球運動軌跡的仿真研究——籃球運動軌跡理論性分析[J].體育科技，2015，36（05）：27-29.