基于決策者偏好靶心的混合屬性廣義灰靶決策方法

馬金山

（河南理工大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引言

自灰靶決策方法產(chǎn)生以來，已有諸多學(xué)者對其進(jìn)行了比較系統(tǒng)和深入的研究。混合屬性灰靶決策方法則是傳統(tǒng)灰靶決策方法的重要改進(jìn)，它將決策方案的指標(biāo)值由單純的實數(shù)拓展為既包括實數(shù)也包括其他數(shù)據(jù)類型的混合屬性指標(biāo)值。灰靶決策是依據(jù)各決策方案對于靶心的靶心距來評選各方案的優(yōu)劣。單純實數(shù)型的灰靶決策方法求解靶心距時主要是采用距離法，如通常采用歐氏距離法或具有統(tǒng)計意義的馬氏距離法[1,2]。而混合屬性灰靶決策方法獲取靶心距的手段也在不斷地發(fā)展：以歐氏距離等為依據(jù)的方法最早見諸于文獻(xiàn)[3-5]；后來非傳統(tǒng)的方法如以蛛網(wǎng)面積和關(guān)聯(lián)系數(shù)求靶心距的方法相繼產(chǎn)生[6,7]；此外，還有采用以向量為基礎(chǔ)的方法[8-10]、以Kullback-Leibler距離為基礎(chǔ)的方法[11]獲得靶心距，這些稱為混合屬性廣義灰靶決策方法。廣義灰靶決策方法是基于灰靶決策方法，在遵循其基本原理不變的基礎(chǔ)上提出的一種方法，其基本的計算過程有別于傳統(tǒng)方法[8-11]。在廣義灰靶決策方法中，以向量為基礎(chǔ)的混合屬性廣義灰靶決策方法，由于所采用的微小向量考慮了不確定數(shù)的不確定性信息，且在運算過程中信息的失真較少所以比以距離為基礎(chǔ)的方法更優(yōu)，且相對其他的廣義灰靶決策方法在方案排序的穩(wěn)定性方面更好。

文獻(xiàn)[12,13]研究了方案指標(biāo)值為實數(shù)情況下，決策者不同偏好的靶心對決策方案的影響：決策者的正負(fù)理想屬性偏好所確定的靶心（正或負(fù)靶心）均能縮小決策方案指標(biāo)間的差異，即具有使方案指標(biāo)聚類的功能。決策者正選擇偏好所確定的正靶心對方案指標(biāo)具有“獎優(yōu)罰劣”的功能，若方案的其中一些指標(biāo)值優(yōu)于正靶心值時，這些指標(biāo)值視為無差異，均為優(yōu)秀指標(biāo)值，相當(dāng)于對該方案指標(biāo)的一種“獎勵”；當(dāng)一些指標(biāo)值劣于正靶心值時，指標(biāo)之間的差異加大，可視為對該方案指標(biāo)的“懲罰”。而決策者負(fù)選擇偏好所確定的負(fù)靶心具有對方案指標(biāo)“獎劣罰優(yōu)”的功效，即當(dāng)某些方案的指標(biāo)值劣于負(fù)靶心值時，則這些指標(biāo)值均被認(rèn)為是最劣的指標(biāo)值，相當(dāng)于是對該方案指標(biāo)的“獎勵”；而當(dāng)決策方案的指標(biāo)值優(yōu)于負(fù)靶心值時，則方案指標(biāo)間的差距變大，實際上反映了對該方案指標(biāo)的“懲罰”。

已有研究其分析的對象是決策方案的指標(biāo)為實數(shù)值的情形，但在指標(biāo)為混合屬性值且采用以二元聯(lián)系數(shù)向量為計算基礎(chǔ)的廣義灰靶決策方法時是否具有影響，以及影響的程度如何，是值得研究的。本文給出了基于決策者偏好靶心的混合屬性廣義灰靶決策方法的原理及步驟，并探討了決策者偏好靶心對決策方案的影響。

1 基于決策者偏好靶心的混合屬性廣義灰靶決策方法

1.1 理論基礎(chǔ)

定義1：記R為實數(shù)域，稱x為一個含有不確定性的區(qū)間數(shù)（包括參數(shù)個數(shù)多于兩個的多參數(shù)區(qū)間數(shù)），則[xL，xU]、[xL，xM，xU]和[xL，xM，xN，xU]分別稱為區(qū)間數(shù)、三參數(shù)區(qū)間數(shù)和四參數(shù)區(qū)間數(shù)，其中參數(shù)xL、xM、xN、xU滿足0＜xL＜xM＜xN＜xU∈R[14,15]。

定義2：記R為實數(shù)域，稱A+Bi為二元聯(lián)系數(shù)，其中i∈[-1，1]，A，B∈R，A為確定的項，B為不確定的項，i則是一個變動的項，它統(tǒng)一了不確定數(shù)（如區(qū)間數(shù)和多參數(shù)區(qū)間數(shù)）的確定性和不確定性。

定義3：設(shè)xˉ和v分別是x的q（q≥2）個參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則：

式（1）為x的q個參數(shù)的均值-標(biāo)準(zhǔn)差二元聯(lián)系數(shù)，簡稱均值-標(biāo)準(zhǔn)差聯(lián)系數(shù)。其中由式（2）和式（3）可得到xˉ和v：

式（2）和式（3）中xˉ可以看作是關(guān)于x的q（q≥2）個參數(shù)的相對確定性的測度，而v是關(guān)于x的q個參數(shù)的相對不確定性測度[8]。

定義4：均值-標(biāo)準(zhǔn)差二元聯(lián)系數(shù)u(xˉ，v)中的均值xˉ和標(biāo)準(zhǔn)差v之間的相互作用可以反映到基于集對分析的二維確定-不確定空間（Determinacy-uncertainty，簡稱D-U空間）中的微小向量，記作 (xˉ，v)[8]。

1.2 決策原理及步驟

1.2.1 所有方案指標(biāo)值均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)

將不同數(shù)據(jù)類型的指標(biāo)值采用式（1）至式（3）統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為A+Bi的二元聯(lián)系數(shù)形式，并視其為二維確定-不確定空間中的微小向量。其中實數(shù)可視為是二元聯(lián)系數(shù)中的確定項為該數(shù)值本身，不確定項為0，即表示為A+0i的形式。設(shè)轉(zhuǎn)化后的各指標(biāo)二元聯(lián)系數(shù)為Ast+Bsti，(s=1，2，…，n;t=1，2，…，m)。

1.2.2 求出各指標(biāo)屬性的靶心指標(biāo)向量

（1）決策方案靶心的確定

設(shè)各方案指標(biāo)的微小向量為Ust=(Ast，Bst)，(s=1，2，…，n;t=1，2，…，m)，則可以由式（4）確定決策方案各指標(biāo)屬性的靶心。

式（4）表明，對于效益型指標(biāo)屬性的靶心，即求指標(biāo)向量范數(shù)最大對應(yīng)的指標(biāo)向量為靶心，而當(dāng)有幾個指標(biāo)向量的范數(shù)相等時，則選擇不確定性項小的指標(biāo)向量作為靶心；成本型指標(biāo)屬性靶心，即求指標(biāo)向量范數(shù)最小對應(yīng)的指標(biāo)向量為靶心，當(dāng)有幾個向量的范數(shù)相等時，則選擇不確定性項小的指標(biāo)向量作為靶心。

（2）決策者偏好靶心的確定

（3）混合靶心的確定

定義7：設(shè)由決策方案各效果測度Ust(s=1，2，…，n，t=1，2，…，m)所確定的靶心為，而決策者對屬性的偏好為…，m})，則融入決策者偏好的靶心為，其中則由式（5）得到：

1.2.3 決策方案各指標(biāo)值的預(yù)處理

式（6）中的Ist是預(yù)處理后的指標(biāo)測度，如無特殊說明則一般以二元聯(lián)系數(shù)的形式表示。

1.2.4 決策方案各單指標(biāo)接近度的求解

定義8：設(shè)rst為基準(zhǔn)指標(biāo)向量的模，pst為指標(biāo)向量(s=1，2，…，n;t=1，2，…，m)在指標(biāo)向量Yst上的投影，則：

式（7）為投影值pst與基準(zhǔn)指標(biāo)向量Yst的模rst的距離，稱為接近度，其中

1.2.5 各屬性下單指標(biāo)接近度的歸一化處理

前面所求出的各屬性下各指標(biāo)向量與靶心指標(biāo)向量的接近度彼此是不同的，各屬性之間不具有可比性，因此，需要對各個屬性下的單指標(biāo)接近度dst進(jìn)行歸一化得到zst：

1.2.6 求各決策方案加權(quán)的綜合接近度

給定各個指標(biāo)屬性的權(quán)重wt，則可以獲得各個決策方案的綜合接近度為：

而根據(jù)NEs的值由小到大的順序進(jìn)行排序，即可得到各決策方案的優(yōu)劣。

2 決策者的偏好靶心對決策方案的影響

2.1 基本參數(shù)及假設(shè)

設(shè)在同一屬性At下，各指標(biāo)的二元聯(lián)系數(shù)向量為，并設(shè)任意兩個指標(biāo)向量分別為U1=(x1，y1)和U2=(x2，y2)。為簡單起見，這里僅對正向指標(biāo)值進(jìn)行分析。設(shè)在屬性At下決策方案確定的靶心指標(biāo)向量為C0=(x0，y0)，而由決策者偏好所確定的靶心指標(biāo)向量為Cd=(xd，yd)。在同一屬性At下求出Us=(xs，ys)、U1=(x1，y1) 和U2=(x2，y2) 分 別 與C0=(x0，y0) 和Cd=(xd，yd)的接近度，分別設(shè)為ds0、dsd、d10、d1d、d20和d2d。

2.2 影響分析

為了分析決策者的偏好靶心對決策方案的影響，這里分別求任意兩個指標(biāo)向量在不同靶心下的歸一化接近度的差，得到Δd和ΔD。

為了分析決策者的偏好靶心對決策方案的影響，則求Δd和ΔD的比值，可以得到：

（1）若決策者的偏好確定的靶心為理想偏好靶心

由于 π1≥1，π2≤1，而，所以不能準(zhǔn)確地確定決策者的理想偏好所決定的靶心對決策方案的影響。當(dāng)時，決策者理想偏好確定的靶心對決策方案無影響；當(dāng)時，決策者理想偏好確定的靶心使得決策方案之間的差異變小；當(dāng)時，決策者理想偏好確定的靶心使得決策方案之間的差異變大。

（2）若決策者偏好確定的靶心為選擇偏好靶心

由于 π1≤1，π2≥1，所以不能根據(jù) π1和 π2判斷與1之間的關(guān)系。

由于 π1＜1，π2＞1，因此，不能夠準(zhǔn)確地判斷π1·π2與1之間的關(guān)系。

綜上，決策者偏好所決定的靶心為理想偏好時對決策方案的影響具有不確定性。當(dāng)時，決策者選擇偏好確定的靶心對決策方案無影響；當(dāng)時，決策者選擇偏好確定的靶心使得決策方案之間的差異變小；當(dāng)時，決策者選擇偏好確定的靶心使得決策方案之間的差異變大。

2.3 決策者偏好靶心對決策方案不確定性影響的原因

由上面的分析可知無論是決策者的理想偏好所決定的靶心還是決策者的選擇偏好所決定的靶心在基于向量的混合屬性廣義灰靶決策方法中對決策方案的影響存在不確定性，可能的原因如下：

（1）該運算方法采用的是不同于以距離為運算基礎(chǔ)的二元聯(lián)系數(shù)向量形式，各種不同類型的數(shù)據(jù)的向量運算使得運算過程存在著不確定性。

（2）不確定數(shù)（區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)）在轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)的過程中存在著不確定性，盡管該方法致力于信息丟失的降低。

（3）決策者偏好的靶心和決策方案的靶心之間的關(guān)系由于在向量模式下的關(guān)系并不明確，為此導(dǎo)致決策方案不確定性的產(chǎn)生。

3 算例分析

3.1 指標(biāo)與數(shù)據(jù)

為對煤礦進(jìn)行綜合安全評價，采用的指標(biāo)包括煤層傾角（°）、煤層瓦斯涌出量(m3/t)、煤礦的平均涌水量（m3/h）、煤的自然發(fā)火期（月）、通風(fēng)設(shè)施的合格率（%）、等積孔(m2)、百萬噸死亡率（人/106t）以及事故的經(jīng)濟(jì)損失（105元），分別用A1—A8表示；共有10個待評價煤礦分別用S1—S10表示。所有指標(biāo)屬性中A1和A2為三參數(shù)區(qū)間數(shù)，A3和A8采用區(qū)間數(shù)表示，A4、A6和A7用實數(shù)表示，而A5則為四參數(shù)區(qū)間數(shù)。礦井綜合安全評價數(shù)據(jù)如表1所示。決策者對屬性有偏好，偏好屬性分別為A2、A5、A6和A7，偏好值分別為[1,1.2,1.4]、[94,95,96,97]、2.0 和 0.2。其中 A4—A6為效益型指標(biāo)，其余的為成本型指標(biāo)。

表1 礦井綜合安全評價數(shù)據(jù)

3.2 決策過程

（1）求各決策方案的灰靶靶心

首先采用式（1）至式（3）將表1中的原始數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)的形式，結(jié)果如表2所示。然后運用式（4）求得初始的由決策方案內(nèi)部所確定的灰靶靶心為Ca=（[6,11,13],[2.8,4,4.3],[100,140],12,[100,100,100,100],3.6,0,[280,320]）。

表2 決策方案指標(biāo)值的二元聯(lián)系數(shù)形式

（2）求融入決策者屬性偏好的灰靶靶心

運用式（5）將決策者的屬性偏好融入灰靶靶心后，則可以得到融入決策者屬性偏好的灰靶靶心為Ca=（[6,11,13],[1,1.2,1.4],[100,140],12,[94,95,96,97],2.0,0.2,[280,320]）。

（3）基于決策者屬性偏好的灰靶靶心C0對決策方案指標(biāo)值進(jìn)行預(yù)處理

采用式（6），針對原決策方案指標(biāo)值基于C0進(jìn)行預(yù)處理。

（4）求各決策方案單項指標(biāo)的接近度

采用式（7）可以求得各決策方案的單項指標(biāo)接近度。

（5）各決策方案單項指標(biāo)的接近度歸一化

采用式（8）可以得到各單項歸一化接近度，見表3。

表3 各單項歸一化接近度

（6）綜合各歸一化單指標(biāo)靶心距

若專家給出的權(quán)重為W=（0.06,0.15,0.03,0.08,0.12,0.13,0.27,0.14），則運用式（9），可以得到各方案的綜合靶心距為 w=（0.039622,0.10203,0.148899,0.058519,0.080203,0.01069,0.18638,0.155308，0.130872,0.067476），因此各方案排序的結(jié)果是：S6＞S1＞S4＞S10＞S5＞ S2＞S9＞S3＞S8＞S7。而不考慮決策者的屬性偏好時，若仍用上述專家給出的各屬性權(quán)重W=（0.06,0.15,0.03,0.08,0.12,0.13,0.27,0.14），則可以得到各方案的綜合靶心距為w=（0.05464,0.094139,0.144376,0.048597,0.088745,0.020213,0.161967,0.169492,0.125855,0.071976），方案排序的結(jié)果是：S6＞S4＞S1＞S10＞S5＞S2＞S9＞S3＞S7＞S8。

3.3 分析討論

下面對上述運算時是否考慮決策者偏好靶心的結(jié)果進(jìn)行比較。其中靶心距與排序變化的比較結(jié)果列于表4。

表4 未考慮及考慮決策者屬性偏好時方案的變化

從表4可以看出，未考慮決策屬性的偏好及考慮決策屬性的偏好時，方案的綜合靶心距及排序是有變化的。考慮決策者偏好靶心前后，方案除S1、S4、S7和S8略有變化外，其余都沒有變化，說明決策者的屬性偏好對方案的排序有一定的影響。

4 結(jié)論

本文提出了基于決策者偏好靶心的混合屬性廣義灰靶決策方法的原理及步驟，并分析了偏好靶心對決策方案的影響。決策者偏好所決定的靶心對決策方案雖然有影響，但影響的方向和程度并不容易把握。而決策者偏好所決定的靶心對決策方案的影響難以把握的可能原因是采用了以向量為基礎(chǔ)的靶心距處理方法，混合數(shù)據(jù)在轉(zhuǎn)換及運算過程中存在著信息的不確定性且無法精確衡量。