線性回歸模型初探

莫文明

【中圖分類號】F224 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）07-0274-02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》第二部分“課程目標(biāo)”中明確規(guī)定了高中數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)，并將目標(biāo)分解為三個(gè)方面：知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀，明確規(guī)定了以“經(jīng)歷”、“模仿”、“發(fā)現(xiàn)”、“探索”為標(biāo)志的過程性目標(biāo).

數(shù)學(xué)課程改革至今，數(shù)學(xué)的應(yīng)用性及其與生活的緊密聯(lián)系受到各方面關(guān)注與重視，數(shù)學(xué)模型正慢慢地從大學(xué)進(jìn)入中學(xué)課堂.在現(xiàn)實(shí)世界中，不少變量之間是存在著一定關(guān)系，一般說來，這種關(guān)系大體上可以分為兩類，一類是確定性的，即函數(shù)關(guān)系.例如，線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.另一類是非確定性的，這類變量之間雖有一定的關(guān)系卻又并不完全確定.例如，人的血壓與年齡關(guān)系.農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量有關(guān)……這些變量雖有一定聯(lián)系，但卻不能用普通函數(shù)關(guān)系來表達(dá).事實(shí)上，這些變量是隨機(jī)變量或其中至少有其中一個(gè)是隨機(jī)變量.這種非確定性的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

回歸分析正是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)工具，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)方法之一.在生產(chǎn)實(shí)踐、資金預(yù)測和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.研究方法：教材介紹“最小二乘法”的思想方法，并用“可以推得”的幾個(gè)字越過了推導(dǎo)過程，直接給出了

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，有部分學(xué)生對這公式表現(xiàn)得很困惑，迫切的希望知道的求法，再加上此思想方法有是回歸分析方程形成的理論柱石.現(xiàn)給出推導(dǎo)過程，意在推導(dǎo)過程中讓學(xué)生加深對公式的記憶和理解.推導(dǎo)過程如下：

用最小二乘法使函數(shù)

分別將a，b看成未知數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0得

由方程解得：

教材中給出的a，b公式比較復(fù)雜，學(xué)生不便記憶.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)， a，b的數(shù)值也可以通過下面方程組得到

上面的方程組可以這樣來記憶，設(shè)想Y=bX+a 有n個(gè)值相加，得到方程組的第一個(gè)方程；在直線方程Y=bX+a兩邊同乘X在設(shè)想n個(gè)數(shù)值相加，并得到了方程中第二個(gè)方程.

比如，根據(jù)以下資料求回歸方程

根據(jù)資料計(jì)算整理得出下列計(jì)算表中數(shù)據(jù)

將表中數(shù)據(jù)代入：

也可以這樣解：

得a和b的值

解得：b=36，a=372

雖然我們可以利用信息技術(shù)很容易處理相關(guān)數(shù)據(jù)，但為了讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成過程，筆者認(rèn)為這樣的運(yùn)算很有好處，也不失為一者好方法.

人教版《數(shù)學(xué)3》利用回歸分析的方法對兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進(jìn)行了研究，其步驟是畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直接方程進(jìn)行預(yù)報(bào).可見，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)，重在應(yīng)用.有個(gè)形象的比喻，統(tǒng)計(jì)是以數(shù)字為食物的動(dòng)物（Grass-Cow-Milk）.統(tǒng)計(jì)的本業(yè)是消化數(shù)據(jù)，并產(chǎn)生有營養(yǎng)的結(jié)果.它的本質(zhì)和母牛相差不多（Data-Statistics-Information）

至此，我們已經(jīng)順利的經(jīng)歷了從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過程，而數(shù)學(xué)模型所不同于常規(guī)習(xí)題，再從數(shù)學(xué)世界返回現(xiàn)實(shí)世界的過程需要學(xué)生再次體驗(yàn).

從數(shù)學(xué)世界返回現(xiàn)實(shí)世界，要求學(xué)生，根據(jù)具體的現(xiàn)實(shí)情景解讀并檢驗(yàn)數(shù)學(xué)解答，獲得現(xiàn)實(shí)結(jié)果，檢驗(yàn)現(xiàn)實(shí)結(jié)果的有效性，并反饋給現(xiàn)實(shí)情景.

因此審視和檢驗(yàn)自己的數(shù)學(xué)模型，變得非常重要，用什么標(biāo)準(zhǔn)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍?？教材給出相關(guān)指數(shù)R2和殘差分析工具.它們的作用：R2越大-殘差平方和越小-模型的擬合效果越好.反之相反.附：殘差平方和=，

通過中學(xué)教材的研讀，筆者認(rèn)為還有下列問題值得思考.

（1）回歸方程中解釋變量x和預(yù)報(bào)變量y 的關(guān)系，即有數(shù)據(jù)組x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量的線性回歸方程y=bx+a；又應(yīng)該有y為解釋變量，x為預(yù)報(bào)變量的線性回歸方程x=b′y+a.

（2）相關(guān)系數(shù)與回歸方程系數(shù)的關(guān)系

這比較容易看出系數(shù)與b相關(guān)系數(shù)

的關(guān)系

若回歸系數(shù)b>0，則兩組數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)，若回歸系數(shù)r>0，則回歸系數(shù)b<0，則兩組數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)，則回歸系數(shù)r<0；兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)之間滿足bb′=r2

（3）相關(guān)系數(shù)與回歸方程系數(shù)功能差異思考.

相關(guān)系數(shù)具有對稱性質(zhì)，即相關(guān)系數(shù)與x，y兩者中哪一方為預(yù)報(bào)變量無關(guān)，而回歸方程與x，y兩者中哪一方是解釋變量有關(guān).

基于上面的思考，結(jié)合高等數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，由淺入深地將數(shù)學(xué)建模帶進(jìn)中學(xué)課堂，溝通學(xué)生的現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界。掌握方法，勤于思考，從多角度發(fā)現(xiàn)回歸分析對現(xiàn)實(shí)生活的統(tǒng)計(jì)意義.

國外有“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”“real mathematics”）一派，主張數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，這有其積極的一面。在教學(xué)過程中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)生（發(fā)現(xiàn)）、發(fā)展歷程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)工作者發(fā)現(xiàn)和探究問題的歷程，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”地思考問題，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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