GARCH模型控制圖的構造與應用

劉曉華

（山東工商學院 統計學院，山東 煙臺 264005）

0 引言

將統計過程控制應用于金融領域是最近二十年才開始的工作，從國內外研究成果可以看出，將統計過程控制用于金融風險管理的理論研究還不完善，需要對模型進行改進。本文在傳統控制圖的基礎上，針對金融序列中出現的自相關和異方差性，用自回歸模型AR提取相關性，用條件異方差模型GARCH提取異方差性，再對殘差建立控制圖，并利用滬深300指數進行了實證分析，結果表明殘差控制圖可以很好的監控金融風險。

1 控制圖相關理論

1924年休哈特首先提出了控制圖的理論，此后控制圖的相關理論廣泛應用于質量管理相關領域，并在實際應用過程中，根據各種可能的情況，出現了相應的修正控制圖。控制圖主要由三條標志線構成，最上面的是上控制限（UCL），最下面的是下控制限（LCL），中間的為中心線（CL），其中上限控制限的確定依據小概率事件原理。

以正態分布N(μ，σ2)為例，根據分布性質可知P(|X-μ|≥3σ)=0.0026，也就是說樣本數據落在μ±3σ外的概率很小，在3‰以下，是一個小概率事件。由此確定控制限分別為：

在控制圖中，如果過程運行正常，則點會落在上下控制限內。而如果點一旦落在上下控制限之外，則根據小概率事件原理，小概率事件一旦出現，則意味著系統出現異常，需要進行調整。

在通過控制圖對質量過程進行監測的過程中，主要有兩類錯誤：第一類錯誤是實際過程未發生異常，但是點落在了控制限外，根據控制圖判定過程異常，犯了棄真的錯誤，犯第一類錯誤的概率一般用α表示。第二類錯誤是實際過程已經發生異常，但是點落在了控制限內，但是根據控制圖判定為過程正常，犯了取偽的錯誤，犯第二類錯誤的概率用β表示。犯這兩類錯誤的概率不同時最小，此消彼長。在控制圖設計時，應盡量使得犯這兩類錯誤造成的總損失最小。

常規控制圖在設計過程中通常假定獨立同分布，但實際的質量過程經常出現一定的自相關性，對此常用的改進方法主要有兩種：

第一種方法是調整常規控制圖的控制限，通過改進方差的估計來對控制限進行調整。

第二種方法是對殘差建立控制圖，首先對數據建立合適的時間序列模型提取序列中的自相關性，再構造殘差序列，擬合后的殘差值通常滿足獨立同分布，符合常規控制圖的假定，由此構造殘差控制圖進行控制。

2 自回歸模型AR的設計

自回歸模型AR是用變量自身的滯后項為自變量進行回歸，p階自回歸記為AR（p），其模型形式如下：

模型有三個限制條件，條件一：φp≠0保證了模型的最高階是p；條件二：E(εt)=0,Var(εt)=σ2ε，E(εtεs)=0，s≠t則要求隨機干擾序列是零均值的白噪聲過程；條件三：Exsεt=0，?s＜t，則說明當前的隨機干擾與過去的序列無關。

在AR（p）序列中，通常要求過程平穩，需要滿足的條件為模型對應的特征方程對應的特征根都在單位圓內。

以AR（1）為例介紹AR模型殘差控制圖的構造。

3 條件異方差模型GARCH控制圖的設計

在金融時間序列分析中，數據經常表現某一特征的值成群出現的情況，即波動的集群性。在進行分析時，數據同時表現為自相關和異方差，此時需要使用自回歸條件異常差模型，即ARCH模型。ARCH（q）模型形式如下：

ARCH模型實際上使用殘差平方序列的q階移動平均擬合當期異方差，由于移動平均MA模型的自相關系數q階之后截尾，所以ARCH模型只適用于具有短期相關性的異方差函數。但在實際中，殘差序列的異方差函數可能具有長期相關，此時如果使用ARCH模型擬合異方差，將產生很高的移動平均階數，造成參數估計的難度增加和模型的擬合精度受影響。

為了修正這個問題，Billerslov在1985年提出了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH），模型GARCH(p，q)形式如下：

條件1：參數非負，即ω＞0，ηi≥0，λj≥0。

假設{xt}同時存在自相關性和異方差性，其表達式為xt=mt+ηt=E(xt|xt-1,…)+ηt。其中，mt為在給定t時刻之前信息的條件下xt的條件均值，ηt為相互獨立的擾動項，因為xt存在序列相關性，可以用AR模型進行擬合，此時，則殘差序列為εt=xt。其中為參數的估計值為條件均值的估計值。

此時υt～N(0，1)，則有εt～N(0，ht)，又因為，則，則在置信水平在99.73%下，有，因此基于序列{}xt的控制圖，其控制限為：

因為，ht隨著時間t而不斷改變，所有中心線和上下控制限都會波動，這三條控制限的變動會使得對異常值的判斷帶來困難，因此可以對殘差進行控制。在中進行變形得到，也就是說，在時刻t，殘差εt落在中的概率為99.73%，按照小概率事件原理，如果點落在在外，可以判斷為異常點。這樣對序列{xt}的監控可以轉化為對殘差序列{εt}的監控，即為殘差控制圖，其控制限為：

在殘差控制圖中，中心限為直線，只有上下控制限是變動的，相對于之前的控制限式（6）有了很大改善，在使用過程中也很方便。

4 實證分析

本文以滬深300綜合指數進行實證分析，樣本時間為2005年1月4日至2017年10月13日，除去節假日，共3104個樣本數據，數據來源于同花順軟件。在對股指進行數據分析中，人們一般關心收益率的波動，首先將原始數據通過rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)轉換為對數收益率，其中rt為第t天的對數收益率，Pt為第t日的滬深300指數日收盤價。

對對數收益率rt的序列進行分析，時序圖如下頁圖1所示。

圖1 對數收益序列rt時序圖

圖2 對數收益率序列rt描述統計圖

從圖1中可以看出，數據表現出在一定的時間段內（如1500～2000）波動比較小，但是在有的時間段（500～1000和2300～2700）波動很大，存在明顯的集聚效應。由圖2的直方圖和描述性統計分析可以看出：數據SK=-0.52＜0，分布時左偏的，峰度系數KU=6.667，高于正態分布的峰度3，收益率序列是尖峰分布。因此收益率序列同時具有尖峰和厚尾的特征，這也是一般收益率序列的特征。

4.1 GARCH模型的建立

首先需要對數據進行平穩性檢驗，ADF檢驗的結果t統計值值為-54，小于0.01水平下的臨界值-3.43，對應的p值為0.0001，拒絕存在單位根的原假設，數據平穩。接下來根據自相關圖建立相關回歸模型。

圖3 對數收益率序列的自相關圖

由圖3序列的自相關圖可以看出，序列存在明顯的自相關，但是自相關的階數不易確定，通過嘗試，最終通過系數顯著性檢驗的模型見表1。

表1 AR模型估計結果

由此確定的表達式為rt=0.0658rt-4-0.0586rt-6+εt。

接下來對殘差進行分析，通過圖4可以看出，殘差波動具有明顯的集群效應，進一步對殘差進行ARCH-LM檢驗，F統計量為39.46，對應的p值為0，拒絕原假設“ARCH模型殘差不存在異方差性”，說明收益率序列存在明顯的異方差性，需要建立條件異方差模型。

圖4 殘差平方自相關圖

對殘差建立GARCH（1,1），輸出結果，AR(4)系數的顯著性檢驗對應的p值為0.2325，未通過檢驗，剔除重新建立模型，參數估計的結果如表2所示。

表2 GARCH模型估計結果

進一步構造GARCH（1,2）和GARCH（2,1），對信息量進行對比，GARCH（1,1）最優。故最終模型為：

模型系數都大于0，且0.053272+0.907399＜1，滿足約束條件。

對殘差再做ARCH-LM檢驗，對應的F統計量為1.0341，p值為0.3，序列不存在異方差，自相關檢驗的結果，序列不存在自相關性，即殘差序列相互獨立和等方差，滿足控制圖的假定。

4.2 殘差控制圖的建立

殘差滿足獨立性和等方差性，符合控制圖的要求，對殘差按照式（7）構造控制圖，如下頁圖5所示。

從圖5看出，在500～1000（對應時間為2007—2008年）之間和2500～2700（對應時間為2015—2016年）之間的點出界的比較多，主要原因在于這兩個時間段中國股市經歷了大起大落，在控制圖中這兩個時間段超出控制限的點最多。假定定義|rt|≥0.05為異常點，在用殘差GARCH控制圖進行分析，判定的情況如表3所示。

圖5 GARCH控制圖

表3 GARCH控制圖分析情況表

依據表3，可以計算得到犯一類錯誤的概率α為4/3032=0.0013，犯第二類錯誤的概率β為6/72=0.083，犯兩類錯誤的概率都很小。

通過圖5可以看到控制圖能把很好監控出異常點，下面通過圖6和圖7這兩個時間段對有代表性的日期進行分析。

圖6 500—1000號控制圖

圖6中第517號對應日期是2007年2月27日，收益率為-9.7%，超過了控制下限，主要誘因是全球股市暴跌引起A股連鎖反應，當日跌幅為8.84%，創10年來股市跌幅最大。

第578號對應日期2007年5月30日，收益率為-7%，超過了控制下限，原因是財政部在當天0時調整證券（股票）交易印花稅稅率由1‰調整為3‰。

第581號對應2007年6月4日，收益率為-8%，超過了控制下限，原因于多只股票異動不停牌事件，多方唱空重挫滬深兩市。

740號對應2008年1月22日，收益率為-7.9%，當日全球股市普遍遭遇“黑色星期一外圍股市的暴跌，引發A股市場跟隨恐慌性拋售。

801號對應2008年4月24日，收益率8.89%，超過控制上限，原因在于2008年4月24日起,調整證券（股票）交易印花稅稅率，由3‰調整為1‰。

831號對應2008年6月10日收益率為-8.5%，原因在于6月7日晚間，中國人民銀行決定，調高存款類金融機構人民幣存款準備金率1個百分點。

882號對應2008年8月20日，收益率為7.6%，超過控制上限，原因在于市場出現不少利好消息，如政府將出臺千億級的經濟刺激方案，印花稅調整為雙向征收0.05‰，暫停三個月的新股上市審批等。

圖7 2500—2700號控制圖

2524號對應2015年5月28日收益率為-7%，原因在于前期股指漲幅已大，個股估值已高，此時匯金公司的減持動搖了投資者的信心。

2544號對應2015年6月26日，收益率為-8.2%，主要原因，應該是證監會嚴查場外配資，去桿杠的措施加劇了市場資金的緊張程度，以及部分券商已在對個人的配資買入倉位進行強制平倉清出處理，造成市場恐慌。

2565號對應2015年7月27日，收益率為-9%，原因是中字頭股、券商股大幅下挫，多公司大股東違規減持，投資者信心不足。

2672號對應2016年1月4日，收益率-7.27%，當日股市暴跌，原因主要有滬深300指數熔斷機制的實施，人民幣對美元暴跌和油價下跌。

5 結束語

本文在傳統控制圖的基礎上，針對時間序列的自相關性，構造了自回歸AR和條件異方差GARCH模型的殘差控制圖，并通過GARCH殘差控制圖對滬深指數300數據進行了實證分析，研究表明控制圖能把大部分異常數據監測出來，可以對股票市場起到很好的監控，這也為金融風險的控制提供了一個新的思路。