混沌反饋自適應鯨魚優化算法研究

涂春梅,陳國彬,劉 超

（1.重慶工商大學融智學院大數據研究所，重慶 401320；2.貴州航天電器股份有限公司，貴陽 550009）

0 引言

鯨魚優化算法（whale optimization algorithm,WOA）是Mirjalili和Lewis于2016年受啟發于鯨魚獨特的泡泡網覓食行為而提出的一種新的群智能優化算法[1]。作為一種新型的進化算法，與其他算法相比，WOA易于理解，實現簡單，且全局尋優能力強，因此一經提出便引起了國內外學者的關注和研究，并應用于函數優化、圖像處理、故障診斷支持向量機參數優化等領域[2-4]。然而，由于WOA提出的時間較晚，尚未被熟知，其理論分析還處于初級階段，其在高維多極值復雜優化問題中也存在收斂精度不高、易陷入局部最優等問題。

為了研究WOA的優化性能及更好地改善算法的全局優化能力，本文提出了一種新的混沌反饋自適應鯨魚優化算法（chaos feedback adaptive WOA，CFAWOA）。在CFAWOA算法中，引入混沌理論生成初始種群增加種群多樣性，為算法全局搜索奠定基礎；同時，在鯨魚位置更新后期增加反饋階段，通過交流學習使最差鯨魚快速向最優鯨魚靠攏，提高算法的全局搜索能力；此外，在鯨魚個體位置更新公式中引入自適應慣性權值，通過平衡算法的開發和探索能力進一步改善算法的優化性能。選取6個復雜函數優化問題進行仿真實驗，仿真結果驗證了CFAWOA算法在優化性能方面得到明顯改善。

1 鯨魚優化算法(WOA)

（1）收縮包圍機制

為了從數學上描述鯨魚的泡泡網覓食行為，在WOA算法中，設計了兩種不同方式：收縮包圍機制和螺旋更新位置。假設鯨魚種群規模為N，優化空間的維度為d，每只鯨魚的位置代表一個優化問題的可行解，則Xi=,…,),i=1,…,N表示第i只鯨魚在d維空間中的位置。

鯨在狩獵的時候要包圍獵物，在求解優化問題前對搜索空間中的全局最優位置沒有任何先驗知識，因此假設當前種群中最優位置為獵物，鯨魚個體均向最優位置包圍，數學模型描述如下：

式中，t為當前迭代次數，Xp為獵物位置，X(t)為當前鯨魚的位置，A和C是系數向量，定義如下：

式中，r1和r2是[0,1]中的隨機數，a為控制參數，隨迭代次數增加從2線性減小到0，定義如下：

式中，Tmax為最大迭代次數。收縮包圍機制通過式（1）和式（4）隨著參數a的減小而實現的。

（2）螺旋更新位置

鯨魚在包圍獵物之后，螺旋式運動以捕獲食物，其數學模型描述如下：

式中，D′= ||Xp(t)-X(t)表示鯨魚和獵物之間的距離；b是一個常數，用來定義對數螺線的形狀；l是[-1,1]中的隨機數。

鯨魚的收縮包圍機制和螺旋更新位置是一種同步行為，在數學模型描述中，通常選取兩種方式的概率相同，即Pi=0.5，描述如下：

2 混沌反饋自適應鯨魚優化算法

為解決WOA算法在處理復雜函數優化問題中遇到的收斂精度較低、易陷入局部最優的不足，提出了混沌反饋自適應鯨魚優化算法(CFAWOA)。通過如下三種策略改善WOA算法的全局優化性能：

（1）Sin混沌初始化種群

群智能優化算法種群初始化方法會影響算法的收斂速度和解的精度。WOA算法在缺乏有關先驗信息時采用隨機初始種群，不能保證鯨魚在整個解空間中均勻分布。混沌映射是由確定性方程得到的具有隨機性的運動狀態，具有隨機性性、遍歷性的特點[5]。文獻[6]驗證了Sin混沌較Logistic混沌具有更明顯的混沌特性，因此采用Sin混沌進行WOA算法的種群初始方法。考察式（7）定義的Sin混沌自映射：

式（7）中初始值不能為0，避免在[-1,1]內產生不動點和零點。當迭代一定次數時，系統輸出將遍歷整個解空間。

（2）反饋階段

在WOA算法中，鯨魚通過獵物的位置來改變自身的運動軌跡，運動方式比較單一。然而在實際的覓食過程中，最優鯨魚有目的的與最差鯨魚進行反饋交流，通過反饋信息交流，距離食物較遠的鯨魚能快速運動到食物附件，這樣將能進一步提高算法的收斂速度，本文在精英WOA算法基礎上，引入反饋階段來提高算法的尋優精度及穩定性。

反饋階段數學模型如下：

式中，Xworst是種群中最差鯨魚個體位置向量；r是[0,1]中的隨機數。比較新解Xworst_new與當前解Xworst，如果Xworst_new優于Xworst，則接受Xworst_new。

（3）自適應慣性權值

慣性權值是WOA算法中的一個重要參數，式（1）和式（5）中保持較大的慣性權值1，恒定不變的慣性權重將降低算法的效率，不利于算法的全局尋優。文獻[7]指出較大的慣性權值有利于全局優化，較小的慣性權值有利于局部挖掘。理想的慣性權重策略應呈現這樣的特點：在迭代初期，應具有較大的權重，保證算法具有較強的全局搜索能力；在迭代后期，應具有較小的權重，保證算法具有較強的局部搜索能力。因此，合理的慣性權值有利于平衡算法的全局探索和局部開采能力。

在式（1）和式（5）中引入如下自適應慣性權值ω：

式中，f(x)是鯨魚x的適應度值；u表示在第一次迭代計算中鯨魚種群中最佳的適應度值；iter表示當前的迭代次數。利用ω的動態非線性特性控制鯨魚位置對新鯨魚位置的影響度。改進后的更新公式表述如下：

在迭代初期，較小的適應度值保證了算法擁有較大的慣性權重；相反，后期較大適應度值保證了算法擁有較小的慣性權重，利于WOA算法的全局優化性能。

在CFAWOA中，采用Sin混沌初始化種群以改善種群的分布情況；同時，增加反饋階段，通過最差鯨魚與最優鯨魚進行信息交換，以促進最差鯨魚快速運動到食物周圍；除此之外，自適應慣性權值平衡算法的全局探索和局部開采能力，進一步改善算法的全局優化能力。CFAWOA算法流程如下：

設置最大迭代次數Tmax，種群規模N，按式（7）產生N個初始鯨魚種群{Xi,i=1,2,...,N}；

計算每個鯨魚個體的適應度值{f(Xi),i=1,2,...,N}，記錄當前最優個體及位置；

根據式（9）計算自適應慣性權值w的值；

根據式（4）計算控制參數α的值；

更新其他參數A、C、l、p的值；

根據式（10）更新當前鯨魚個體的位置；

在群體中選擇最差鯨魚個體Xworst；

根據式（8）更新當前鯨魚個體的位置；

根據式（11）更新當前鯨魚個體的位置；

計算群體中個體的適應度值{f(Xi),i=1,2,...,N}；

更新當前最優個體及位置；

3 CFAWOA算法性能測試

為了檢驗CFAWOA性能，選取表1（見下頁）中6個函數，優化求解最小值，測試CFAWOA優化精度和全局尋優能力。其中F1—F3為高維的單峰基準函數，F4—F6為高維的多峰基準函數。將CFAWOA與WOA、PSO[8]、TLBO[9]算法進行比較。為了比較的公平性，CFAWOA、WOA、PSO和TLBO四種算法的參數設置如下：種群規模為50，迭代次數為1000，運行次數30；另外，對于6個高維優化函數，它們的維數均依次設置為30、50、100。此外，所有仿真實驗均在同一平臺上完成，硬件系統采用戴爾Inspiron 14-7467筆記本，處理器為英特爾i7-7700HQ 2.8GHz、內存為8GB、Win 7 64位操作系統，MATLAB版本為R2009a。

表1 基準測試函數

3.1 概率對CFAWOA的性能影響

為了研究CFAWOA算法中不同概率P對算法性能的影響，對表1中6個測試函數均設置P=0.3、0.5、0.8三個不同的概率，對CFAWOA的優化性能進行測試，如表2所示。

表2 概率對CFAWOA算法性能影響

如表2所示，對單峰基準函數F1和F3，概率為0.3、0.5和0.8均能搜索到全局最優解，比較平均迭代次數（C.I.）指標發現：F1、F3在概率為0.5時分別為714和84，對F2函數，概率為0.5時平均值和均方差最小。對多峰基準函數F4，三種概率均為搜索到理論最優解，但概率為0.5時最早搜索到最優值。對于F5，三種概率都能找到全局最優解，C.I.指標分別為78、62、85，也即是概率為0.5時搜索到最優解的速度最快。對F6測試函數，三種概率都沒有找到理論最優解，概率為0.5時最優解指標最小。綜上所述，概率為0.5時CFAWOA算法的精度和收斂速度更具優勢，后文在參數設置中將概率設置為0.5。

3.2 CFAWOA算法性能驗證

為了驗證CFAWOA的性能，將CFAWOA與基本WOA、PSO和TLBO進行對比。以表格的形式記錄各優化算法尋優的平均值和均方差，如下頁表3所示。

從表3可以看出，在設定的參數條件下，CFAWOA能夠找到F1、F3、F5的理論最優值，對其余函數來說，雖然CFAWOA精度沒有達到理論最優，但CFAWOA算法搜索的結果無限接近最優值，與其他三個算法相比在精度上有了很大的提高，也更加穩定。改進后的鯨魚算法較基本的鯨魚算法在精度上都有了極大的提高。

以最優解的平均值和標準差為評判標準，通過比較CFAWOA、WOA、PSO和TLBO的優化結果可以看出，無論是30維、50維還是100維情況下，CFAWOA在6個優化問題上都能表現出較好的尋優能力。除此之外，CFAWOA針對6個標準優化函數而言，無論優化問題為30維或50維、還是100維，CFAWOA較其他三種算法更加穩定，搜索的精度依然很高。

圖1是四種算法在50維情況下6個優化函數的尋優曲線。從圖1中可以看出，對于函數F1、F3、F5，CFAWOA算法能快速搜索到理論最優解，觀察其余函數，CFAWOA算法收斂速度較其他三種算法更快，收斂精度也有一定的提高；CFAWOA算法對F2和F6函數在50維進行尋優時，有多處拐點出現，證明其跳出局部最優的能力得到了有效增強；綜上所述，針對多維復雜函數優化問題時，CFAWOA算法的優化能力相對WOA算法有了較大改善，其優化性能比PSO和TLBO算法更加有效，CFAWOA算法能夠有效解決高維復雜數值優化問題。

圖1 優化性能比較

表3 四種算法對基準測試函數的運行結果

4 結束語

本文針對標準WOA算法存在的初始種群不均勻、全局搜索能力不高、易陷入局部最優等問題，提出了一種混沌反饋自適應鯨魚優化算法(CFAWOA)以解決復雜函數優化問題。通過混沌策略初始化種群，保證了解空間分布均勻，且不失多樣性，改善算法的優化性能。在鯨魚位置更新后期增加反饋階段，通過交流學習幫助最差鯨魚快速向最優鯨魚靠攏，提高算法的全局搜索能力；除此之外，引入自適應慣性權值幫助算法及時跳出早熟收斂進一步提高WOA算法的全局優化能力。數值函數仿真實驗表明，CFAWOA算法在進行高維、多峰復雜數值函數求解時能取得較為滿意的優化結果，與其余優化算法相比較，在一定程度上表現出了更好的收斂精度且更加穩定。