圓錐曲線中相交圓的一個定點命題

李偉健

(安徽省滁州中學 239000)

近年，高考對“過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦”的性質進行了考察(2016年普通高等學校招生全國統一考試理科數學(乙)卷第20題).事實上，中學數學教師對過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦的性質早就給予了充分關注.林新建老師在文[1]指出以過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦為直徑的圓的公共弦的中點軌跡是一個圓.葉良志、盧瓊兩位老師在文[2]進一步探索，得出如下命題：

命題1以過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

尹惠民老師在文[3]中繼續對這一結論進行了探索，發現將“過圓錐曲線的焦點”替換為“圓錐曲線內部的一個定點”，結論仍然成立.實際上，通過觀察尹惠民老師的計算過程，可以發現，尹惠民老師在文[3]中實際上證明的是：

命題2以過平面內一定點的兩條互相垂直的動直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

本文對這一定點命題進行探究，發現文[3]中，兩條弦所在直線垂直這一條件是多余的，即：

命題3以過平面內一定點的兩條動直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形，對這一命題進行詳細論證，并且在論證的過程中發現了兩個有趣的推論，首先給出橢圓情形的證明.

圖1

證明設P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線l，l′的斜率存在時，設直線l，l′的斜率分別為k，k′，那么直線l的方程……