題型各異 秉性相通
——關于一次函數性質的考題類型及解答策略

徐 怡

一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）是初中階段的第一個函數知識。一次函數的性質是研究其他函數性質的一個參照，也是中考數學的一個重要考點。中考考查一次函數的題型各異，但歸根結底都要依靠一次函數的性質來解決。

題型一：由圖像位置確定k、b的符號

例1 若一次函數y=ax+b的圖像經過第一、二、四象限，則下列不等式一定成立的是（ ）。

A.a+b＜0 B.a-b＞0

【解析】由于一次函數y=ax+b的圖像經過第二、四象限，可以確定a＜0；又由于圖像經過第一象限，∴b＞0。根據a＜0、b＞0一一判斷各選項即可。

∵a+b不一定小于0，a-b＜0，ab＜0， ＜0，只有D正確。

故選D。

【點評】本題考查一次函數的圖像與系數的關系，解題的關鍵是利用函數圖像的位置，確定a、b的符號，屬于中考常見題型。

題型二：由k、b的符號確定圖像位置

例2 在同一平面直角坐標系中，直線y=4x+1與直線y=-x+b的交點不可能在（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由直線y=4x+1，得k=4＞0，b=1＞0，根據一次函數的性質可以確定該直線經過第一、二、三象限，即一定不過第四象限。而直線y=-x+b中，k=-1＜0。當b＞0時，直線y=-x+b過第一、二、四象限，兩直線交點可能在第一或第二象限。當b＜0時，直線y=-x+b過第二、三、四象限，兩直線交點可能在第二或第三象限。所以交點不可能在第四象限。

故選D。

【點評】從問題“確定兩條直線交點所在的象限”出發，探究解題思路：分別確定兩條直線各自所經過的象限，從而得解。

題型三：一次函數的增減性與k的關系

例3 一次函數y=kx-1的圖像經過點P，且y的值隨x值的增大而增大，則點P的坐標可以為（ ）。

A（.-5，3）B（.1，-3）

C（.2，2）D（.5，-1）

【解析】由于y的值隨x值的增大而增大，根據一次函數圖像的性質得k＞0。分別把4個坐標值代入y=kx-1中，求出相應的k值，再根據k值的符號做出判斷。

（5，-1）時，k=0。選項C符合題意。

故選C。

【點評】熟練掌握一次函數增減性與k的符號的關系是正確解答本題的關鍵。

題型四：性質客串，相互掣肘

例4 在同一平面直角坐標系中，函數y=mx+m（m≠0），y=（m≠0）的圖像可能是（ ）。

【解析】在4個選項中，可先利用反比例函數圖像位置確定m的符號，再根據m的符號對一次函數的圖像位置進行判定，選出正確選項。

選項A中，反比例函數的圖像在第二、四象限，∴m＜0，一次函數的圖像應過第二、三、四象限，顯然選項A錯誤。類似地可以判斷選項B、C也是錯誤的。只有選項D正確。

故選D。

【點評】本題也可以根據每個選項中兩個函數圖像的位置判斷各個m的符號是否一致。若一致，則該選項正確。

題型五：性質活用，繞開陷阱

例5 已知等腰三角形的周長是10，底邊長y是腰長x的函數，則下列圖像中，能正確反映y與x之間函數關系的圖像是（ ）。

【解析】先由三角形的周長公式求出函數關系式。再考慮到三角形的三邊關系，求出x的取值范圍。由x的取值范圍，聯想到函數的圖像應該是x取值范圍內的一條線段。

由題意得2x+y=10，∴y=-2x+10，由三角形的三邊關系得：

∴正確反映y與x之間函數關系的圖像是D。

【點評】本題考查了“一次函數的圖像是一條直線”這一基本性質。同學們解答時容易忽略x的取值范圍（2.5＜x＜5）這一隱含條件而錯選A。用一次函數的圖像表達實際問題時往往會存在這樣的陷阱，同學們要注意繞開哦。