基于網絡分割的大規模換熱網絡溫度校正方法

康麗霞， 朱天鴻， 劉永忠

(西安交通大學 化工系， 陜西 西安 710049)

換熱網絡是化工過程系統中能量的直接利用子系統，針對換熱網絡的集成優化是實現系統節能減排、提升經濟效益的重要手段[1-2]。然而，在實際的生產過程中所提取的換熱網絡測量數據往往由于儀表老化、測量儀表系統不完善、測量儀表精度不夠等原因而存在誤差[3]。這使得化學反應計量、物料平衡和熱量平衡等變量平衡關系不再成立，既無法準確反映生產過程的真實情況，也使得以此測量數據為基礎的集成、調度和控制等方案的設計不準確，甚至不可行。因此，對換熱網絡中的關鍵狀態參數實施數據校正是保證后續集成和設計結果可行的基礎。

目前，與換熱網絡數據校正相關的研究主要集中在對單個換熱器參數的數據校正和對換熱網絡中部分變量的數據校正兩個方面。針對單個的換熱器，Jonsson等[4]提出了擴展Kalman濾波算法用于換熱器的狀態參數估計。閆哲等[5]提出了基于分段線性Kalman濾波狀態空間方程的換熱器狀態參數數據校正方法，解決了換熱器中非線性狀態參數的數據校正問題。周凌柯和傅永峰[6]針對換熱器溫度和流量的同步校正問題，提出了基于雙線性正交分解法的數據協調方法。針對由多個換熱器構成的換熱網絡，Miao等[7]提出了一種基于支持向量回歸的新方法，實現了換熱網絡中包含測量偏差和過程泄漏的數據校正。Ijaz等[8]采用QR分解法實現了換熱網絡中物流流率、溫度和傳熱系數的校正。Yong等[9]利用迭代法和同步法對換熱網絡中的溫度和質量流率進行數據校正。然而，這些方法僅用于小規模的換熱網絡數據校正問題。對于大規模系統，其數據校正所需的求解時間和數據存儲空間都將隨著系統規模的增大而增加，帶求解問題維數也將呈現爆炸性增長趨勢[10]。換熱網絡分割成為提高大規模換熱網絡數據校正問題求解效率的一種必然方法。

一般地，根據生產流程或組成系統各部分的功能，大規模系統可分解為若干個子系統[11]。然而，由于換熱器設置是由流股的操作條件確定的，并不依賴于生產流程，換熱網絡無法簡單的按照生產流程或功能單元進行分割。因此，結合換熱網絡自身特征，綜合考慮其關鍵狀態參數間的相互影響，提出高效的換熱網絡分割方法將成為解決大規模換熱網絡數據校正問題的關鍵。

Ochoa-Estopier等[12]將大規模換熱網絡分割為兩個子網絡：一個僅包含過程流股換熱器的主要子網絡和一個僅包含公用工程換熱器的次要子網絡，簡化了換熱網絡的設計問題。Shahi等[13]根據流股是否有腐蝕性或換熱器價格對換熱網絡進行分割，簡化了換熱網絡的經濟性優化問題。Akpomiemie和Smith[14]根據公用工程路徑對小規模的換熱網絡進行網絡分割，并以此為基礎構建了關聯矩陣，實現了對大規模的換熱網絡的分割。李志紅和華賁[15]根據熱物流路徑對換熱網絡進行分割，優化了系統的能量利用。Kang等[16]基于換熱網絡的能量平衡方程構建了換熱網絡的方程圖，借助圖算法實現了對換熱網絡的分割，并通過比較不同分割的模塊化指標獲得了最優的網絡分割方案，簡化了換熱網絡的層級控制結構設計。然而，以上大部分換熱網絡分割研究中僅通過換熱器之間的連接關系劃分子網絡，而忽略了網絡中關鍵狀態參數之間的相互影響程度。

為此，筆者提出一種基于網絡分割的換熱網絡溫度校正方法。該方法以換熱網絡的質量和能量平衡方程為基礎，構建以溫度變量為節點的換熱網絡加權有向圖模型，然后以此模型為基礎，運用譜聚類方法實現換熱網絡的分割，最后運用分解協調算法實現對大規模換熱網絡的溫度校正。

1 基于網絡分割的溫度校正方法

1.1 換熱網絡的圖模型構建

為充分保留換熱網絡中的連接關系和關鍵狀態參數間的相互影響程度等信息，筆者優先以換熱網絡中的任意換熱器n為例,以換熱器的能量平衡方程為基礎，定義換熱網絡的加權有向圖模型。

對單個換熱器n,其能量平衡關系可表示為：

(1)

所有換熱器節點集，邊集和權重系數矩陣的組合就構成了完整的換熱網絡加權有向圖模型G。在圖模型G中，規定節點vi到vi的邊權重wii=0； 當兩個節點vi與vj間無連接關系時，其對應的邊權重wij為∞。

1.2 換熱網絡分割

1.2.1 節點間相似度的定義

鑒于節點間的相似度(sij)通常與節點間距離(dij)成反比，因此可通過定義節點間距離獲得節點間的相似度。一般地，加權圖中任意兩節點間的距離可通過兩點間的最短路徑長度來表示，即在節點vi到vj所有路徑中，權重之和最小的路徑所對應的權重和。在無向圖中，節點vi到vj的距離lij和節點vj到vi的距離lji是相等的。但在有向圖中，二者往往不相等。因此，為了滿足節點間距離的非負性、對稱性和三角不等式性等原則，文中將節點vi和vj之間的距離dij定義為：dij=lij+lji，則節點間的相似度可用高斯核函數定義為：

(2)

式(2)中，σ是控制核函數的寬度參數。以sij為元素的矩陣即為圖模型G的相似度矩陣S。

1.2.2 網絡分割

以相似度矩陣S為輸入，采用譜聚類算法即可實現對換熱網絡的分割。主要實施步驟是：通過計算矩陣S的前k個特征值和特征向量，構造特征向量空間；然后在規范割集準則下，采用k-均值聚類算法對空間中的特征向量進行聚類，所得結果即為換熱網絡的子網絡。研究將圖模型G(V,E)分割成相互沒有連接的k個子圖。子圖的頂點集滿足Vi∩Vj=?， 且V1∪V2∪…∪Vk=V。

為了確定最優的網絡分割結果，筆者還定義了模塊度效益函數以實現對不同聚類數目下聚類結果的評價。模塊度效益函數(Q)定義為：Q越大，表明分割后的子網絡結構和原網絡結構的擬合程度越高，即網絡分割的質量越高。

(3)

1.3 數據協調方法

在獲得換熱網絡的最優子網絡分割后，可采用分解協調方法[17]實現對子網絡間的數據校正和子網絡內的數據校正。分解協調算法的主要思想是：首先通過求解子網絡間共享變量的數據協調問題，得到共享變量的協調值。然后將共享變量的協調值固定后，帶入子網絡中求解各個子網絡內的數據協調問題，得到各個子網絡內部變量的協調值，進而完成整個換熱網絡的數據協調結果。因此，該方法本質上是通過子網絡分割將整體校正法的一個數學模型拆分成兩類規模更小的子模型進行求解，即子網絡間共享變量的數據協調模型和子網絡內部的數據協調模型。其中，子網絡間共享變量的數據協調問題可通過求解如下數學模型實現：

(4)

任意子網絡k內部的數據協調模型可表示為：

(5)

另外，筆者采用了具有良好魯棒性和高效性的修正的迭代測量檢驗法(MIMT)[18]對數據協調后的顯著誤差進行檢測和處理，該方法中的檢驗統計量Zα定義為：

(6)

換熱網絡溫度協調得以實施的一個重要基礎是網絡中的溫度變量存在一定的冗余度；但在顯著誤差處理時，則需要將這些具有冗余度的溫度變量按照其偏離臨界統計量由大到小的順序依次剔除，以提高校正精度。

2 換熱網絡溫度校正案例分析

2.1 案例分析1

案例1[19]的換熱網絡結構見圖1。圖1中3個熱流股和2個冷流股通過6個換熱器換熱，共計14個溫度變量。除溫度變量T10分配顯著誤差外，其余溫度變量均以真實值為均值、2 ℃為標準差的正態分布函數隨機生成測量值。與公用工程相關的溫度變量T3、T8和T12設為不可觀察變量，無需進行校正。以案例1說明換熱網絡分割和溫度變量協調的具體實施步驟。

圖1 案例1的換熱網絡結構Fig.1 HEN structure of case 1

圖2 換熱網絡圖模型及子網絡分割圖Fig.2 Graph model and sub-network partition of HEN

根據圖模型構建方法，得到換熱網絡圖模型如圖2所示，權重系數通過權重矩陣W給出：

T2T5T7T9T10T13

以此圖模型為輸入，運用譜聚類算法對該換熱網絡進行網絡分割。通過計算不同聚類數目下對應的Q值可知，該換熱網絡在聚類數目k=2時對應的Q最大。此時，換熱網絡分割成2個完全獨立的子網絡。

最后，運用式(6)的模型分別對這2個子網絡中的溫度變量進行協調，溫度協調和校正結果如圖3所示。取系統整體顯著性水平α=0.05，可得對應的臨界統計量Zc=2.906，得到的換熱網絡溫度協調結果和變量的統計量Zα見圖3中紅色三角標記。

由圖3可知，變量T4、T5、T10和T11的統計量超過臨界統計量Zc，可能包含顯著誤差，需要進行校正?？紤]到T4、T5和T11是換熱網絡的進出口溫度，而T10是中間溫度變量，具有冗余度，因此選擇剔除溫度變量T10，得到最終可行的數據校正結果和所有變量的統計量，見圖3中藍色矩形標記。數據校正后，所有變量的統計量均低于此時對應的臨界統計量Zc=2.883。

為了驗證所得結果的正確性，筆者還運用整體數據校正方法對該案例的溫度進行了校正，所得到的數據協調和校正結果與前者相同。因此，當換熱網絡分割的子網絡相互獨立時，采用整體校正方法和基于網絡分割的校正方法所得結果相同。

2.2 案例分析2

案例2[20]的換熱網絡中包含22個熱流股、17個冷流股，25個過程換熱器和22個公用工程換熱器，共計88個溫度變量。除溫度變量T7、T48、T59、T63、T70和T87分配顯著誤差外，其余溫度變量以真實值為均值，1.5 ℃或2.5 ℃為標準差的正態分布函數隨機生成測量值。

根據其能量平衡方程構建圖模型后，發現該換熱網絡初步包含13個獨立的子網絡，其中包括1個含有8個換熱器的子網絡，1個含有4個換熱器的子網絡，2個含有2個換熱器的子網絡和9個僅包含1個換熱器的子網絡。為了保證溫度校正中的數據冗余度，將包含1個和2個換熱器的子網絡歸為一類，無需進行后續聚類，而只需要對包含8個換熱器的子網絡(子網絡1)和包含4個換熱器的子網絡(子網絡2)進行聚類。

圖4為2個初始子網絡1、2在不同聚類數目下對應的Q值。由圖4可知，初始子網絡1在聚類數目為7時對應的Q最大，初始子網絡2在聚類數目為3時對應的Q最大。因此，整個換熱網絡最終可劃分為11個(7+3+1)弱關聯的子網絡。

圖3 案例1的溫度協調和校正結果Fig.3 Temperatures of HEN after coordination and reconciliation in case 1α=0.05(a) Temperatures of HEN after coordination and reconciliation; (b) Variation of test statistic for each variable

圖4 案例2換熱網絡分割的模塊化函數Fig.4 Modularity of HEN partition in case 2(a) Initial sub-network 1； (b) Initial sub-network 2

依次對所得到的子網絡進行數據協調和顯著誤差檢測與處理，結果如圖5所示。圖5中紅色點是進行數據協調后的溫度協調值及對應的統計量分布；圖5中藍色點為運用MIMT方法進行顯著誤差的檢測和處理后所得的換熱網絡數據校正值和統計量分布。協調變量總數為88，對應的統計量臨界值Zc=3.44。由圖5可知，溫度變量T7、T26、T27、T35、T36、T43、T44、T48、T59、T63、T69、T70和T87的統計量大于其對應臨界值，可能含有顯著誤差。在顯著誤差的處理中，T7、T48、T59、T63、T70、T87屬于不同的子網絡，可以同時進行剔除。此時，變量總數為82，對應的臨界統計量Zc=3.42，校正后的所有溫度變量的統計量均在臨界值以內。

圖5 案例2下的溫度協調和校正結果Fig.5 Temperatures of HEN after coordination and reconciliation in case 2α=0.05(a) Temperatures of HEN after coordination and reconciliation; (b) Variation of test statistic for each variable

以絕對誤差和、相對誤差和、約束方程殘差絕對值和以及誤差處理的迭代次數為指標，筆者將整體校正法的校正結果和基于網絡分割的數據校正法的校正結果進行了對比，結果見表1。由表1 可知，相比于整體校正方法，盡管基于網絡分割的數據校正方法的校正精度低約1%，但所需的迭代次數顯著降低。這說明相比于整體數據校正方法，基于網絡分割的數據校正方法能夠在犧牲了一定精度的基礎上，大幅減少迭代運行次數，提高計算資源的利用率。而且，隨著換熱網絡規模的增大，換熱網絡溫度變量間冗余度逐漸提高。相比于整體數據校正方法，基于網絡分割的數據校正方法所需的計算量會更小，數據的校正精度也會更加接近。

表1 案例2采用不同校正方法所得結果的對比Table 1 Comparison of results obtained by different methods in case 2

3 結 論

(1)通過構建加權有向圖模型和運用譜聚類算法，可以實現大規模換熱網絡的網絡分割和對溫度變量準確、高效的校正。

(2)當換熱網絡的子網絡間相互獨立時，基于網絡分割的數據校正方法與整體數據校正方法所得結果相同；當換熱網絡的子網絡間存在共享變量時，基于網絡分割的數據校正方法能夠在犧牲一定精度的基礎上，顯著減少了問題求解的迭代次數，提高計算資源的利用率。

(3)隨著換熱網絡中換熱器數目或流股數目的增加，換熱網絡溫度變量間冗余度逐漸提高，和整體數據校正方法相比，基于網絡分割的數據校正方法所需計算量更小，數據的校正精度也會更加接近。