巧構全等三角形解幾何問題

李小蘭

[摘? ?要]對于初中幾何問題，若給定的題設條件及圖形并不具有明顯的全等條件時，可通過添加輔助線，構造全等三角形去解決.巧構全等三角形，可借助全等三角形的有關性質，使已知與未知發生聯系，促進已知向未知轉化，從而順利解決問題.

[關鍵詞]全等三角形;幾何問題;輔助線

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0027-02

全等三角形是初中幾何的重要內容之一，也是解決幾何證明題必不可少的工具.然而在許多情況下，給定的題設條件及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們開闊視野，打開思路，多方位地尋找添加輔助線的方法，構造出全等三角形，借助全等三角形的有關性質，使已知與未知發生聯系，促進已知向未知轉化，從而使問題得以順利解決.

[案例1]《利用角平分線解決相關幾何題》的復習課

本節課分兩部分內容，一是先讓學生探究利用角平分線構建全等三角形的方法;二是解決問題.

1.引導學生建構模型

問題：OC是∠AOB的平分線，且點P是OC上一點.利用角平分線構造全等三角形的方法有哪些？

方法1：如圖1，截取OD=OE來構建全等三角形.

方法2：如圖2，作PD⊥OA于D，PF⊥OB于F來構建全等三角形.

方法3：如圖3，過點P作DE⊥OC交OA于D，交OB于E來構建全等三角形.

方法4：如圖4，過點P作PD[?]OB交OA于D，過點P作PE[?]OA交OB于E來構建全等三角形.

通過作圖，學生會深刻理解：在幾何圖形中，角平分線不僅提供了兩個相等的角，還提供了一條公共邊.當出現角平分線時，可以通過以上四種方法來構造全等三角形，利用全等三角形的有關性質解決問題.

2.通過知識的建構去解決實際問題

如圖5，已知在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD = CD，求證：∠BAD +∠BCD =180°.

解題思路：要證明∠BAD +∠BCD =180°，應通過轉化思想，讓學生聯想到平角，再通過等量代換，利用全等三角形構建一個平角.

方法1：如圖6，在BC上截取了BE=AB.

∵BD是∠ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

在△ABD和△BDE中，

BE=AB，∠1=∠2，BD=BD.

∴△ABD≌△BDE，

∴AD=DE，∠A=∠3，

∵AD=CD，

∴DE=CD，

∴∠4=∠C，

∴∠3+∠C=∠3+∠4=180°.

方法2：如圖7，過點D作DM⊥BC于M，作DN⊥BA的延長線于N，構建△NBD≌△BDM和△AND≌△DCM.（證明略）

方法3：如圖8，延長CD交BA的延長線于點F，構建△FBD≌△BDC.（證明略）

學生在理解了角平分線的建模后，引發思考并找到了本題添加輔助線的方法（如圖7的三種方法），從而順利構建全等三角形，使問題得到解決.學生在學習中通過模型的思想來解決數學問題，思維得到發展，提升了思維品質.

[案例2]如圖9，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點.如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，且AN=BM，判斷三角形OMN的形狀.

解題思路：這是一個特殊的三角形，考慮到等腰三角形的三線合一定理，所以要判斷三角形OMN的形狀，先要考慮證明OM=ON，通過轉化思想，證三角形全等，但題目沒有出現全等三角形，所以難點在于構建全等三角形.

方法1：△OMN為等腰直角三角形.理由如下：

連接OA，如圖10，AC=AB，∠BAC=90°，

∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，

∴∠NAO=45°，

∴∠NAO=∠B，

在△NAO和△MBO 中，

∴△NAO≌△MBO，

∴ON=OM，∠AON=∠BOM，

∵AC=AB，O是BC的中點，

∴AO⊥BC，

即∠BOM+∠AOM=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，

即∠NOM=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形.

方法2：如圖11，連接OA，過點O作OE⊥AC于E，作OF⊥BA于F，構建△OMF≌△OEN.（證明略）

解題分析：利用了“三線合一”定理和角平分線的定理添加了輔助線，從而得到OE=OF，再利用余角的性質得到∠MOF=∠NOE，得到了三角形全等，進一步解決了問題.

方法3：如圖12，連接OA，過點M作MH⊥BC于H，作NG⊥BC于G，構造△OMH≌△OGN.（證明略）

解題分析：利用了“三線合一”定理和構造直角三角形添加了輔助線，從而得到OE=OF，再利用余角的性質得到∠MOF=∠NOE，得到了三角形全等，進一步解決了問題.

評析：本題是特殊三角形的綜合性考題，考查等腰三角形的“三線合一”定理、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等.本題屬于中等難度題，但圖形比較常見，由證線段相等轉化為證三角形全等.在證明三角形全等時，利用兩個角互為余角進一步證明兩個角相等也是常用的方法.本題通過三種方法添加輔助線來構造全等三角形，從而讓問題得以解決.

（責任編輯 黃桂堅）