第二十二屆北京高中數學知識應用競賽決賽試題及參考解答

2019-05-24 02:30:10

數學通報 2019年4期

一、標準田徑場被俗稱為400米田徑場，如下圖所示．最內側跑道由兩條86米長的直道和兩條半徑約為36.3米的半圓弧線彎道構成．每條跑道寬度1.25米，共有8條跑道．一所新建學校，由于面積狹小，不能建立標準田徑場，只能建300米的小田徑場，它的最內側跑道內沿全長為300米且和標準田徑場比例相同，共有六條1米寬的跑道．

(1)計算小田徑場最內側跑道中一條直道的長度及彎道的半圓弧線的半徑；

(2)把田徑場完整地放在一個剛好能包容它的矩形中，這個矩形稱為這個田徑場的“占地矩形”．小田徑場設置了百米直道，能否在占地矩形內象標準田徑場那樣將百米賽終點線設在AB處(如圖)?如果不行，線段AB至少向右延長多少米?

(3)如果在小田徑場上進行400米比賽，不允許運動員變道，終點為百米賽的終點，最內側跑道的起點設在百米起跑線處，每條跑道長度按照內側線長度計算，求第六條跑道的起點位置；

(4)在(3)中給了賽跑路徑及計算賽程的要求，也就是給了“模型假設”，你認為對400米賽跑有不盡合理之處嗎?

解(1)設小田徑場最內側跑道內沿的一條直線段長度為x米，半圓弧線半徑為y米．

由條件可知，2x+2πy=300，x:y=86:36.3，解得：x≈64.49，y≈27.22．

(2)若百米賽終點線設在AB處，在占地矩形的長邊可用直線賽道長度為

64.49+27.22+6≈97.71(米)，

可見，無法在占地矩形內將百米賽終點線設在AB處．至少向右延長2.29(米)．

(3)各條跑道的每一圈長度互不相等，第一道(最內側跑道)是300米，第六道是

2×64.49+2×(27.22+5)π=332.32(米)．

按比賽規定，在400米賽中，既然終點為百米賽的終點，第一道的運動員起點設在百米賽的起跑線處剛剛合適，若第六道的運動員起點也設在百米賽的起跑線處就不合適了，他比第一道的運動員將多跑32.32米．因此，第六條道的起跑點位置應當設在百米起跑線右邊32.32米處．

(4)有兩個不合理之處．

第一個，每個運動員在自己的跑道上剛好跑完一個完整的彎道全程，而彎道的長度是彼此不同的，也就是任兩個運動員在400米賽中的直道、彎道距離都不等，略顯不公．

第二個，計算賽程是以跑道內沿長度為準，而實際上，運動員若踩著內側線跑步就是犯規，于是，若不踩線犯規，運動員就要離開邊線一段距離，于是，跑完全程就要多于400米．

二、在1772年，自然學家J.R.Forster首先提出：生物種數量是隨著區域的面積擴大而增加的．這是一個最基本的生態學規律．從這之后，一批自然學家走遍全球各地的島嶼，搜集并記錄了大量的面積與相應生物種數的數據，它們的生態模式和趨勢慢慢地顯示出來了，生物種的增加速率出現了降低的趨勢．基于大量的統計數據，1920年，O.Anenius給出了物種-面積的冪函數表達式，即生物種-面積模型

S=cAz

(*)

式中A表示島嶼的面積，S表示島上生物種的數量，常數c和z由觀測資料確定，z一般是很小的一個數，通常在[0.2，0.3]的范圍內．

因為這個冪函數來自于對觀測數據的擬合，僅僅描述了現象，并沒有從生物進化上給出解釋，所以，有的自然學家對冪函數的模型提出了質疑．盡管遭到質疑，這個函數表達式仍然是一個可供參考的生態學規律．

(1)有人關注林地面積對生物種數的影響，猜想：如果有50%的現存林地被毀掉，將有50%的生物種滅絕．請利用(*)式，在z=0．25的條件下對這個猜想作出判斷；

(2)如果島嶼的90%或99%的面積被大海淹沒，用(*)式作預報，在z=0.25的條件下將分別有多大比例的生物種保存下來；

(3)依據上述計算結果，分別闡述生物種-面積模型的合理性以及“有的自然學家對冪函數的模型提出了質疑”的合理性．

解(1)將現存林地面積記作A0，毀林后的林地面積為A1，現存的生物種數量為S0，毀壞林地后的生物種數為S1．則有A1=A0-50%A0=50%A0，根據(*)式，有

于是有

即S1=84%S0．即滅絕的生物種數為現存生物種數的16%．猜想是錯的．

(2)將現在的島嶼面積記作A0，淹沒k%后的島嶼面積為Ak，現在的生物種數為S0，淹沒后的生物種數為Sk.則有Ak=A0-k%A，根據(*)式，有

于是有

即島嶼的90%的面積被大海淹沒，保存下來的生物種數是原來的56%；島嶼的99%的面積被大海淹沒，保存下來的生物種數是原來的32%．

(3)由(1)產生的計算結果告訴我們，雖然隨著面積的減少生物種也要減少，但生物種數的減少比例相對面積的減少比例要小很多．一般來說，物種的滅絕是一個極其緩慢的過程，生存面積的變化，首先影響到的是生物種內的個體數逐漸減少(可能成為“受威脅的”物種)，如果是繼續減少的趨勢，這個物種就被看作是“瀕危的物種”，再下去將出現物種滅絕．面積的減少最直接的影響是生物種內個體數的減少，至于出現生物種數量的減少(即生物種的滅絕)還需要一個漫長的過程．生物數與生物種數是兩個不同的概念，生物數量與生物種數減少情況差別很大．

另外，人們觀察記錄的數據是在一定面積的封閉區域內(如島嶼)生物種的數量經過漫長時間復雜的進化演替過程后的最終的結果．生物種-面積模型僅僅是對這個最終結果前提下面積與生物種數狀況的描述，并沒有涉及到生物種演化的具體過程．彼時觀察到的數據形成的結論能不能用來表示又經過幾百年生物進化后的此時的生物種數與面積的關系?誰也說不準，這樣簡單地將物種數量歸結為面積的大小是不全面的．再看(2)的結論，當海島面積減少到原來面積的1%時，保存下來的生物種數是原來的32%，這個結論有點出乎意料，在地域較大的情況下也許沒問題，當面積較小時，再縮到原來的1%，很難說還會有原來32%的物種．因此，質疑生物種-面積模型是有道理的.

三、在北京地鐵4號線的車廂里，到處可見漂亮的彎管扶手，如右圖，我們將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出有15公分，跨接了6個坐位的寬度，每個座位寬度43cm，求彎管的長度．

解下圖是彎管形狀的示意圖．每個座位寬度43cm，六個坐位總寬度為2．58m.依題意，在右圖中，AB=2．58m，CD=0．15m，所求為AB弧長．

設弧所在圓的半徑為r，由圖可得

r2=(r-CD)2+AC2=(r-0.15)2+1.292,

得r=5.622(m).

≈2.6032(m)．

即彎管的長度約為2.6米．

(1)人們直觀地認為：用多次測量的平均值來估計μ，要比用一次測量值好．請你通過數學的定量分析予以證明；

(2)如果天平的精度σ=0.05，用天平測量多少次能使估計值的精度達到0.01？

注：在回答問題中，可能要用到隨機變量均值和方差的如下性質：

1°設X是隨機變量，a是一個常數，則

E(aX)=aEX,E(X+a)=EX+a,

D(aX)=a2D(X),D(X+a)=D(X)

2°設X1和X2是隨機變量，則

E(X1+X2)=EX1+EX2

3°設X1和X2是獨立的隨機變量，則

D(X1+X2)=D(X1)+(X2)

解(1)假設做了n次獨立的測量，測量值分別是X1，X2，…，Xn，這n次測量值的平均值是

利用方差的性質，有

五、有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：感染病毒后康復(所有康復者都對病毒免疫)，記作R型；沒感染病毒但可能會感染病毒，記作S型；已感染病毒，記作I型．病毒防疫部門每周統計一次病毒傳播情況，將第n周的感染病毒后康復人群記作Rn，將第n周的沒感染病毒但可能會感染病毒人群記作Sn，將第n周的已感染病毒人群記作In．

經長期統計數據發現規律：如果開始時整個人群是S型，那么，第n周的S型人群在n+1周時，其中93%仍為S型，7%為I型；第n周的I型人群在n+1周時，其中65%為I型，35%為R型；第n周的R型人群在第n+1周時仍為R型．

(1)根據已知條件，將前兩周各種類型人群發生的概率填在下面樹狀圖的括弧內；