部分線性變系數測量誤差模型的隨機約束估計

李 騰，蘇宇楠，魏傳華

（中央民族大學 理學院，北京 100081）

0 引言

考慮如下的部分線性變系數測量誤差模型：

其中,Y為因變量,Z、X和U為自變量，β=(β1，β2，…βp)T為未知待估參數，α(·)=(α1(·)，α2(·)，…αq(·))T為未知非參數函數系數。ε是均值為零的模型誤差，測量誤差ξ與(Y，X，Z，U)獨立，滿足Eξ=0，Cov(ξ)=Σξ.,其中 Σξ已知。

對于模型（1），參數分量β的估計和檢驗一直是研究的重點。You和Chen（2006）[1]提出了校正profile最小二乘估計，并給出了所提估計量的漸近性質。實際數據分析中，除了樣本數據本身，有時還能從其他途徑得到額外信息，這些信息的加入能夠提高估計的效率。這些額外信息的常見表現形式有兩種：精確的線性約束條件和隨機約束條件。對于經典線性回歸模型，在含有精確線性約束條件時，考慮了約束條件的約束最小二乘估計優于沒有考慮約束條件的普通最小二乘估計。當模型系數含有隨機約束時，Durbin（1953）[2],Theil和 Goldberger（1961）[3]以及 Theil（1963）[4]將樣本數據信息和附加的隨機約束條件聯合起來，提出了混合估計方法。關于線性回歸模型約束估計的詳細討論可參考 Toutenburg（1982）[5]和 Rao等（2008）[6]。近年來，關于各類復雜模型的約束估計得到了關注。Shalabh 等（2010）[7]以及Li和Yang（2013）[8]討論了線性測量誤差模型的隨機約束問題。對于模型（1）,Wei（2012）[9]討論了當參數分量附加有精確的線性約束條件時的估計和檢驗問題。本文將研究模型（1）的隨機約束估計,考慮如下的隨機約束條件：

其中矩陣A為k×p行滿秩，η為均值為0，協方差矩陣為σ2Ω的隨機向量,其中 Ω為一已知正定矩陣,b是k×1的已知向量,針對模型（1）和模型（2），下文將重點研究未知參數分量β的估計問題。

1 參數分量的估計及其性質

首先假設自變量X可以精確觀測，令為來自模型（1）的樣本數據，從而有：

假設β已知，則模型（3）可記為：

顯然,模型（4）是一個標準的變系數模型，下面采用局部線性方法對該模型進行估計。假設{ }αj(·)，j=1，2，…q二階連續可導，對于u0附近的點u，由Taylor展開可得：

令：

其中Iq和0q分別為q維單位陣和元素全為零的矩陣。用α(Ui)代替模型（3）中α(Ui)，經過簡單計算可得：

利用Theil和Goldberger(1961)[3]的方法,將樣本數據信息和隨機約束條件結合起來構造如下關于未知參數β的函數：

將F(β)關于β求偏導,并令其等于零，得：

從而，由式（11）和式（12），可寫為如下形式：

其中為式（8）中β的校正profile最小二乘估計。

下面給出所提估計量的漸近性質。定義表示AAT,

以及

定理1：若假設A1—A6成立，

首先，給出證明定理所需要的一些假設，這些條件You和Chen（2006）[1]也采用過。

（A1）隨機變量U具有有界支撐Π,其密度函數f(·)在其支撐上滿足Lipschitz連續,且不為0。

從界面設計的角度上來說，信息傳播是建立在人與人之間的一種社會活動，作為信息發布者和傳播媒介的參與者，就需要融入群體中，了解歷史文化景區形象傳播活動的目的性和創造性，其中，目的性是指人類意識受信息傳播控制的一種行為，具有較為明確的目標和對象作為規劃的主題，在信息傳播的全過程中具備一定的動機和方向。比如通過媒介廣告對旅游景區藝術形象進行傳播，經過策劃獲取宣傳效果。在信息化視域下的旅游景區需要利用科學技術的傳播方式，用最簡單的語言和文字進行傳播，在彼此的影響和相互作用下完成整個形象的信息傳遞[3]。

（A2）對于任一U∈Ω,矩陣E(zzT|U)為非奇異,E(zzT|U)，E(zzT|U)-1和E(zxT|U)都是Lipschitz連續的。

（A3）存在s＞2 使得E‖x‖2s＜∞ 和E‖z‖2s＜∞,對于ε＜2-s-1使得n2ε-1h→∞

（A4）{αj(·)，j=1，…，q} 二階連續可導。

（A5）函數K(·)為對稱密度函數，具有緊支撐。

（A6）nh8→0和

由 You和Chen（2006）[1]中的引理 A3 和 A4，可得：

再由式（19）和式（20），利用Slutsky定理，可得：

該結論表明校正profile混合估計的漸近性質與profile最小二乘估計的相同，這個結論在Shalabh等（2010）[7]以及Li和Yang（2013）[8]關于線性測量誤差模型的討論中也得到過。值得注意的是，雖然二者的漸近性質相同，但校正profile混合估計利用了附加的隨機約束條件，二者在有限樣本情況下的表現應該有所不同，下文將通過數值模擬來考察。

2 數值模擬

下面通過數值模擬來考察所提估計方法的有效性。假設數據來自于如下部分線性變系數測量誤差模型：

其 中x1i～N(0，1)，x2i～N(1，2)，x3i～U(-2，2)，x4i～U(-1，1)，zi～N(1，1)，ui～U(0，1)，α(ui)=sin(2πui)， 測 量誤 差

為了考察誤差分布對估計結果的影響，將誤差設定為如下三種分布形式，都滿足均值為零，方差為1，(1)εi～N。核函數為K(x)為了計算方便，窗寬設定為h=n-1/5。參數分量 (β1，β2，β3，β4)=(2，1，3，3),樣本量n=80,120,150,隨機約束設定為β1+β2=3+η1和β3-β4=η2,其中Eη1=Eη2， 從 而有：

對于上述每次設定，重復500次，每次求出β的校正profile最小二乘估計和校正profile混合估計。這兩類估計將基于估計的均方誤差(estimated mean squared error,EMSE)這一指標來進行比較。EMSE定義如下：

表1 兩類估計的EMSE值比較

從模擬結果不難看出，隨著樣本量的增加，兩類估計的EMSE都在變小。對于每種設定,βm的EMSE都要小于β的對應值，即在 EMSE 標準下,βm要優于β。

3 結束語

近年來，部分線性變系數模型的估計問題已經得到了廣泛的研究，本文主要研究了該模型在線性部分自變量不能精確觀測且參數分量附加有隨機約束條件時的估計問題。給出了所提估計的漸近性質，并且通過數值模擬驗證了所提方法的有效性。