分布函數(shù)的關聯(lián)及應用分析

董羽恩

摘 要：本文分析了概率統(tǒng)計中離散隨機變量的概率分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，以及連續(xù)隨機變量中的概率密度函數(shù)的概念及性質(zhì)，并在此基礎上深入分析不同形態(tài)分布函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、正態(tài)函數(shù)、均勻函數(shù)）的概率分布函數(shù)，并開展離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的應用。

關鍵詞：分布函數(shù);概率統(tǒng)計;應用分析

中圖分類號：O212.8 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）07-0245-02

0 引言

概率統(tǒng)計中的分布函數(shù)包括了離散變量的分布函數(shù)以及連續(xù)變量的分布函數(shù)，概率統(tǒng)計中針對離散變量的分布函數(shù)稱為概率分布函數(shù)[1-3]，針對連續(xù)變量的分布函數(shù)稱為概率密度函數(shù)[4-6]。以離散變量X的分布函數(shù)為例，其分布函數(shù)是指該隨機變量X落在特定區(qū)間上的統(tǒng)計概率，其概率的表述形式定義如下：

定義1：隨機變量X的值不大于任意實數(shù)x的值，即F（x）=P{X≤x}

定義2：隨機變量X的值小于任意實數(shù)x的值，即F（x）=P{X

引入隨機變量X后，可利用分布函數(shù)來解決關于取值、取值范圍或取值、取值范圍的概率問題，即可研究隨機事件的出現(xiàn)概率及次數(shù)，以擲硬幣為例：

將一枚硬幣連拋三引入隨機變量X后，可利用分布函數(shù)來解決關于取值、取值范圍或取值、取值范圍的概率問題次，觀察硬幣正反面向上的情況。其中全部正面向上有1次;全部反面向上有1次;3次2枚硬幣正面向上，1枚硬幣反面向上;3次2枚硬幣反面向上，1枚硬幣正面向上。其中正面向上的次數(shù)分別為3次、0次、2次與1次。設X為硬幣正面向上的次數(shù)，利用分布函數(shù)描述X出現(xiàn)的可能性的概率，即分布函數(shù)為P{X=2}=3/8、P{X≤2}=7/8、P{X≥1}=7/8。

F（x）是一個增函數(shù)，且F（x）∈[0，1]，F(xiàn)（x）在負無窮的值為0，在正無窮的值為1，即：

F（-∞）=limx→-∞F（x）=0，F(xiàn)（+∞）=limx→+∞F（x）=1? ? （1）

F（x）是一個右連續(xù)函數(shù)，即F（x+0）=F（x）。對于連續(xù)性隨機變量X的分布函數(shù)f（x）是一個積分函數(shù)，即有F（x）=f（x）dx。

分布函數(shù)是一個概率值，可以表示為區(qū)間的形式，即為P{a

1 分布函數(shù)的內(nèi)涵及關聯(lián)

1.1 分布函數(shù)的分類

（1）累積分布函數(shù)。對離散變量而言，所有小于等于a的值出現(xiàn)概率的和，即Fx（X）=P（X≤x）。假設累積分布函數(shù)在負無窮到正無窮的值域為[0，1]，那么函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，具有右連續(xù)性即為F（x）=Fx（x0）。以像素大小圖像的最大灰度級為例，設M×N像素大小圖像k（h）具有灰度級，灰度級的取值范圍為[0，V-1]。k（h）除以圖像總像素個數(shù)為灰度級分布概率k（g）。圖像的累計概率分布f（t）為k（g）的前g項（g

（2）均勻分布的分布函數(shù)。在區(qū)間[a，b]上服從均勻分布的隨機變量X，落在區(qū)間[a，b]中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。以隨機變量X為例，求均勻分布函數(shù)F（x）的值。當Xb時，F(xiàn)（X）=f（x）dx+f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx=dx=1。因此，均勻分布函數(shù)的分布函數(shù)為：

（3）指數(shù)分布的分布函。指數(shù)函數(shù)的分布函數(shù)的特點為事件以恒定平均速率連續(xù)且獨立地發(fā)生的過程，如醫(yī)院嬰兒出生、公司接到電話的頻次、某超市每天出售奶粉的頻次都屬于指數(shù)分布函數(shù)，它們的共同特點為可以預估這些事件的總數(shù)，但是沒法知道具體的發(fā)生時間。以嬰兒出生頻次為例，假設某段時間內(nèi)嬰兒的出生概率，已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？

由于事件的不確定性，因此服從泊松分布，假設此事件泊松分布的定義為：

1.2 連續(xù)型變量分布函數(shù)的應用

例1假設連續(xù)型變量Y的分布函數(shù)W（Y）=，那么求連續(xù)變量Y的概率密度函數(shù);求Y∈[0.25，0.75]區(qū)間函數(shù)W（Y）的概率密度函數(shù)。

解：對于連續(xù)變量Y其分布函數(shù)稱作概率分布函數(shù)，因此其概率密度函數(shù)為其分布函數(shù)的導數(shù)。假設其概率密度函數(shù)為g（y），則可得g（y）=W'（y），由已知W（Y）的函數(shù)分布形式為分段函數(shù)，因此對于概率密度分布函數(shù)分別求解每一段可表述為：

1.3 離散型變量分布函數(shù)的應用

假設離散隨機變量Y的分布函數(shù)表述為：F{Y}，那么F{Y}=P{Y≤y}。

例2：設離散隨機變量Y的分布概率為：

那么，求出Y的分布概率函數(shù)F{Y}。

解：首先離散型隨機變量的概率分布函數(shù)的定義為 F{Y}=P{Y≤y}。即每一個y值對應一個確定的分布函數(shù)，即具有一一映射的關系。由圖中的離散關系，可將Y值的定義域分布如下的區(qū)間：[-∞，-1]，[-1，0），（0，1]，[1，2），[2，+∞）五個區(qū)間。因此，其對應的概率分布函數(shù)為：

2 結(jié)語

本文在分析分布函數(shù)含義及概念的基礎上，舉例分析分布函數(shù)的性質(zhì)及內(nèi)涵，并通過分布函數(shù)與其它相關函數(shù)的關聯(lián)分析，給出均勻分布概率函數(shù)的定義及性質(zhì)，累積分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，并在此基礎上分析了累積分析函數(shù)的圖像應用，以及指數(shù)分布函數(shù)的概念及性質(zhì)。最后在此分析的基礎上開展了連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量分布函數(shù)的應用。

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