以“定”解“動”

柴澤禮

【摘要】高中數學幾何教學中的動點型最值問題一直是學生難以逾越的障礙，究其原因是點多且動，學生碰到此類問題無從下手.而恰恰是多且動，那其中必有“定”，找到這個“定”的特性也就尋到了解題的突破口.

【關鍵詞】動點;最值;定量

最值問題是普遍的應用類問題，主要解決有“最”字的描述的問題，在高中數學是常見的題目類型.而所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線或曲面上運動的一類開放性題目.由于題目中的動點不止一個，而是有多個，某一動點運動時會帶動或制約其他一些點的運動，導致涉及面加大，在這種錯綜復雜的情況下，會有一種“山重水復疑無路”的感覺.但是我們如果能夠盡可能地使動點的數目減少，在“動”中找到“定”的東西，往往就會出現“柳暗花明又一村”的局面.而解決這類問題的關鍵就是“動中求定”，即在已有的題設條件中找到“定的條件”，靈活運用有關數學知識解決問題.下面就通過幾道題目來找找感覺.

一、“動”中找“定長”

例1已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m為常數），圓C：（x-1）2+（y-2）2=25.

（1）證明：m為任意實數時直線l與圓C必相交;

（2）求直線l被圓C截得的弦長的最小值及此時直線l的方程.

解析此題應屬高三復習備考中的經典題目，可以從數與形兩個角度進行求解.思路一：（1）聯立直線l與圓C的方程，通過整理得到關于x或y的一元二次方程，通過判定判別式Δ>0而進行證明;（2）利用圓中的弦長公式求出弦長的表達式是關于m的函數，化為函數的最值問題求解，此法思路明了但運算量偏大.在平時的教學中，這種方法理論上可行但實際操作異常復雜，常常適用于直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系問題.思路二：數形結合、“動”中找“定”，（1）不難發現直線l恒過定點A（3，1），只需判斷此點在圓C內即可，那么只要是過定點A（3，1）的任何直線與圓C必相交;（2）無論l怎么動，|CA|=5為定值，利用幾何圖形不難發現當l與CA垂直時弦長最小為225-|CA|2=45，此時直線l的方程為x-2y+5=0.通過對比就會深切體會到思路二的優勢所在，以“定”解“動”可以達到事半功倍的效果.在實際教學中，如果可以借助多媒體動畫進行演示教學，會使學生能夠更加直觀地感受到動態中變化的過程，領悟以“定”解“動”的精髓.

總結：碰到動直線與圓錐曲線的位置關系中的最值型問題時，務必先找到動直線恒過的某一定點，然后再尋找此定點與曲線上的某一點之間存在的定量關系，即“線動有定長”.結合幾何圖形進行分析找到解決問題的最優策略.一般都是在某一特定的位置處取得最值，據此我們可以對最終的結果進行驗證.

二、“動”中找“定位”

例2設m∈R，過定點A的動直線l1：x+my=0和過定點B的動直線l2：mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則|PA|·|PB|的最大值是.

解析拿到此題乍感覺其中的不定條件有三個之多，兩條動直線l1，l2和一個動點P（x，y），在實際教學中，我的大多數學生常規的解題思路是求出定點A（0，0）和B（1，3）及Pm2-3mm2+1，3-mm2+1，利用兩點間的距離公式將|PA|·|PB|表示為關于m的代數式，最終從函數的角度求解最值.當我讓他們操作執行時卻沒有一名學生可以解答出來，可見在這種思路下不易解答，我說他們“小題大做”了.我們無妨換個角度，既然有兩條動直線l1，l2，從它們的位置關系找找看，不難發現l1與l2無論如何動都是垂直的，即“線動垂直定”，找到了這個定量位置關系那么問題就明朗簡單化了.于是有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，到此大家基本都可以和所求問題聯系起來進行解答了，利用重要不等式可得|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5（當且僅當|PA|=|PB|=5時，等號成立），問題迎刃而解，|PA|·|PB|的最大值是5.在此題中找到l1與l2垂直這一“定位”關系尤為重要.

總結：在解決有關多條動直線的問題時，除過先要找到它們各自恒過的定點外，勿忘判斷它們的位置關系，或許“線動位置定”，可以幫我們從中找出一條明路.

三、“動”中找“定軌”

例3已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長均為3，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡（曲面）與共頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為.

解析此類問題學生碰到尤為頭疼，較平面解析幾何中的動點問題更難，究其原因是學生無法想象動點P的軌跡最終形成了一個什么樣的幾何體，而此題中又有三個動點M，N，P，在實際教學中學生是“望而生畏”.細審此題我們發現，題設中線段MN的長為2是明顯的一定，再由直平行六面體得到△MDN是直角三角形為二定，這兩定限制線段DP的長度為1，又一定！此定正是我們解題的關鍵突破口.這樣就可以得到點P的軌跡就是以D為球心、DP為半徑的球被直平行六面體ABCD-A1B1C1D1所截的六分之一（∠BAD=60°），所以所求幾何體的體積為16×43×π×13=2π9.

總結：動點的軌跡問題比較常見，大家不要被題設中的多個動點所嚇倒，要以這些動點的內在聯系為突破口進行分析，將“多動點”軌跡轉化為“單動點”軌跡問題進行求解.

類似以上的多動點問題是學生們在學習中的一個難點，而動點一般都滿足一定的內在規律，由已知條件推導出隱藏關系式，在“動”中找“定”、將“多動點”轉化為“單動點”是解題的一個基本思路，再利用數形結合思想會將復雜的題設情境變得簡明直觀！我們在平時的教學過程中，要注意培養學生解題時的觀察聯想能力和優化比較意識，這是在解決問題時快速選擇最恰當方法的根本.