初中數學函數教學研究—以一次函數為例

徐曉光

【摘 要】函數是中學數學教學的一條主線，同時是教學的重點及難點。函數是用運動、變化的觀點來分析問題中的數量關系，是量化地描述運動變化現象的重要數學模型，它刻畫了變化過程中變量之間的對應關系。本文以一次函數教學為例來研究函數，把握函數的本質概念，體會數形結合思想，對以后研究函數的圖象及性質至關重要，同時為以后學習二次函數、反比例函數等打下基礎。

【關鍵詞】一次函數；數形結合；類比

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）07-0228-01

函數在數學這門課程中占據著重要的地位，從初中到高中，簡單函數到復合函數，初等函數到超越函數，顯函數到隱函數等，同時函數還和物理、化學等學科有著密切的聯系，可見函數的重要性非同一般。一次函數是學習其它各類函數的起步階段，一次函數的學習基礎沒有夯實，那么后面的函數學習會遇到各種困境。本文就談談教師在教學過程中需要注意一些問題。

一、函數的概念學習

函數概念是初中學生首次遇到的用數學關系給出的定義，與以往數學概念的定義不一樣，學生接受起來有一定的困難。筆者通過教學發現，中學生學習函數困難主要有以下兩個原因：

1.函數自身的抽象性。

北師大版教材是這樣給出函數的定義：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量。函數內涵深刻又外延豐富，很多同學表面上理解以為函數就是簡單的一個數，其實不然，函數是刻畫變化過程中變量之間的對應關系。教師要抓住概念的核心詞，把概念給學生講透，要舍得在這里花時間。很多老師在講函數起始課時，不注重概念的教學，對概念沒有深入的研究，單純地教學生函數就是一個變量依賴于另外一個變量。深入研究函數的概念，要想讓變量y成為變量x的函數，需要滿足兩個條件：①在同一個變化過程中，有兩個變量x和y；②對于變量x的每一個確定值，變量y都有唯一的值與之對應。“單值對應”是函數概念的關鍵詞，是函數概念的核心所在。

中學生學習函數困難在于難以概括出“一個變量的值的確定導致另一個變量取值的唯一確定”這一函數概念的核心特征，當一個變量的值確定時，另一個變量怎樣才算“唯一確定”？學生容易誤以為函數關系中的“唯一確定”僅僅是可以通過式子求出的唯一值，對不能用式子求出值的單值對應關系難以理解。因此，教師在教學過程中，要突出函數的本質屬性，剝離“用式子表示變量關系”這一非本質屬性。

2.中學生認知的局限性。

中學生思維認知的局限性，對于函數的本質理解有一定的困難。盡管初中生的抽象邏輯思維在不斷發展，但是具體形象思維仍然發揮著主要作用。對他們而言，函數這樣具有抽象性的概念，理解起來還是有一定困難。如果函數的教學時間過長，又沒有具體的函數做支撐，會加大學生對函數的認知負荷。由于上述已經給出函數概念，但是常量、變量的描述容易造成歧義，比如：2016年北京地鐵票價統一為2元，那么票價與站數之間的關系是不是函數關系呢？這對于剛剛接觸函數概念的中學生來說，存在認知的困惑。

二、一次函數的教學思考

教師要想把一次函數教好，首先要有一個好的教學設計，根據自己班級學生的學清制定切實可行的教學目標，在教學過程中不斷地根據學生的反饋優化自己的教學目標。只有這樣，教師才有可能提高一次函數的教學效果。筆者更多關注的是每一節課的教學目標是否達成了？還是只是習慣了傳統的“雙基”教學？只注重基本知識和基本技能的訓練？而忽略孩子解決問題的能力以及思考問題的方向以及角度？

筆者根據本班孩子的學清，從知識技能、過程與方法、情感態度三個方面制定了符合學清的教學目標[2]。

1.在具體的情境中，經歷一次函數的抽象過程，能夠區分一次函數和正比例函數；根據兩點能夠畫出一次函數y=kx+b的圖象，能夠辨析一次函數y=kx+b和正比例函數y=kx的位置關系。

2.能夠根據一次函數的圖象總結函數的性質，體會數形結合思想在一次函數中的益處，培養學生能夠運用數形結合的方法解決問題的能力，同時培養學生對一次函數的總結、歸納概括的能力。

3.讓學生根據圖象分析一次函數和正比例函數，體會兩者之間的聯系與區別，領會一般和特殊的辯證關系。

4.通過一次函數的教學，培養學生的數學思維能力以及積極思考問題的數學學習習慣。

怎樣實施教學呢？

筆者認為數學應該與生活息息相關，根據生活中的實際例子激發學生的學習積極性。筆者在引入新課的時候，這樣設計問題：某輛汽車油箱中原有油100L，汽車每行駛50千米耗油9L。根據這句話，你能提出什么問題呢？

這樣具有開放性的問題，學生對于一次函數的學習就會有好奇心。一開始設計這樣的開放性問題，學生的思維就會發散，能夠培養學生的數學思維能力，激發問題生成。開放性問題不同于封閉性問題，開放性問題可以讓各個層次的孩子都參與進來，引發學生思維的碰撞，本開放性問題與學生的平時生活息息相關，學生會很感興趣，這對于本節課的教學開了一個好頭。

【片段教學實錄】

根據剛剛的問題，你能提出哪些與數學相關的問題？

生1：汽車行駛100千米，耗油多少升？

生2：汽車行駛的路程可以無限遠嗎？

生3：油箱剩余的油量和汽車行駛的距離之間有什么關系呢？

生4：當油箱中的油量全部用完時，汽車能夠行駛多遠？

……

同學們提的問題真好！筆者及時抓住學生提的問題，重點選擇學生3的問題，與全部同學一起研究探討，其余問題留給學生自己研究。

此外，筆者還要求學生利用課余的時間去走訪一下超市、打出租車、了解一下收費站收費情況，觀察一下自己周邊的這些事物是否有函數有關呢？如果有關，是存在怎樣的一種函數關系呢？通過這樣的作業布置，讓學生感受到函數就在我們身邊，隨處可見！讓學生感受到函數的應用價值，體會到函數并不是那么遙不可及，增加學生學習函數的信心。