基于觀測器的非線性高階滑模電液位置魯棒控制研究

王海燕

(長春科技學院 電子信息科學與技術系,長春 130600)

電液伺服系統由于具有控制精度高、輸出功率大、響應快等多種優點,近幾年來被廣泛應用在工業生產領域中[1-2].然而,由于伺服閥內的壓力流動特性[3]和泄漏模型的存在,這些系統具有很高的非線性特性,使得精確輸出跟蹤的控制設計成為一項非常具有挑戰性的任務.由于PID控制器[3]、輸入/輸出線性化控制器[4]和滑模控制器(Slide Mode Control,SMC)[5]的簡單性,已被用于液壓伺服系統的控制.然而,這種控制器是基于對象物理模型設計的,因此需要了解設備的參數.由于它們對不匹配的擾動和不確定因素非常敏感,從而降低了系統的跟蹤性能.

為了提高控制器的性能,采用了自整定PID控制器[6-7]、非線性自適應控制器[8-9]以及改進的SMC等策略,但這些控制策略均是針對系統參數不確定性進行設計.在文獻[10-11]中,SMC方法與自適應控制器相結合,實現了系統的不確定非線性、線性不確定參數的補償,特別是非線性不確定參數,從而構造漸近穩定的跟蹤.為了驅動電液執行機構,各種魯棒控制技術,如H2和H∞控制[12-13]被廣泛使用,這種方法能夠補償執行器固有的非線性,減少不匹配的外部干擾.自Levant[14]提出以來,高階SMC已被廣泛應用于電氣傳動[15]和電液作動器[16]等領域.綜上所述,大多數成果對電液位置伺服系統的不確定非線性和線性不確定參數進行了補償,然而采用高階SMC對系統中存在不匹配擾動和非線性不確定性的研究文獻較為罕見.為此,本文針對電液位置伺服系統的特點,設計了一階SMC和基于反步法的非線性高階SMC,得到了一個非線性滑膜控制面,在存在不確定性和擾動的情況下,可實現參考輸出;進一步設計了滑膜觀測器,證明了該觀測器的收斂性,對比分析了觀測器輸出結果與實際輸出結果之間的偏差.通過仿真表明,本控制算法控制簡單,精度較高,具有良好的動態特性和位置跟蹤能力.

1 系統建模

電液伺服系統液壓原理如圖1所示.本研究采用閥控雙對稱液壓缸結構,假設伺服閥為理想零開口和零折疊,閥芯徑向間隙泄漏可忽略不計,供油壓力穩定,液壓缸兩腔面積相等.

圖1 伺服閥控對稱液壓缸系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of servo valve-controlledsymmetrical hydraulic cylinder system

(1)

式中:x為活塞位移;m為液壓缸和負載的總質量;P1,P2為液壓缸兩腔壓力;A為液壓缸兩腔作用面積;b為阻尼系數;k為負載彈簧剛度;Δk為負載系統參數不確定性.

系統流量方程為

(2)

式中:Vt=V1+V2為液壓缸總體積;Ct為內泄漏系數,可表示為控制電壓u的關系式Ct=a/(1+γ|u|),α和γ為內在常數,模擬伺服閥內泄漏;βe為油液體積彈性模量.

忽略伺服閥閥芯的動態特性,將伺服閥閥芯位移與輸出信號的關系簡化為線性關系,根據閥口流量方程,可得伺服閥流量為

(3)

式中:pd=ps-pT為伺服閥壓差,ps,pT分別為供油壓力和回油壓力;k為伺服閥增益.

定義系統狀態變量為

(4)

考慮到外界擾動的影響,建立系統的狀態方程為

式中:|d(t)|

從系統狀態方程可以看出,該電液系統為非線性系統,且系統中存在非匹配擾動及不確定的變化參數,此外,泄漏模型與系統的非線性控制電壓信號u相關.

基于實際測量數據,設置系統仿真參數,如表1所示.

2 SMC

SMC與傳統控制方法相比,具有控制率簡單、對參數變化及擾動不靈敏、無需系統的在線辨識等優點.但是系統對參數攝動和外部擾動的不變性是以控制量的高頻抖振為代價的.

2.1 一階SMC

針對上述控制模型,采用一階SMC.首先,設計滑模面,使系統在被約束時漸近穩定;其次,設計開關控制器,以保證滑模的存在.本文采用反步法設計滑膜面,定義滑模面為σ(x),當系統在滑模面上運動時,有σ(x)=0,此時,x1=p(x),x1可看作是描述滑動面上系統行為的子系統(式(6)～(7))的虛擬控制器.

表1 系統參數設置Tab.1 System parameter setting

因此,選擇線性虛擬控制器為

(8)

獲得滑模面方程為

(9)

式中:C2,C3為待定參數.

在滑動模式下,如果忽略不確定度和擾動,則系統是二階線性系統,對應的特征方程為

(10)

使用極點配置法,在s=-λ配置穩定極點,則可獲得C2,C3參數為

(11)

(12)

式中:W為滑膜增益系數,在擾動和不確定條件下,為了保證系統收斂到滑模面,應選擇足夠大的滑動增益.

(13)

進一步,可獲得系統的控制率為

(14)

其中,

(15)

盡管存在攝動d(t)和不確定性Δkl,式(13)中滑動增益W和式(14)中控制率u(x)保證了滑膜運動的收斂性.然而,可以很容易地推斷出系統輸出結果并未達到參考輸出,這是因為當系統行為被限制在滑動面式(9)運動時,線性虛擬控制器式(8)不能保證對擾動和不確定性的任何魯棒性.

根據上述分析,為保證系統漸進穩定,則系統閉環特征值需滿足：

(16)

此時,由不確定性引起的穩態誤差為

(17)

同樣,可以證明,由常數擾動引起的穩態誤差為

(18)

2.2 高階非線性SMC

為了克服系統中不匹配擾動和非線性不確定,本文提出了一種基于反步法的非線性高階滑膜變結構控制,并采用了魯棒變結構虛擬控制器.

滑膜面的設計與一階SMC相同.為了保證變結構虛擬控制器對參數不確定性的魯棒性,進一步設計高階滑膜面s1(x2,x3),滿足：

(19)

此時,虛擬控制器x1=p(x)可通過求解方程(18)和滑模面方程s(x)=x1-p(x)獲得.當系統在滑模面上運動時,s1(x2,x3)=0,此時活塞桿速度和位移的關系可表示為x2=v(x3),可得

(20)

為了確保x3(t)漸近收斂到x3ref,采用簡單的線性控制v(x3)=-C(x3-x3ref)無法滿足要求,而采用變結構控制可保證系統的收斂性.

本文定義v(x3)的表達式為

v(x3)=-W3(x3-x3ref)-W2sign(x3-x3ref)

(21)

通過選擇增益W2>dmax和W3>0,設計如下相應的滑模面方程,則可實現x3(t)漸近收斂到x3ref,即

(22)

由于滑模面s1(x2,x3)方程中包含有符號函數,系統在滑模面上為不連續運動,不可避免地存在抖振,通常采用平滑的飽和函數代替Signum函數,或者利用Dirac脈沖δ(x),其除了一個孤立的單點外,在任何地方都是零.在孤立不連續點較少時,δ(x)脈沖函數不會引起任何問題,因此,基于式(19),將符號函數替換為δ(x)脈沖函數,可得

(23)

滑模面方程可表示為

(24)

(25)

其中,

(26)

Dirac脈沖δ(x)的導數為零,滑膜增益W的選擇必須保證在存在不確定性和擾動情況下,系統仍漸進收斂于滑模面,即

(27)

3 滑模觀測器設計

3.1 觀測器模型

非線性曲面SMC的設計使用了所有3個狀態變量.然而,壓差ΔP=x1的測量一般較為復雜,且必須要考慮泄漏的影響.為避免測量誤差,降低測量物理量,設計了狀態觀測器用于估計系統壓差變化,提出基于觀測器的高階非線性滑膜變結構控制策略.

基于反步法,設計觀測器模型如下:

(28)

(29)

式中:L1,L2,L3分別為觀測器增益.

3.2 收斂性證明

基于觀測器的滑膜變結構控制在擾動和不確定的情況下,實現精確定位的有效性證明如下.

步驟1 狀態x3收斂性證明.

定義觀測誤差為ei=xi-zi,i=1,2,3,根據式(7)和式(28),位置誤差導數可表示為

(30)

進一步,選擇觀測器增益L3滿足如下條件:

(31)

(32)

(33)

結合式(7)、式(32)和式(33),可推導出位置信號導數,為

(34)

此時,在有限時間內,可得到x3=x3ref.

步驟2 狀態x2收斂性證明.

根據式(7)和式(30),獲得速度誤差導數為

(35)

同樣,選擇觀測器增益L2滿足如下條件:

(36)

(37)

式(37)表明,觀測器將根據外部擾動和系統參數不確定度來估計差壓.

用觀測器變量替代系統壓差狀態變量,獲得控制器滑模面s表達式為

(38)

(39)

保證系統收斂性,此時,活塞桿速度x2將逐漸趨近于x2+d.

步驟3 狀態x1收斂性證明.

壓差誤差微分方程可表示為

(40)

證明完畢.

4 仿真結果分析

4.1 高階非線性SMC仿真

取λ=50,d(t)=0.1,Δkl=25 000,參考位置輸入信號為x3ref=180 mm,分別采用一階SMC、基于符號函數的高階非線性SMC、基于脈沖函數的高階非線性SMC,獲得系統壓差變化、控制電壓變化和位置輸出，分別如圖2～圖4所示.

由圖2～圖4可知:在給定階躍信號后,3種控制方式下系統輸出均向穩定狀態收斂,其達到穩定狀態所需時間分別為0.30,0.16和0.12 s,表明基于脈沖函數的高階非線性SMC收斂速度最快,基于一階SMC收斂速度最慢.此外,基于符號函數的高階非線性SMC系統的抖振最大,一階SMC其次,這是因為由于系統參數變化和外部擾動的影響,導致控制信號頻繁地在滑模面上切換,而基于脈沖函數的高階非線性SMC系統輸出基本上無抖振,表明基于脈沖函數的高階非線性SMC可有效抑制系統的抖振.在穩定狀態下,高階非線性SMC平均壓差為16 MPa,而一階SMC壓差穩定在14 MPa,小于高階非線性SMC壓差.

圖2 SMC壓差變化Fig.2 Differential pressure changes of synovialmembrane controls

圖4 SMC位置變化Fig.4 Position changes of synovial membrane controls

由圖4可知:在穩定狀態下,一階SMC位置輸出為162 mm,其位置輸出誤差超過15 mm,而基于符號函數的高階非線性SMC位置輸出在178～182 mm之間震蕩,最大位置輸出誤差控制在2 mm以內,證明了高階非線性SMC的有效性.為進一步降低系統抖振的影響,采用基于脈沖函數的高階非線性SMC,其位置輸出基本上無抖振,位置輸出為179.6 mm,對應誤差為0.4 mm,表明脈沖函數的使用有助于在不匹配的不確定和微擾的情況下達到參考值,減少系統的抖振現象.

4.2 滑膜觀測器仿真

取觀測器增益分別為L1=1 000,L2=100,L3=1.獲得滑膜觀測器下系統輸出響應跟蹤結果如圖5～圖7所示.位移初始狀態不同,系統的初始位置為0 mm,觀測器的初始位置為5 mm位移.

滑膜觀測器作用下系統速度輸出結果與觀測結果基本重合,統計結果表明,兩者之間誤差為0.1,即z2=x2+d.

由圖7可知:在有限時間內,位置觀測狀態結果與系統輸出結果均趨向于參考位置輸入,觀測狀態位置波動比實際系統輸出結果大,但其均值與系統位置輸出均值相同.狀態觀測器的3個狀態輸出結果與證明結果一致,表明了滑膜狀態觀測器的有效性.

圖5 滑膜觀測器作用下系統壓差輸出結果與觀測結果Fig.5 System differential pressure output and observationresults with the synovial observer

圖6 滑膜觀測器作用下系統速度輸出結果與觀測結果Fig.6 System speed output and observation resultswith the synovial observer

圖7 滑膜觀測器作用下系統位置輸出結果與觀測結果Fig.7 System position output result and observation result with the synovial observer

5 結論

針對電液位置伺服系統中存在不匹配擾動和不確定性參數的特點,本文提出了基于觀測器的非匹配不確定魯棒非線性高階滑模位置控制方法，并進行了仿真研究.首先,設計了一階SMC和非線性高階SMC,對比分析了兩種控制器在不匹配擾動和不確定性參數下的跟蹤性能.其次,采用脈沖函數替換符號函數,降低了系統的抖振.最后,設計了滑膜觀測器,用估計值來代替未測量的狀態,進一步的證明表明,從估計狀態發出的控制器實現了電液伺服位置的精確跟蹤.