恒模和相似性約束下機載MIMO雷達快速波形設計優化算法

童日武，張劍云，周青松

(國防科技大學，安徽 合肥 230037)

0 引 言

不同于地基雷達，機載雷達[1]能夠有效克服由于地球曲率引起的探測盲區問題，并且具有很高的機動性，因此無論是在軍事還是民事領域都得到了廣泛的應用。通常情況下，機載雷達采取下視工作模式，對地面目標進行探測、跟蹤、識別等等。然而大地同樣能夠對雷達信號進行反射形成地雜波，地雜波強度大，分布范圍廣，更重要的是由于機載平臺的運動，地雜波的多普勒頻譜范圍大大展寬，這些將嚴重影響機載雷達對地面動目標的檢測性能。因此如何采取有效的手段抑制地雜波，從而提高對地面目標的檢測性能一直是一個研究的重點和熱點問題。

傳統雜波抑制方法主要是從雷達的接收端進行信號處理，空時自適應處理技術(STAP)是抑制雜波的有效工具，大量研究表明通過STAP技術可以顯著提高雷達對地面動目標的檢測性能[2]。然而機載雷達往往面臨著復雜多變的外界環境，如地形的多樣性導致雜波的非均勻性，干擾數量和種類的增多導致接收端處理自由度的下降等因素會嚴重降低STAP抑制雜波的性能。但是如果將雷達發射端的自由度加以利用，基于已知先驗信息對發射端波形優化[3]，使得雷達能夠根據外部環境的特點實時調整發射波形，則能夠進一步提高雷達抑制雜波的能力。

多輸入多輸出(MIMO)雷達是一種新體制雷達[4]，相比于傳統雷達具有很多優勢。其最大特點是發射端具有很高的自由度，每個發射陣元可以獨立發射不同的信號。MIMO雷達可分為如下兩大類：一類是分布式MIMO雷達[5]，其特點是天線間距足夠大，具有空間分集特性；另一類是集中式MIMO雷達[6]，其特點是天線間距很近，在波長量級，具有波形分集特性，能夠在不增加雷達實際物理孔徑條件下形成較大虛擬陣列，有效提高對目標的檢測、識別能力，因此非常適用于空間受限的機載平臺。近年來對MIMO雷達的研究得到了廣泛的關注，主要包括MIMO-STAP[7]和MIMO雷達波形設計[8]等。

文獻[9]研究了機載雷達發射方向圖設計方法，但沒有對雷達發射波形設計進行研究；文獻[10]和[11]雖然研究了雜波環境下MIMO雷達波形設計問題，但所研究的對象都不針對機載MIMO雷達，文獻[10]研究的是靜態環境下的雜波抑制問題，文獻[11]研究的是抑制距離模糊雜波問題；文獻[12]和[13]雖然對機載MIMO雷達波形設計進行研究，但都只單獨考慮了波形的恒模約束問題，沒有同時對波形施加恒模和相似性約束，并且所使用的優化算法都是通過半正定松弛(SDR)后求解半正定規劃(SDP)問題，再使用高斯隨機化方法恢復出優化波形，具有較高的計算復雜度，并且使用高斯隨機化方法并不能保證在迭代過程中目標函數單調非減。

針對以上文獻研究的不足之處，本文基于先驗信息對機載MIMO雷達波形設計問題進行進一步研究，不同于文獻[12]和[13]，本文同時考慮了波形的恒模和相似性約束問題，并提出了一種快速迭代優化算法，在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解，避免了求解SDP問題和使用高斯隨機化方法恢復波形，具有較低的運算復雜度。

1 信號模型

1.1 目標信號

當地面目標距離機載雷達很遠時，其俯仰角可以忽略不計，因此本文只考慮目標的方位角。假設目標方位角已知為θ0，對于第m個脈沖信號而言，雷達接收到的目標信號經過基帶采樣后可表示為：

(1)

(2)

(3)

為方便計算和表示，將接收波形矩陣Yt,m向量化，有：

yt,m=vec(Yt,m)=

(4)

其中：

(5)

式中：IL表示L×L的單位陣；s=vec(S)；?表示克羅內克積。

(6)

其中：

(7)

式中：p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T，表示歸一化多普勒頻率為f0的時間導向矢量。

1.2 雜波信號

機載雷達在下視工作時會面臨強地雜波的干擾，同時由于機載平臺的運動，以雷達為中心的等距離環所包含的所有地雜波會存在多普勒偏移的分布，因此容易使得目標被強主瓣雜波(多普勒域)所淹沒，嚴重影響了雷達的檢測性能。因此必須通過STAP技術，從空域和多普勒域同時抑制雜波干擾。

雜波信號指的是不感興趣的回波信號，其本質上與目標信號并無差異。本文在雜波建模的同時考慮了目標所在距離環[14]的雜波信號以及目標相鄰距離環的雜波信號。

圖1畫出了3個雜波距離環，分別為目標所在距離環以及目標前后的距離環。將每個等距離環內的雜波看成為若干等份雜波塊的組合，因此雜波信號可以表示為所有雜波塊信號的疊加。

圖1 雜波距離環

以目標所在距離環為參考標準，對于第r(r=0表示目標所在距離環；r>0表示目標后面距離環；r<0表示目標前面距離環)個距離環而言，假設共有Nc個雜波塊，則其第k(k=1,2，…,Nc)個雜波塊相對于第m個脈沖信號而言的雜波信號可表示為:

(8)

式中：αc,r,k，fc,r,k，θc,r,k分別表示距離-角度位置為(r,k)的雜波塊對應的幅度，歸一化多普勒頻率，方位角。

(9)

式中：r∈{0,±1,±2,…}；(m,n)∈{1,2,…,L}2。

(10)

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(11)

其中：

(12)

當r=0時，Jr=IL,則對于目標有A(f0,θ0)=A(0,f0,θ0)。為方便表示和運算，將A(f0,θ0)表示為A0，將A(r,fc,r,k,θc,r,k)表示為Ac,r,k。

則對于2R+1個雜波距離環而言，總的雜波信號表示如下：

(13)

雷達接收機接收到的總信號為目標信號，雜波信號以及接收機內部噪聲的疊加，即：

y=yt+yc+n=

(14)

2 問題闡述

2.1 最大化輸出SINR

雷達接收機接收到回波信號后需要對信號進行處理以提高檢測性能，而SINR是衡量檢測性能的一項重要指標，SINR越高意味著發現概率越高，因此本文以最大化輸出信號的SINR為優化準則進行波形設計。

yout=wHy=

(15)

故輸出SINR表示為：

RSIN(w,s)=

(16)

2.2 恒模和相似性約束

在工程實踐當中，雷達發射機放大器通常工作在飽和狀態，無法對波形幅度進行調制，因此為了能夠充分利用發射機放大器放大功率，往往要求發射的波形具有恒模特性。本文對波形施加恒模約束，為方便表示和計算，假設波形具有歸一化發射能量，即‖s‖2=1，那么波形s的第i個元素s(i)表示如下：

(17)

式(17)又可表示為：

(18)

式中：φi表示si的相位。

對波形施加相似性約束可以使得波形享有已知參考波形的良好特性[16]，如線性調頻信號具有良好的脈沖壓縮特性和理想的模糊度特性。相似性約束的本質是在已知參考波形的鄰域尋找合適的解，表示如下：

(19)

式中：s0表示已知參考波形，且有‖s0‖2=1；s0(i)表示波形s0的第i個元素；ε(0≤ε≤2)表示相似度，當ε=0時，s(i)=s0(i)；當ε=2時，不存在相似性約束，退化為恒模約束。

由于同時施加恒模約束和相似性約束，s(i)只有相位上的自由度，式(19)可進一步表示為[16]：

φi=args(i)∈[γi,γi+δ],i=1,2,…,NTL

(20)

其中：

γi=args0(i)-arccos(1-ε2/2)

(21)

δ=2arccos(1-ε2/2)

(22)

由以上設計指標和約束條件，可得以下優化問題：

(23)

忽略目標函數中的常數項不影響優化結果，則有:

(24)

3 優化算法

優化問題(23)是一個NP-hard問題，無法在多項式時間內給出最優解，但可以通過優化算法獲得其高度近似解。文獻[12]、[13]在求解只有波形恒模約束的優化問題時所使用的優化算法都是通過循環迭代w和s，在每次迭代過程中都需要求解SDP問題，并需要使用高斯隨機化方法恢復出優化波形。然而該算法存在以下幾點不足：一是由于求解SDP問題并使用高斯隨機化方法恢復出秩1約束的波形近似解，計算復雜度較高；二是使用高斯隨機化方法不能保證在迭代過程中目標函數單調非減。

考慮以上文獻中算法的缺點，本文提出了一種新的迭代算法，不需要循環迭代w和s，且能夠避免求解SDP問題和使用高斯隨機化方法獲得波形的近似解，在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解，具體算法如下。

當固定s時，問題(24)轉化成如下無約束優化問題：

(25)

其中：

Rcn(s)=Rc(s)+INRLM

(26)

(27)

問題(25)等價于如下著名的最小方差無失真響應(MVDR)問題[17]：

(28)

其閉式解如下：

(29)

由上可知wopt和s之間的關系，將式(29)代入到式(23)中，經過一番整理后得到如下優化問題：

(30)

觀察可發現分式規劃問題(24)已經被轉化成一個非分式規劃問題。

令：

(31)

則第l次迭代過程中，問題(30)轉化成如下優化問題：

(32)

首先拋去約束條件，可得：

(33)

由類功率迭代法[18]易知其具有歸一化能量的波形閉式解為：

(34)

求得s后再考慮恒模約束和相似性約束，可得：

(35)

式中：φu(i)表示u(sl)的第i個元素的相位；?m∈{-1,0,1}。

求得φi后，由式(18)可求得s(i)。

算法總結如表1所示。

表1 本文提出的算法

對于文獻[12]、[13]中算法，在每次迭代過程中更新一次w的計算復雜度為Ο((NRLM)3),解一次SDP問題的計算復雜度為Ο((NTL)3.5)，使用高斯隨機化恢復s的計算復雜度為Ο(P(NTL)2),P表示隨機化次數。故該算法每次迭代總的計算復雜度為：Ο((NRLM)3)+Ο((NTL)3.5)+Ο(P(NTL)2)。

對于本文所提的算法，在每次迭代過程中只需要更新一次u(s)，計算復雜度為Ο(NTL·(NRLM)2)。

綜上可以看出，本文所提出的算法具有更低的計算復雜度。

4 仿真分析

S0(m,n)=

(36)

式中：m=1,2，…,NT；n=1,2,…,L；s0=vec(S0)。

4.1 本文算法和文獻[12]中算法2性能比較

表2給出了2種算法在只考慮恒模約束情況下的性能指標，包括SINR(dB),CPU運行時間time(s)，迭代次數l，圖2給出了2種算法的SINR隨迭代次數的變化曲線。

表2 本文算法和文獻[12]算法性能比較

圖2 2種算法SINR隨迭代次數變化曲線

從表2和圖2可以看出，在只考慮恒模約束時本文所提算法比對比算法的SINR略高,并且本文算法的運算速度更快，僅需要2次迭代即可停止，耗費時間為24.398 2 s,而對比算法則需要10次迭代才能夠停止，耗費時間為187.457 3 s。從對比結果可以看出，本文算法不僅和對比算法具有相同的優化效果，而且具有更快的運算速度。

4.2 相似度對SINR的影響

表3給出了相似度ε=2,0.5,0.1時使用本文算法得出的優化結果。

表3 相似度對SINR的影響

從表3中可以看出，隨著ε的減小，優化后的SINR也不斷減小，這是符合理論預期的。因為ε的不斷減小，意味著波形s的可行集在不斷減小，從而導致相位的自由度越來越低，最終體現為優化后的SINR值不斷降低。另外從表3中也可以看出無論ε取何值，該算法都具有很快的運算速度。

圖3給出了在ε=2,0.5,0.1時SINR隨迭代次數的變化曲線。從圖3中可以看出波形優化后的SINR由最初未波形設計時(即使用參考信號S0)的9.773 3 dB得到了較大幅度的提升。特別在ε=2時，SINR提高了將近7.5 dB。

圖3 不同相似性約束下SINR隨迭代次數變化曲線

4.3 波形性質分析

圖4給出了優化波形的幅度曲線，從圖中可以看出，無論相似度取多少，優化后的波形振幅恒定，說明了本文算法所設計的波形能夠滿足恒模約束的要求。

圖4 波形幅度

圖5給出了在ε=2,0.5,0.1時雷達第一個發射陣元對應的發射波形的脈沖壓縮特性曲線圖[10]。

圖5 波形脈沖壓縮特性曲線

從圖5可以看出，隨著ε的減小，脈壓旁瓣水平不斷下降，越來越接近于參考波形LFM的脈壓旁瓣，說明了本文算法能夠對波形起到相似性約束的效果。

4.4 雜波抑制效果分析

最后，本文給出了在ε=2，r=0時空-時互模糊函數的二維響應圖，分析了波形優化后對雜波的抑制效果。空-時互模糊函數定義如下：

P(r,f,θ)=|wHA(r,f,θ)s|2

(37)

從圖6可以看出，在目標位置形成峰值，在雜波脊位置形成一條深零陷，說明了本文算法能夠有效抑制雜波。

圖6 空-時互模糊函數二維響應圖

5 結 論

本文研究了機載MIMO雷達在強地雜波環境下的波形設計問題，進一步提高了雷達抑制雜波的性能。本文對波形同時施加了恒模約束和相似性約束，并提出了一種有效的快速迭代優化算法。仿真結果表明了本文所提算法能夠有效提升SINR,進一步增強了對雜波的抑制能力，并且該算法具有較低的運算復雜度，所設計的波形具備恒模特性和相似性特點。下一步可能的工作是研究在雜波兼頻譜擁擠環境下機載MIMO雷達的波形設計問題。