對數導數及其應用

陸天虹

（上海立信會計金融學院，上海 201209）

導數理論的應用非常廣泛，作為函數基礎理論的深化和應用，產生了新的導數定義，如方向導數、列導數和對稱導數等。國內外許多經濟金融實證分析表明，需要將絕對數據轉換為相對數據，特別需要考慮數據的可用性，諸如數據應用的穩定性、數據的厚尾現象以及消除數據的異方差等，至于大數據時代尤為重要。作為導數理論的推廣，我們首次提出雙對數導數的概念，利用單對數導數和雙對數導數定義彈性和成長等相關概念，從而揭示對數導數理論和相關彈性理論以及統計模型理論等的聯系和內在規律。

一、對數導數

導數有許多定義，列導數、對稱導數以及方向導數等，本項目中我們所稱的對數導數含單對數導數和雙對數導數。

一階單對數導數就是一般的對數導數。設正函數f(x)定義在

[a，b]上，f(x)∈C1，定義L(x)=L1(x)=f'(x)/f(x)為f(x)的一階單對數導數；

若f(x)∈C2，則稱L2(x)=f''(x)/f'(x)為f(x)的二階單對數導數；類似可定義其各高階單對數導數（注：定義中各階導函數不含零點，正函數可通過絕對值運算推廣為非零函數，以下同）。

雙對數導數的定義：設正函數f(x)定義在[a,b](a＞0)上的C1類函數，對x∈[a,b]，定義下列極限

為f(x)的一階雙對數導數（假設極限存在，注：雙對數非重對數），記為E(x)(E1(x)=E(x))；同樣也可定義f(x)的各高階雙對數導數En(x)=xLn(x)（注：定義中區間[a,b]可通過絕對值運算推廣為任意區間，如含原點則需要分子區間討論）。對多元函數可類似定義相關偏導數。

二、彈性和成長

（一）彈性函數和成長函數的定義

在經濟金融理論以及實證分析中，經常考慮到變量之間的彈性關系。變量之間的彈性關系揭示了一種變量對于另一種變量的微小百分比變動關系。

定義2.1 稱函數L(x)=f'(x)/f(x)為f(x)在[a,b]上的絕對彈性函數（或系數），并記EA(x)=L(x)；稱函數為f(x)在[a,b]上的（相對）彈性函數（或系數），并記ER(x)=L(x)。

定義2.2 稱函數L2(x)=f''(x)/f'(x)為f(x)在[a,b]上的絕對成長型投資函數（或系數），并記GA(x)=L2(x)；稱函數為f(x)在[a,b]上的（相對）成長型投資，簡稱成長函數（或系數），并記GR(x)=E2(x)。

（二）線性化

定理1.函數f(x)的彈性可線性化的充要條件是函數可表示為指數函數和冪函數的乘積型。

統計學中，當且僅當變量服從指數型或冪率分布或兩者乘積型分布時，建議采用雙對數變換模型。

定理2.個體效用函數揭示二基金資產分離成長型的充要條件是該效用函數的成長系數的倒數可線性化。

投資者在風險資產組合和無風險資產之間投資組合配置時，如果個體效用函數滿足其成長系數的倒數呈現線性化，那么可考慮二基金資產分離成長型投資決策。

負指數效用函數

冪效用函數

（0.5）f(x)Yx=x0處可導C記為f(x)∈Dx=x0

f(x)∈Dx=x0?f(x)在x0處左、右導數存在并相等，即f(x)∈Dx=x0?f(x)∈Cx=x0,反之不成立，如

反例：f(x)=|x|,f(x)∈Cx=0,但f(x)?Dx=0.

若?x∈I(?D),有f(x)∈Dx，則稱函數f(x)在I上 可導（或在I上存在一階導函數f'(x))，同時記f(x)∈D，且有I

f(x)∈DI?f(x)∈CI.

注：f(x)在端點處的可導定義為f(x)在該端點的一個單側導數存在

(1)f(x)在I上一階連續可導，記為f'(x)∈CI

若f(x)在I上存在一階連續可導函數，我們就稱f(x)為第一類

光滑函數，記為f(x)∈C1(或C1I).

（1.5）f(x)Yx=x0處二階可導C記為f(x)∈D(2)x=x0（或D''x=x0）

f(x)∈D(2)x=x0?f'(x)在x0處可導，即

若?x∈I(?D),有f'(x)∈D，則稱函數f(x)在I上 二階可導（或x

在I上存在二階導函數f''(x))，同時記f(x)∈D(2)，且有I

f(x)∈D(2)I?f'(x)∈CI.

(2)f(x)在I上二階連續可導，記為f''(x)∈CI

若f(x)在I上存在二階連續可導函數，我們稱f(x)為第二類

光滑函數，記為f(x)∈C2(或C2I).

三、對數導數的意義

（一）一階對數導數的意義

（二）二階對數導數的意義

研究表明，個體投資者其效用函數揭示二基金資產分離成長，當且僅當其效用函數的近似曲率半徑呈現線性化。個體效用函數類屬二次函數、負指數函數、狹義冪函數以及廣義冪函數時，其對應的近似曲率半徑是線性函數，因此相應的個體投資者資產配置呈現二基金資產分離成長型。進一步研究表明，隨著近似曲率的定義逐步趨向曲率（復雜化），研究個體投資者效用函數的范圍越來越廣泛，投資者的資產配置將更加工程化精細化。

表1 內在聯系和規律

表1續：

設解釋變量x由觀察得到，記x0=E為真值，被解釋變量y由擬合函數y=f(x)給出。若已知觀察樣本x的 誤差限為δx，即|Δx|=|x-x0|≤δx，則當δx很小時，|Δy|=|f(x)-f(x0)|≈|(x0)Δx|≤|(x0)|δx=δy,δy稱為被解釋變量y的誤差限，而y的 相對誤差限則定義為

誤差估計

該式表明被解釋變量的相對誤差限在解釋變量的誤差限基礎上被擴大了|L(x0)|倍（以對數導數或絕對彈性系數為杠桿系數），同時兩個變量各自的相對誤差限之比正好是（相對）彈性系數。

進一步我們也可以得到（考慮二階展開）：

四、對數變換

我們在研究被解釋變量和解釋變量的關系時，經常要考慮到變量之間蘊含的相互關系，絕對數據轉換為相對數據（如環比數據等），消除數據之間的異方差性，以及將變量的指數趨勢轉變為線性趨勢等，因此有必要對變量引入對數變換。統計研究中，對數變換處理數據主要分單對數變換法和雙對數變換法。（1）單對數變換法。該對數變換法主要是單獨對解釋變量或被解釋變量采取對數變換，是數據擬合中常用的方法。經典情形如：我們發現解釋變量呈現偏態分布，如果對其數據進行對數變換后服從正態分布，這就是經典的具有再生性的對數正態分布。如果考慮對縱坐標進行對數變換，則預期獲得較好的效果。（2）雙對數變換法。該對數變換法是對解釋變量和被解釋變量均進行對數變換處理。對數變換應用比較廣泛，在前述對數導數理論的基礎上，關于對數變換我們得到了新的認識，以下對雙對數變換給出一個簡單模型。

如果各解釋變量和被解釋變量之間存在著可線性化的彈性關系，那么根據前述定理，我們采用雙對數線性回歸模型進行分析。考慮冪函數（或指數函數或兩者乘積型）關系型：

于是，經過雙對數變換，建立總體模型如下：

lny=lna0+a1lnx1+a2lnx2+…+anlnxn+lnε0

lny=lna0+a1lnx1+a2lnx2+…+anlnxn+ln[1+ε0/E(y)].

我們知道，許多經濟變量之間相互表現為可線性化（或擬線性化）的彈性關系。著名的Box-Cox變換可看作單對數變換和冪效用函數類型。經濟金融以及統計分析中，效用函數常表現為冪函數或（負）指數函數型。從統計角度而言，多數變量采樣數據相對而言更接近對數正態分布。因此，我們在研究變量之間相互關系時，如果解釋變量和被解釋變量之間蘊含可線性化的彈性關系，那么根據雙對數導數概念以及前述定理，可以考慮對變量采用雙對數變換進行處理，建立雙對數變換模型。