談函數單調性證明方法的規范性及其教學

蔣培杰 馬恩榮

[摘? ?要]函數單調性證明的學習對發展學生“邏輯推理”核心素養非常重要. 從一線教師提出的關于學生試卷中函數單調性證明的評分困惑出發，分析學生解答的關鍵問題所在，在介紹證明范式及其特點的基礎上提出教師應教會學生演繹推理的基本范式，并與所在教研團體共同制定可以作為高一學生演繹推理前提的不等式及其性質的一致標準.

[關鍵詞]函數;單調性;規范性;邏輯推理

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0014-02

一、問題的提出

數學教育研究工作者走進課堂，研究教學中的實際問題已經成為一種趨勢，有利于數學教育研究的健康發展和數學教育質量的提高. 以下問題就是來自一名中學教師評卷時產生的疑惑. 相應試題為：“證明函數[f（x）=1-3x+2]在區間[3，5]上單調遞增.”

在評卷時，該教師對如下學生的解答（圖1）無法判定是否能給滿分.

疑惑點在于由[x2+2>x1+2]得到[3x1+2>3x2+2]的合理性上. 這是一個常見的困惑，也讓學生感到很不自然：為什么顯然的事情還要詳細說明？而這正是培養學生“邏輯推理”核心素養的重要機會. 對這個困惑的解答要回到數學證明的含義上，深刻理解證明的含義對中學一線數學教師發展學生的“邏輯推理”核心素養至關重要.

二、關于數學證明方法以及困惑的解答

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題，其中一類是合情推理，一類是演繹推理[1] .我們所說的證明指的是演繹推理，是從一般到特殊的推理. 數學證明的標準是一個綜合評判的動態體系[2]. 換言之，由于大前提不同，同樣一個解答對高一新生而言不構成證明，而換成高二學生就是一個證明. 比如圖1所示解答，對高一學生的標準而言這能否構成一個證明要看演繹前提，即命題“[a>b>0?1a<1b]”是否可以作為前提. 對于高一新生而言，能夠作為前提的自然是初中數學教材中的不等式及性質. 以新人教版初中數學教材為例，不等式的性質有三條：

這與實數大小比較的基本性質“（4）[a>b?a-b>0]”就構成了一個可以作為高一學生演繹推理的前提的標準. 標準中并沒有直接包括命題“[a>b>0?1a<1b]”，該命題也并不是顯然由上述四個性質可得，需要作差變形后才能得到該判斷. 因此圖1的解答可以認定為不嚴謹，但問題并不全在于學生. 多數情況下，高一數學教師在教學中并未明確指出必須以上述四個性質（或其他形式的標準）作為函數單調性證明差的符號判定的依據. 關于評分的困惑倒是反映出不少一線教師在培養學生“邏輯推理”核心素養上有所欠缺.

三、函數單調性證明的規范性與教學

函數單調性的證明是學生進入高中初次接觸的證明問題，是發展學生“邏輯推理”核心素養的重要課題. 函數單調性的證明有程式化的操作步驟，不妨以“函數[f（x）=x2]在區間[0，+∞]上單調遞增”為例進行證明. 規范的證明如下：

證明一般分為三步：第①步作差，第②步變形，第③步判斷差的符號. 學生常出現的錯誤就是跳過上述第②步直接由第①步判定差的符號，但是上述判定符號的前提（上述四個不等式性質）并不直接包括命題“[0

四、結論

根據著名數學教育家波利亞的觀點，“學會猜想”和“學會證明”是中學數學學習的兩個重要目標[3]. 而函數單調性證明的學習是學會證明的絕好機會之一. 教師應該深入挖掘學生證明不嚴謹的原因，找出問題本質.相應問題的解決往往就是培養學生證明能力、邏輯推理核心素養的關鍵所在. 日常教學中，教師應該多學習、多思考，有更高的觀點，才能發現細致的問題，才能洞悉問題的本質，進而更好地提高教學效率.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社， 2017.

[2]? 田楓，黃秦安.數學證明嚴格性之相對意義與綜合評判標準[J].自然辯證法通訊，2016（1）：51-55.

[3]? Polya G. How to solve it： a new aspect of mathematical method[M].Princeton：Princeton University Press，1945.

（特約編輯 安? ?平）