一次函數應用中的數學建模

2019-05-05 09:44:16萬廣磊

初中生世界 2019年15期

萬廣磊

一次函數是刻畫變量之間關系的數學模型，很多中考試題關注應用一次函數解決實際問題。這類問題都是通過觀察、分析、概括、建模，將實際問題轉化為數學問題，綜合運用方程、不等式（組）、函數等知識，借助數形結合、分類討論、轉化等數學思想解決。下面以幾道典型的中考試題為例進行剖析。

一、運動問題

例1 （2018·江蘇鹽城）學校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學校去圖書館，乙從圖書館回學校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發，乙先到達目的地。兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數關系如圖所示。

（1）根據圖像信息，當t=______分鐘時甲、乙兩人相遇，甲的速度為_____米/分鐘。

（2）求出線段AB所表示的函數表達式。

【解析】（1）根據圖像信息，y=0時，表示甲、乙兩人相遇，此時t=24。由圖像，知甲用60分鐘步行2400米，因此，用每分鐘步行40米。

（2）當t=24時，甲、乙兩人相遇，可得甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙從圖書館回學校的總時間即A點的橫坐標，用A點的橫坐標乘甲的速度得出A點的縱坐標，再利用待定系數法可求出線段AB所表示的函數表達式。

解：（1）24，40。

（2）根據題意，當t=24時，甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘），∵甲的速度為40米/分鐘，∴乙的速度為60米/分鐘。乙從圖書館回學校的時間為2400÷60=40（分鐘），∴甲步行的總路程為40×40=1600（米），則A點的坐標為（40，1600）。設線段AB所表示的函數表達式為y=kx+b，得解得，∴線段AB所表示的函數表達式為y=40x。

【點評】在解決第二問時，要確定點A的坐標，其表示的意義就是乙到達學校時甲走完的總路程，可以利用行程問題的示意圖分析甲、乙運動的時間與對應的路程。

二、銷售問題

例2 （2018·江蘇無錫）一水果店是A酒店某種水果的唯一供貨商，水果店根據該酒店以往每月的需求情況，本月初專門為他們準備了2600kg的這種水果。已知水果店每售出1kg該水果可獲利潤10元，未售出的部分每1kg將虧損6元，以x（單位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月對這種水果的需求量，y（元）表示水果店銷售這批水果所獲得的利潤。

（1）求y關于x的函數表達式。

（2）當A酒店本月對這種水果需求多少時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元？

【解析】（1）分兩種情況討論：一是未能全部售出（即2000≤x≤2600），要注意用獲得的利潤減去未出售的虧損部分；二是全部售出（即2600＜x≤3000），直接列出函數表達式。

（2）利用利潤不少于22000元，可以列不等式求出實際問題的解。

解：（1）由題意，分兩種情況討論如下：當 2000≤x≤2600時，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；當 2600＜x≤3000時，y=2600×10=26000。

（2）由題意得：16x-15600≥22000，解得：x≥2350，∴當A酒店本月對這種水果的需求量x滿足2350≤x≤3000時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元。

【點評】本題在所給的2000≤x≤3000條件下，依然需要對x的取值進行分類討論，分為2000≤x≤2600與2600＜x≤3000兩種情況。

三、調配問題

例3 （2018·湖北黃石）某年5月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴重洪澇災害，1.5萬人被迫轉移，鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災物資200噸和300噸的消息后，決定調運物資支援災區。已知C市有救災物資240噸，D市有救災物資260噸，現將這些救災物資全部調往A、B兩市。已知從C市運往A、B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往A、B兩市的費用分別為每噸15元和30元，設從D市運往B市的救災物資為x噸。

（1）請填寫下表：

_____________________________________C D_合計（噸______）_______________________A（噸）200_______B（噸）___x 300_______合計（噸）240___260___500___

（2）設C、D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（3）經過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元（m＞0），其余路線運費不變。若C、D兩市的總運費的最小值不小于10320元，求m的取值范圍。

【解析】（1）由題意，D市運往B市x噸，則D市運往A市（260-x）噸，C市運往B市（300-x）噸，C市運往A市200-（260-x）=（x-60）噸。

（2）由題意，w是4條線路的費用總和，可得w與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）根據一次函數的增減性，進行分類討論。

解：（1）C運往A市：x-60；C運往B市：300-x；D運往A市：260-x。

（2）由題意得，w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200，∴w=10x+10200（60≤x≤260）。

（3）由題意得，w=10x+10200-mx=（10-m）x+10200。

當0＜m＜10時，x=60時，w取得最小值，此時w=（10-m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8；當m＞10時，x=260時，w取得最小值，此時，w=（10-m）×260+10200≥10320，解得＜10，∴m＞10不符合題意。

綜上討論，m的取值范圍是0＜m≤8。

【點評】本題在解答第三問時，需要根據一次函數w=（10-m）x+10200的增減性，對（10-m）的值是否大于0和是否小于0分別進行討論。

四、方案問題

例5 （2018·江蘇連云港）某村在推進美麗鄉村活動中，決定建設幸福廣場，計劃鋪設相同大小規格的紅色和藍色地磚。經過調査，獲取信息如下：

_紅色地_______磚_藍色地_______磚購買數量低于______________________________5000塊原價銷售______原價銷售______購買數量不低于5000塊____以八折銷售__以九折銷售__

如果購買紅色地磚4000塊，藍色地磚6000塊，需付款86000元；如果購買紅色地磚10000塊，藍色地磚3500塊，需付款99000元。

（1）紅色地磚與藍色地磚的單價各多少元？

（2）經過測算，需要購置地磚12000塊，其中藍色地磚的數量不少于紅色地磚的一半，并且不超過6000塊，如何購買付款最少？請說明理由。

【解析】（1）根據題意，結合表格中數據，分別列出方程，得出答案。

（2）利用已知，得出x的取值范圍，再利用一次函數的增減性得出答案。

解：（1）設紅色地磚每塊a元，藍色地磚每塊b元，由題意，得：

答：每塊紅色地磚8元，每塊藍色地磚10元。

（2）設購置藍色地磚x塊，則購置紅色地磚（12000-x）塊，所需的總費用為y元，由題意可得：x≥（12000-x），解得：x≥4000。

又∵x≤6000，

∴藍磚塊數x的取值范圍：4000≤x≤6000。

當4000≤x＜5000時，y=10x+8×0.8（12000-x）=76800+3.6x，∴x=4000時，y有最小值91200。

當 5000≤x≤6000時，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，∴x=5000時，y有最小值89800。

∵89800＜91200，

∴購買藍色地磚5000塊，紅色地磚7000塊，費用最少，最少費用為89800元。

【點評】本題在解答第二問時，需要根據一次函數的增減性，分別進行討論，分為4000≤x＜5000與5000≤x≤6000兩種情況。

五、學科交叉

例6 （2018·浙江紹興）實驗室里有一個水平放置的長方體容器，從內部量得它的高是15cm，底面的長是30cm，寬是20cm，容器內的水深為xcm。現往容器內放入如圖的長方體實心鐵塊（鐵塊一面平放在容器底面），過頂點A的三條棱的長分別10cm，10cm，ycm（y≤15），當鐵塊的頂部高出水面2cm時，x，y滿足的關系式是。