初中數學函數最值問題建模嘗試

劉維

1 問題描述

人民教育出版社出版的義務教育課程標準試驗教科書九年級下冊二次函數（實際問題與二次函數）中有這樣一個問題：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件；已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

2 問題解決的過程

2.1 回味無窮

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的性質

頂點式，對稱軸和頂點坐標公式：

對稱軸：直線

頂點坐標：

利潤=售價-進價.

總利潤=每件利潤×銷售數量.

2.2 問題引入

活動1

1. 求下列函數的最大值或最小值.

⑴ y = x2 + 2x - 3； ⑵ y=-x2 + 4x

2、圖中所示的二次函數圖像的解析式為：

y = 2x2 + 8x + 13

⑴若-3≤x≤3，該函數的最大值、最小值分別為

（ 55 ）、（ 5 ）。

⑵又若0≤x≤3，該函數的最大值、

最小值分別為（ 55 ）、（ 13 ）。

注意：求函數的最值問題，應注意什么？

活動2

某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進

價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？請大家帶著以下幾個問題讀題

（1）題目中有幾種調整價格的方法？

（2）題目涉及到哪些變量？哪一個量是自變量？哪些量隨之發生了變化？

概括：構建二次函數模型解決 一些實際問題

分析： 某商品價格調整，銷量會隨之變化。調整價格包括漲價與降價兩種情況。一般來講，商品價格上漲，銷量會隨之下降；商品價格下降，銷量會隨之增加。這兩種情況都會導致利潤的變化。如何定價才能使利潤最大呢？

先來看漲價的情況：⑴設每件漲價x元，則每星期售出商品的利潤y也隨之變化，我們先來確定y與x的函數關系式。漲價x元時則每星期少賣 10x 件，實際賣出 （300-10x） 件，銷額為 （60+x）（300-10x） 元，買進商品需付 40（300-10x） 元因此，所得利潤為 y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x） 元

即：y = -10x2 + 100x + 6000（0≤X≤30）

當x = 5 時，y最大，也就是說，在漲價的情況下，漲價 5 元，即定價 65 元時，利潤最大，最大利潤是 6250 .

可以看出，這個函數的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數圖像的最高點，也就是說當x取頂點坐標的橫坐標時，這個函數有最大值。由公式可以求出頂點的橫坐標.

在降價的情況下，最大利潤是多少？請你參考（1）的過程得出答案。

答：定價為元時，利潤最大，最大利潤為6050元

由（1）（2）的討論及現在的銷售情況，你知道應該如何定價能使利潤最大了嗎？

2.3 解題方法歸納

（1）根據實際問題，構建二次函數模型，即將問題轉化為二次函數的一個具體的表達式.

（2）運用二次函數及其性質求二次函數的最大（或最小值）

解題思想歸納

（1）建模思想：根據題意構造二次函數

（2）數形結合思想：根據圖象特征來解決問題

2.4 歸納小結

運用二次函數的性質求實際問題的最大值和最小值的一般步驟 ：

（1）求出函數解析式和自變量的取值范圍

（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值

（3）檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內 。

2.5 布置作業

課時訓練P21-22

3 課堂教學建模

上面這節課是在學習了二次函數的概念、圖象、性質后，進一步應用函數知識解決實際問題的（通問過對實際問題的分析，把問題轉化為二次函數求最值問題）一節應用課.主要內容包括：生活中利潤問題轉化為數學問題進行解決，通過實際問題的解決，并對解決方法進行反思，獲得解決問題的經驗；掌握數學建模思想在實際問題中的應用，體現數學的實際應用價值。

二次函數與現實生活聯系緊密，運用函數知識解決生活實際問題是數學的實際應用價值的體現.本節課的設計就是從現實生活入手，通過對圖形的理解和分析，將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，讓學生在解題的過程中體會數學的應用價值，培養學生的數學實踐能力.

隨著課改的深入開展，實際情景問題應運而生，并迅速發展成為命題的亮點、熱點。實際情景問題是復雜多變的，它貼近生活，為學生所熟悉，且以一定的知識為依托。情景設置的取材廣泛，有社會熱點問題，如環保、納稅、經濟、合理用料等，使問題富有時代氣息；也有日常生活中常見的問題，如購物、統計、幾何圖形的計算等。解決實際情景問題的關鍵是"轉化"，即將實際情景問題"數學化"，根據已有的數學知識、經驗去建立相應的數學模型（即數學建模），進而解決問題。所謂數學建模就是把所要研究的實際問題，通過數學抽象構造出相應的數學模型，再通過數學模型的研究，使原問題獲得解決的過程。

其基本思路是：

4 課堂教學建模的思考

由于社會的發展，必須培養學生具有從實際問題中獲取信息，建立數學模型，分析問題與解決問題的基本能力。而中學數學中的數、代數式、方程、函數等都是反映現實世界的數學模型，因而在一定程度上，可以說數學建模就是中學數學的一條主線，應該把視野更開闊些，以這樣的觀念處理具體的數學內容。如對于方程，按新課程標準編寫的教材沒有按照原有的習慣分類，一個個討論工程問題、行程問題、濃度問題等，而是緊扣數學建模，努力讓學生學會從實際問題中獲取信息，建立數學模型，分析問題與解決問題，實際上，一種數學模型也不可能是某一種問題所特有的。對于函數內容的處理同樣如此，從實際問題出發，引入函數模型，研究函數性質，又回到實際中去。因此必須努力縮短數學課程與現代社會的距離，與學生的距離，與學生生活實際的距離，與學生終身需求的距離。作為初級中學數學教師應如何正確認識數學建模與應用性問題教學和進行數學建模與應用性問題教學，全面落實數學課程標準？面向所有的學生，讓所有的學生獲得更多可以廣泛應用、與現實世界及其他學科密切相關的數學！讓所有的學生學到有價值的、富有挑戰性的數學！讓所有的學生學會數學地思考，并積極地參與數學活動，進行自主探索！

（作者單位：四川省南部縣流馬鎮初級中學）