任意樹指標隨機過程關于樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強偏差定理

(江蘇大學理學院，鎮江,212013)

1 引言

設T為局部有限無窮樹, 選定任意一個頂點作為根點, 記為o. 設σ，τ(σ≠τ)是樹上任意兩個頂點, 如果σ在根o到頂點τ的唯一路徑上, 則記為σ≤τ. 記|τ|為根o到頂點τ的距離(即連接根o與頂點τ路徑的邊數), 若|τ|=n， 則稱τ位于樹的第n層(參見圖1). 記T(n)為從根o到第n層所有頂點的子圖,Ln表示第n層所有頂點的集合. 記σ∧τ為同時滿足σ∧τ≤τ和σ∧τ≤σ且離根o最遠的頂點. 對任意一個頂點t(t≠o), 若t是使σ≤τ和|t|-|σ|=1同時成立的頂點, 則稱σ為t的父代, 記為1t， 稱t為1t的子代. 令XS={Xt,t∈S}，S?T，xS為XS的實現.

圖1 樹圖

設{Xt,t∈T}是定義于概率空間(Ω,I,P)在G={1,2,…,N}上取值的樹指標隨機過程, 設{Xt,t∈T}在P下的分布為

P(XT(n)=xT(n))=p(xT(n)),xT(n)∈GT(n)，n≥0.

設Q是可測空間(Ω,I)上的另一概率測度，{Xt,t∈T}在Q下的分布為

Q(XT(n)=xT(n))=q(xT(n))>0，xT(n)∈GT(n).

定義1[4]設{Xt,t∈T}是定義于可測空間(Ω,I)在G={1,2,…,N}上取值的樹指標隨機過程,Q是(Ω,I)上一概率測度, 設

p=(p(x)>0,x∈G)

(1.1)

是G上的概率分布.

Pt=(Pt(y|x)>0),x,y∈G，

(1.2)

是G2上的一族轉移矩陣. 如果對任意頂點t,σ

Q(Xt=y|X1t=x,t∧σ≤1t)=Q(Xt=y|X1t=x)=Pt(y|x),?x,y∈G,

且

Q(Xo=x)=p(x),?x∈G，

則稱{Xt,t∈T}為在Q下具有初始分布(1.1)和轉移矩陣族(1.2)的樹指標G值非齊次馬氏鏈.

定義2設P與Q是定義在(Ω,I)上的兩個概率測度，稱

為P相對于Q的樣本散度率距離.

引理1[2](i)h(P|Q)≥0,P-a.e.

(ii) 如果{Xt,t∈T}在概率測度Q下是樹指標非齊次馬氏鏈，則有

此時,

(1.3)

引理2[2]設{Xt,t∈T}是可測空間(Ω，I)上的樹指標隨機過程，P與Q是其上的兩個概率測度，其中{Xt,t∈T}在概率測度Q下是具有初始分布(1.1)和轉移矩陣族(1.2)的樹指標非齊次馬氏鏈. 設h(P|Q)由(1.3)定義，{gt(x,y),t∈T}是定義在G2上的一族函數，c為非負常數, 令D(c)={ω:h(P|Q)≤c}. 假設存在α>0，對于任意i∈G，有

其中EQ表示由測度Q計算的數學期望. 設

(1.4)

則當0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時，有

特別地，有

=0,P-a.e.ω∈D(0).

由此引理可得任意樹指標隨機過程關于樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強偏差定理.

強偏差定理是近幾年概率論極限理論的研究內容之一. 劉文在[1]中首次提出并研究了強偏差定理(用不等式表示的強極限定理), 楊衛國在[2]中研究了任意樹指標隨機過程關于樹指標非齊次馬氏鏈的一類強偏差定理, 劉文[3]給出了有限非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的一個強極限定理, 石志巖和楊衛國[4]將文獻[3]中結果推廣到樹指標上, 給出了樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率的強極限定理.

本文利用文獻[2]中任意樹指標隨機過程關于樹指標非齊次馬氏鏈的一類強偏差定理, 給出了任意樹指標隨機過程關于樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強偏差定理，作為推論得到了石志巖和楊衛國[4]關于樹指標非齊次馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強極限定理.

2 主要結論及證明

定理1設{Xt,t∈T}是可測空間(Ω，I)上的樹指標隨機過程，P與Q是其上的兩個概率測度，其中{Xt,t∈T}在概率測度Q下是具有初始分布(1.1)和轉移矩陣族(1.2)的樹指標非齊次馬氏鏈. 設h(P|Q)由(1.3)定義,c為非負常數,

D(c)={ω:h(P|Q)≤c} ，

0

(2.1)

設存在α>0，使

(2.2)

則當0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時，有

其中Hαβ由(1.4)定義. 特別地, 有

證明在引理2中令gt(x,y)=Pt(y|x)-1. 由于

EQ[Pt(Xt|X1t)-1|X1t]=∑j∈GPt(j|X1t)-1Pt(j|X1t)=N,

及?i∈G，有

由引理2知，當0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時，有

特別地, 有

定理證畢.

推論1[4]設{Xt,t∈T}在概率測度P下是具有初始分布(1.1)和轉移矩陣族(1.2)的樹指標非齊次馬氏鏈。設at如(2.1)定義, 如果(2.2)成立, 則

證明在定理1中取測度P≡Q. 注意到這時D(0)=Ω，由定理1即可得本推論.