淺談小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)教材中最大公因數(shù)的兩種定義對研究的影響

吳林雋

【摘要】很多高中生在讀小學(xué)時都學(xué)過公因數(shù)、最大公因數(shù)（或稱公約數(shù)、最大公約數(shù)）的定義，學(xué)生一直到高中畢業(yè)時，頭腦中對最大公因數(shù)的概念還停留在“公因數(shù)中最大的一個”這個根深蒂固的印象上.這對高中生畢業(yè)后進(jìn)入大學(xué)再次學(xué)習(xí)最大公因數(shù)的定義是不利的，為此，筆者舉出一些現(xiàn)行的小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)本科教材中對最大公因數(shù)的定義，并嘗試從不同的定義對一些比較重要的最大公因數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.

【關(guān)鍵詞】公因數(shù);最大公因數(shù);整除;定義;性質(zhì)

很多高中生在讀小學(xué)時都學(xué)過公因數(shù)、最大公因數(shù)（或稱公約數(shù)、最大公約數(shù)）的定義，現(xiàn)行的北師大版小學(xué)五年級上冊數(shù)學(xué)教材[1]第77頁是這么定義公因數(shù)、最大公因數(shù)的：“12和18相同的因數(shù)是它們的公因數(shù)，其中最大的一個是它們的最大公因數(shù).”第31頁還規(guī)定了小學(xué)階段的研究范圍：“我們只在自然數(shù)（零除外）范圍內(nèi)研究倍數(shù)和因數(shù).”學(xué)生一直到高中畢業(yè)時，頭腦中對最大公因數(shù)的概念還停留在“公因數(shù)中最大的一個”這個根深蒂固的印象上.這對高中生畢業(yè)后進(jìn)入大學(xué)再次學(xué)習(xí)最大公因數(shù)的定義是不利的，為此，筆者舉出一些現(xiàn)行的大學(xué)本科教材中對最大公因數(shù)的定義.

三、對定義1和定義2的研究過程小結(jié)

我們由上面兩種定義的研究過程可以看到：

1.不管是哪種定義，對性質(zhì)2和性質(zhì)3這兩個“很自然的結(jié)論”的證明，都可以跳過形如t1a1+t2a2+…tnan的構(gòu)造方法，但是形如t1a1+t2a2+…tnan的構(gòu)造方法，確實(shí)讓我們的研究前進(jìn)了一大步，是一個很妙的方法和結(jié)論.

2.定義1和定義2看上去都是很自然的定義，但是定義1給我們的感覺（特別是中小學(xué)生）更像是一個定義，而定義2給我們的感覺（特別是中小學(xué)生）更像是最大公因數(shù)的一個結(jié)論（雖然它看上去很自然、很“顯然”）.我們可以證明最大公因數(shù)的這兩種定義是相互等價的，大學(xué)教材如果在編寫時能夠說明這一點(diǎn)就更好了.

3.最小公倍數(shù)的定義，我們可以類似地在小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)教材中找到兩種不同的定義方法，同樣可以根據(jù)兩種不同的定義方法，進(jìn)行不同的研究（與此文中最大公因數(shù)的研究方法類似，但是最小公倍數(shù)的不少性質(zhì)可能用算數(shù)基本定理會更加容易證明和理解）.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉堅(jiān)，孔企平，張丹，位惠女，陶文中.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·五年級（上冊）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論：第3版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]李迅，陳德燕.高中奧數(shù)專題講座[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.