琢磨讀之，通融行之

許貽亮

“用教材教而不是教教材”是理性使用教材的一般性說法。但是，怎樣使用教材才算得上是用好教材呢？一線教師常存在著諸多困惑，也常見諸多不甚合理的做法。一方面是對于“教材”琢磨得不夠，折射出“讀”的問題;另一方面是對于“教學(xué)”思考得不深，折射出“行”的問題。筆者以為，“讀”可取的態(tài)度應(yīng)該是“琢磨”，而“行”可取的策略可以是“通融”。其根本指向的目標(biāo)是：關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，讓學(xué)生“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思考”。具體操作如何進(jìn)行，本文結(jié)合課例具體展開探討。

一、琢磨教材，在“通透”中前行

要用好教材，首先就要琢磨教材，認(rèn)真、仔細(xì)、深入地讀懂教材。這其中，包括表層內(nèi)容，如課題、情境、問題串、旁白、習(xí)題等，也包括深層內(nèi)容，如內(nèi)涵、外延、邏輯、意圖等。既要讀出教材科學(xué)、合理的內(nèi)容與形式，也要善于思考，提出教材因篇幅、地域、時(shí)間變遷等而產(chǎn)生的不適切內(nèi)容。這樣讀，才能既走進(jìn)教材又走出教材，也才能在教學(xué)實(shí)踐中“通透”地前行。

例如，教學(xué)北師大版四下“探索與發(fā)現(xiàn)：三角形邊的關(guān)系”。分析教材中的3個(gè)問題串：第一個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生通過操作，發(fā)現(xiàn)問題（有的能擺成，有的擺不成）;第二個(gè)問題是引導(dǎo)學(xué)生思考其中的道理，發(fā)現(xiàn)三邊之間的初步規(guī)律（較短的兩根小棒的長度之和大于長的那根小棒）;第三個(gè)問題則用一一列舉的方式，讓學(xué)生從不完善到完善、從特殊到一般地歸納出三邊間的關(guān)系。

教材的編排從操作入手，逐步過渡到觀察、分析、計(jì)算、歸納等環(huán)節(jié)，符合學(xué)生認(rèn)知的一般規(guī)律。但反復(fù)琢磨，可讀出如下問題：其一，如果擺不成三角形，那么這3根小棒就不是三角形的邊，可以借用它們來探究三角形的三邊關(guān)系嗎？其二，兩根較短的小棒長度之和剛好等于較長小棒的長度，用于操作的話會很“順利”還是很“意外”？其三，三角形兩邊之和大于第三邊，是通過擺出來發(fā)現(xiàn)的嗎？其數(shù)學(xué)本質(zhì)是“加法的不等式”嗎？

顯然，本課的教學(xué)內(nèi)容涉及兩個(gè)方面：其一是，基于兩點(diǎn)之間直線段最短而發(fā)現(xiàn)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”;其二是，基于關(guān)系，對所給3根小棒是否能圍成三角形做出判斷。一個(gè)是理解，一個(gè)是應(yīng)用。兩個(gè)層次一先一后，相銜而行。而教材編排上，這個(gè)次序顯然是顛倒了，先“應(yīng)用”后“關(guān)系”，邏輯上不通透、不合理。

基于邏輯通透的思考，筆者對本節(jié)課進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：①出示小明家、公園、學(xué)校的路線圖（剛好圍成一個(gè)三角形）。以“可以怎么走”為核心問題，讓學(xué)生直觀地感知從小明家去公園或?qū)W校，或從學(xué)校去公園等，都是“直著走”比“繞著走”近。再用數(shù)學(xué)式子表示出來：A+B>C、A+C>B、B+C>A。從而發(fā)現(xiàn)三角形三邊的關(guān)系：“三角形的任意兩邊之和大于第三邊。”②要選3根小棒圍成一個(gè)三角形，你會怎么選？（提供：6厘米、8厘米、9厘米、11厘米、13厘米、15厘米的小棒各1根）讓學(xué)生先說出選擇的小棒，再進(jìn)行實(shí)際操作驗(yàn)證;學(xué)生應(yīng)用規(guī)律實(shí)現(xiàn)應(yīng)用的泛化，借助操作理解6+8<15圍不成三角形的道理，借助課件理解6+9=15也圍不成三角形的道理，再進(jìn)行練習(xí)強(qiáng)化。③提供兩根小棒（9厘米和15厘米），讓學(xué)生思考第三根最長幾厘米？最短幾厘米？（取整厘米數(shù)）緊接著，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)：兩根同樣的小棒，第三根小棒的長度為什么會不一樣呢？從而發(fā)現(xiàn)：小角對應(yīng)著短邊，大角對應(yīng)著長邊。（如圖1）讓學(xué)生不僅知道第三邊的結(jié)果，更知道第三邊長度變化的緣由，讓學(xué)生獲得頓悟的愉悅。

這樣教學(xué)，既基于教材，又不拘泥于教材。教師思考上的通透，決定著學(xué)生數(shù)學(xué)思維的通透，最終以“序”為線，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展。一方面，遵循認(rèn)知邏輯上的序：先理解、再應(yīng)用。另一方面，遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的序：先整體、后微觀。同時(shí)，在教學(xué)中放大、突顯數(shù)形結(jié)合、猜測驗(yàn)證、觀察明理等環(huán)節(jié)，使學(xué)生的歸納思維、求證思維、辯證思維等得到確實(shí)的發(fā)展。

二、琢磨學(xué)生，在“變通”中深刻

教學(xué)，教是起點(diǎn)端，學(xué)是終點(diǎn)端。教學(xué)出現(xiàn)問題，常常是教師對于學(xué)生琢磨得不夠、不透，不能走進(jìn)學(xué)生的內(nèi)心世界。要讀懂學(xué)生的現(xiàn)有起點(diǎn)、學(xué)習(xí)需求、內(nèi)在心理等，不墨守成規(guī)，才能變通設(shè)計(jì)，從而讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，深化數(shù)學(xué)思維。

例如，教學(xué)北師大版五下“郵票的張數(shù)”一課。對課例情境“家中姐弟集郵”（姐弟共有180張郵票，姐姐的郵票張數(shù)是弟弟的3倍），以及4個(gè)問題串進(jìn)行分析：前3個(gè)問題是可以歸為一組，從問題和方法指導(dǎo)入手，讓學(xué)生經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系到列方程解答的全過程。第4個(gè)問題其實(shí)是這一過程的拓展應(yīng)用（從和倍問題到和差問題）。

從學(xué)生的起點(diǎn)來看，學(xué)生已學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)、等量關(guān)系、方程、解方程等初步的代數(shù)內(nèi)容，并且也會用方程解決簡單的數(shù)學(xué)問題。本課中未知數(shù)從1個(gè)增加到2個(gè)，且指定用方程解答，是要讓學(xué)生體驗(yàn)化逆為順的思維特點(diǎn)，增強(qiáng)用方程解決問題的意識和能力。但是，在不強(qiáng)求用方程解答的情況下，絕大多數(shù)的學(xué)生采用的是算術(shù)解還是方程解？甚至在強(qiáng)求用方程解答的情況下（如考試中），仍有部分學(xué)生采取算術(shù)解的方式，又是為什么？折射出來的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)需求等需要我們琢磨。對于和倍問題、差倍問題等兩個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生由于先前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)影響（畫圖、平均分等），算術(shù)思維仍是潛意識的第一反應(yīng)，代數(shù)思維仍是一種強(qiáng)制性的指令反應(yīng)。同時(shí)，對于用方程解的過程的繁復(fù)（先解設(shè)，再解答等），學(xué)生常下意識地排斥。簡言之，學(xué)生并不像我們期待的那樣愛上方程解，教學(xué)目標(biāo)談何達(dá)成？

基于對學(xué)生學(xué)情的琢磨，筆者對本節(jié)課進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：①出示主題圖，讓學(xué)生整理出其中的等量關(guān)系：姐姐的郵票張數(shù)+弟弟的郵票張數(shù)=180張。問：“那姐弟各有郵票多少張？”讓學(xué)生明白，答案不確定。②逐步出示中間的條件信息，讓學(xué)生用自己喜歡的方式列式解答（算術(shù)解、方程解都是可以的）。a.姐姐的郵票張數(shù)是弟弟的3倍;b.姐姐的郵票張數(shù)比弟弟多40張;c.姐姐的郵票張數(shù)比弟弟的3倍少20張。3個(gè)條件有序遞進(jìn)，從和倍問題、和差問題發(fā)展到非整數(shù)倍的數(shù)學(xué)問題，在重復(fù)中讓學(xué)生經(jīng)歷從不用方程到用方程也可以，再到方程很好用的過程，深刻感受方程的特點(diǎn)和價(jià)值，體會用方程解的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一性、思維簡明性。③讓學(xué)生梳理小結(jié)：方程，好嗎？強(qiáng)化學(xué)生對于方程的認(rèn)知。④利用變式練習(xí)讓學(xué)生形成理性策略：什么時(shí)候用方程解，什么時(shí)候不用方程解？

善于變通的教學(xué)，培養(yǎng)善于變通的學(xué)生，使學(xué)生數(shù)學(xué)思維更為深刻：其一，強(qiáng)化列方程而弱化解方程。突出意識優(yōu)先，讓學(xué)生先行確立“我想用方程解”“我會用方程解”的意識。課堂更聚焦，不陷入零散的求解計(jì)算中。其二，強(qiáng)化解法自由而弱化指定方程。變說教為自悟，“用方程解”不是教師單方面強(qiáng)求，而是學(xué)生在嘗試中不知不覺地自我確立。由此，學(xué)生的方程思維、優(yōu)化思維、靈活思維等得到了確實(shí)的發(fā)展。

三、琢磨結(jié)構(gòu)，在“融匯”中完善

教材和教學(xué)都是有結(jié)構(gòu)的，起承轉(zhuǎn)合中自有內(nèi)在的脈絡(luò)。這些結(jié)構(gòu)，如果只讀一課教材而不放眼整套教材是難以琢磨出來的，如果只是讀教材的表面知識、技能而不是深究數(shù)學(xué)本質(zhì)也是難以琢磨出來的。換句話說，要把知識的前世、今生、未來放在全局中來看，要把課堂教學(xué)的起與落、放與收等放在結(jié)構(gòu)中考量，用“融匯”給學(xué)生以合力，推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

例如，教學(xué)北師大版四下“買文具”一課。分析教材中的3個(gè)問題串及生活情境“買文具”，問題1與2解決的是一位小數(shù)乘整數(shù)的算理和算法，突出學(xué)生利用原有知識經(jīng)驗(yàn)解決生活問題的策略，滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法與今天所學(xué)內(nèi)容之間的“結(jié)構(gòu)一致性”。問題3，是知識的泛化應(yīng)用，從0？郾2乘幾到0？郾4乘幾，從積為純小數(shù)到積為帶小數(shù)，從而讓學(xué)生在應(yīng)用中進(jìn)一步理解算法、熟練算法。

可以看出，本課教材內(nèi)容安排已經(jīng)具有一定的結(jié)構(gòu)性。但是仔細(xì)琢磨，這一結(jié)構(gòu)尚有一些欠缺：其一，小數(shù)乘整數(shù)的算理結(jié)構(gòu)僅是轉(zhuǎn)化為小數(shù)加法，還不夠突顯，沒有和以往學(xué)習(xí)乘法的認(rèn)知結(jié)構(gòu)緊密地結(jié)合起來;其二，小數(shù)乘整數(shù)的應(yīng)用結(jié)構(gòu)僅是買文具，局限于購物，沒有更廣泛、更靈活地解決生活問題;其三，小數(shù)乘整數(shù)的承載結(jié)構(gòu)僅是純小數(shù)乘整數(shù)，還比較單一，是否應(yīng)該適當(dāng)涉及帶小數(shù)乘整數(shù)的內(nèi)容;其四，小數(shù)乘整數(shù)的算法結(jié)構(gòu)僅靠學(xué)生感悟，還比較零散，沒有進(jìn)行算法的歸納與整理，不利于學(xué)生熟練技能、形成能力、發(fā)展思維。

基于對結(jié)構(gòu)的思考，筆者對本課進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：①回顧，喚醒經(jīng)驗(yàn)。用“你會計(jì)算嗎”直擊學(xué)生認(rèn)知心理，把前面學(xué)習(xí)的相關(guān)計(jì)算內(nèi)容進(jìn)行一次簡要梳理，也為課末的拓展埋下伏筆，使學(xué)生在一開始就對小數(shù)乘法有一個(gè)全景式認(rèn)知。②遷移，利用經(jīng)驗(yàn)。從買橡皮到買鉛筆和尺子，從純小數(shù)乘整數(shù)到帶小數(shù)乘整數(shù)，讓學(xué)生理解算法、熟悉算法。可以把二年級學(xué)習(xí)乘法時(shí)用的數(shù)線模型納入本課教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)一數(shù)中，進(jìn)一步體會乘法的意義，形成一致性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（如圖2）③應(yīng)用，活用經(jīng)驗(yàn)。以0.5乘3為載體，從有單位的量到無單位的數(shù)，從一種列式到兩種列式（滲透乘法交換律），從買文具的生活場景到“還可以解決什么樣的生活問題”，從一位小數(shù)乘整數(shù)到兩位小數(shù)乘整數(shù)，從熟悉算法到概括算法，使學(xué)生感悟到小數(shù)乘整數(shù)結(jié)構(gòu)應(yīng)用的廣泛性及方法的可遷移性。④拓展、內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)。以0？郾3×0？郾2引發(fā)學(xué)生思考，并促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步拓展：后續(xù)還將學(xué)習(xí)什么？從而使今天的學(xué)習(xí)、未來的學(xué)習(xí)形成一個(gè)有機(jī)的、更完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

良性結(jié)構(gòu)的教學(xué)，成就有張力結(jié)構(gòu)的學(xué)生。把有聯(lián)系的內(nèi)容聯(lián)通起來，把過去、現(xiàn)在和未來融合起來，從原有的教材出發(fā)，向四面八方展開搜索、鏈接、整合，體現(xiàn)教學(xué)的完整性、豐富性、層次性，使學(xué)生在化歸思維、求異思維、類比思維等方面獲得發(fā)展。

琢磨從教材、學(xué)生、結(jié)構(gòu)入手，以通透、變通、融匯等通融策略為著力點(diǎn)，可以有力地推動學(xué)生多種數(shù)學(xué)思維的確實(shí)發(fā)展，也推動教師在教學(xué)研究、教學(xué)行動上的不斷深入，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長的和諧統(tǒng)一。

（作者單位：福建省晉江市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）