名畫中的計算題

□倪 艷

人們常以為數學與藝術是風馬牛不相及的，想把兩者聯系起來簡直是天方夜譚。但在俄羅斯美術博物館里，收藏著著名畫家格丹諾夫·別爾斯基畫過的一幅名叫《難題》的油畫，畫中的老師在黑板上寫下的一道題（如下題），引起了學生們的好奇和興趣。

這位老師名叫拉欽斯基，他原是一名享受優厚待遇的大學教授，卻志愿去農村當默默無聞的小學教師，給窮苦兒童做啟蒙工作。正因為油畫中人物高尚的品德、淵博的學識，加上算題的奇特美妙，使得這幅油畫名揚四海。

畫中的算題有什么特別之處呢？畫中沒有給出這道題的答案，那么這道題最后的得數是多少呢？如果我們按部就班地計算，就違背了拉欽斯基出題的本意。拉欽斯基是在啟發人們用腦思考算式中的規律。

經過簡單試算，我們不難發現其中的奧妙。

102+112+122=100+121+144=365（102讀作10 的平方，表示10×10，112讀作11 的平方，表示11×11，……），132+142=169+196=365。由此，我們可以很容易得到這道難題的得數為（用分子除以分母得到得數）。

只要發現題中102+112+122=132+142，這個所謂的難題就完全可以口算。由這道題揭示的某些連續自然數平方和（自然數：像0、1、2、3、……這樣的數叫做自然數；平方和：兩個數先分別平方，然后相加）之間的關系，引起美國科普大師加德納的深入思索，他開始琢磨如何用一串連續自然數的平方和列等式，這其中是否隱藏著什么規律？

經過一番思考探索，他得出了答案。原來上面的等式不過是無數個類似等式中的第二個式子而已，即連續5個自然數中，等式左邊有3個自然數，右邊有2個自然數；第一個等式的例子就是中國古代早已證明的“勾股數”組：32+42=52。即連續3個自然數中，等式左邊有2個自然數，右邊有1個自然數。由此猜想，連續7個自然數中，等式左邊有4個自然數，右邊有3個自然數。而試驗又得出：212+222+232+242=252+262+272，證實了猜想的正確性。加德納對此大為驚奇，于是順此思路繼續研究，終于發現了一般規律：這些等式可以無止境地一直寫下去，樣子像個寶塔，非常好看。如果等式右邊有n項，則左邊就有n+1 項，所有的連續自然數當然都得平方。最關鍵的是這一串連續自然數中間的一個，它應該是2n（n+1）。掌握了這一規律，大家就可以很容易寫出其他類似的等式。

正因為這個奇妙的規律，人們把油畫中的計算題稱為“拉欽斯基問題”，以此表達對這位甘于奉獻的學者的敬意。當然我們也能從加德納探索中得到啟迪：只要善于發現、勤于思考，就一定會有所收獲。