調制激勵下直齒傳動系統動力學特性分析

王 仲,張兆剛,張 磊

(遼寧科技學院機械工程學院，遼寧 本溪 117004)

0 前言

齒輪傳動機械傳動的主要形式之一，被廣泛地應用于機床、汽車、風力發電機等設備。很多學者使用分析法、仿真法以及實驗法等方法分析了齒輪傳動系統的動力學特性。基本都是使用集中參數模型[1-4]或有限元模型[5-6]建立系統模型，使用數值算法[1-5]或近似解析算法[7]求解。

研究者們主要針對時變嚙合剛度、齒輪傳遞誤差、齒側間隙、輪齒摩擦等問題，建立不同的數學模型，使用不同的求解方法進行分析。Liu[8]針對齒輪轉子系統，使用集中參數法建立系統模型，詳細地分析了內、外激勵對系統響應的影響。Li[9]分析了潤滑對輪齒間的摩擦力的影響，考慮輪齒間的混合彈流潤滑摩擦力，建立了耦合混合彈流潤滑摩擦力的直齒傳動的平移-扭轉方程。Ghosh[10]基于直齒傳動6自由度平移-扭轉集中參數模型，考慮摩擦力的影響，分析了各個參數對系統穩定性的影響。錢露露等[6]應用用有限元節點建模方法建立考慮軸、齒輪轉子陀螺效應的單級齒輪傳動系統動力學模型，由轉子動力學穩定性理論計算得到系統的渦動臨界轉速等高速動態性能參數與響應特征。Zhou[11]考慮摩擦力的影響，建立了齒輪傳動系統的齒輪-轉子-軸承耦合的平移-扭轉集中參數模型，并使用數值算法討論系統的非線性特性。Zhang[12]考慮齒輪箱支撐剛度，建立了齒輪箱與基礎間柔性連接下齒輪傳動系統的集中參數模型，分析了齒輪箱與基礎間的連接剛度對傳動系統動力學特性的影響。

由于加工誤差、裝配誤差等因素的影響，實際測試中，齒輪傳動振動信號在其嚙合頻率附近存在明顯的邊頻帶，而上述模型均未考慮該現象。本文將加工誤差、裝配誤差等因素的影響簡化為時變剛度與傳動誤差的調幅-調頻調制，建立了調幅-調頻調制激勵下齒輪傳動系統的5自由度集中參數無量綱模型，并采用數值算法對其進行求解，與非調制下系統響應進行對比，得到調幅-調頻調制激勵下系統動力學特性。

1 系統動力學模型

齒輪傳動系統模型如圖1所示。在建立系統模型時，有必要進行簡化處理：(1)齒輪簡化為剛性圓盤，相互嚙合等效為時變剛度的彈簧；(2)嚙合阻尼等效為粘性阻尼；(3)齒輪軸等效為無質量的剛性軸，其質量屬性集中到相應的齒輪中；(4)滾動軸承的支撐剛度等效為線性彈簧；(5)滾動軸承的支撐阻尼等效為粘性阻尼。

圖1 直齒傳動系統模型

圖1中xp與yp分別為主動齒輪沿水平方向與豎直方向的振動位移；xg與yg分別為從動齒輪沿水平方向與豎直方向的振動位移；θp與θg分別為主動齒輪與從動齒輪沿如圖1中所示扭轉方向的振動位移；Tp與Tg分別為系統的驅動力矩與負載力矩；kp與kg分別為主動齒輪與從動齒輪的支撐剛度；cp與cg分別為主動齒輪與從動齒輪的支撐阻尼；rp與rg分別為主動齒輪與從動齒輪的基圓半徑；α為嚙合角。

由于制造誤差、裝配誤差等因素的影響，輪齒間的時變嚙合剛度可表示為

(1)

(2)

與嚙合剛度相似，傳動誤差的調幅-調頻形式為

(3)

(4)

相互嚙合的輪齒間的相對位移可表示為

δ(t)=(xpsinα-ypcosα+rpθp)-(xgsinα-ypcosα+rgθg)-em(t)

(5)

考慮到齒側間隙，相互嚙合的輪齒間的相對位移為

(6)

式中，b為單側齒側間隙。

(7)

式中，ζp與ζg分別為主動齒輪與從動齒輪的支撐阻尼比；ζm為嚙合阻尼比。

2 幅-頻響應分析

系統U方向位移瀑布圖如圖3所示，其中圖3a為調制激勵下系統瀑布圖，圖3b為非調制激勵下系統瀑布圖。從圖3中可以看出，嚙合頻率fm成分是系統響應的主要頻率成分，且其變化規律與系統相應的幅-頻響應曲線相似。同時，兩種激勵形勢下，均可分辨出2fm頻率成分。在ω=0.2附近可以看到，調制激勵下系統響應中的2fm頻率成分幅值大于非調制激勵下的響應頻率成分。而在ω=0.2附近，調制激勵下系統響應與非調制激勵下系統響應中均還可分辨出2fm、3fm、4fm以及5fm等倍頻成分。

表1 齒輪傳動系統參數

圖2 系統幅-頻響應曲線

取ω=0.2時U方向非調制激勵與調制激勵下系統響應做進一步分析，其中圖4a與圖4b分別為非調制激勵與調制激勵下系統響應時程圖，圖4c與圖4d分別為非調制激勵與調制激勵下系統響應頻譜。

圖3 系統瀑布圖

圖4 ω=0.2時非調制激勵與調制激勵下系統響應

3 結束語

由于加工誤差、裝配誤差等因素，實際齒輪測試中齒輪振動信號在嚙合頻率及其倍頻程附近均存在邊頻帶。本文建立了調幅-調頻調制下時變剛度與傳動誤差的數學模型，并基于集中參數法建立了直齒傳動的平移-扭轉5自由度無量綱模型。數值分析結果表明，調制激勵下系統幅頻響應曲線跳躍早于非調制激勵；調制激勵下系統嚙合頻率及其倍頻程附近存在明顯的邊頻帶。