基于Logistic模型的作業專用服裝設計

周洋

摘要：在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。對專用服裝的設計研究，主要通過建立數學模型改變其不同隔層材料的參數值，觀察不同條件下假人皮膚外側溫度隨時間的變化規律，從而為其服裝設計提供理論性參考。該文針對2018年全國大學生數學建模競賽A題的高溫作業專用服裝設計問題進行求解，運用了熱傳導理論、圍護結構熱阻計算及遺傳算法，構建了熱傳導公式和相應的Logistic模型，得出了在題目要求的約束條件下各層的厚度大小的解，最后結合實際給出模型的最優解。

關鍵詞：Logistic模型；遺傳算法；熱傳遞公式；非線性擬合

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）07-0273-04

Abstract： When working in high temperature environments， people need to wear special clothing to avoid burns. The design research of special clothing mainly changes the parameter values of different barrier materials by establishing mathematical models， and observes the variation law of the outer skin temperature of the dummy under different conditions with time， thus providing a theoretical reference for its garment design. This paper solves the problem of high-temperature operation special clothing design for the 2018 National College Students Mathematical Modeling Contest， and uses the heat conduction theory， the thermal resistance calculation of the enclosure structure and the genetic algorithm to construct the heat transfer formula and the corresponding Logistic model. The solution of the thickness of each layer under the constraints required by the title， and finally the optimal solution of the model is given in combination with the actual.

Key words： logistic model； genetic algorithm； heat transfer formula； nonlinear fitting

1 背景

在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。為了降低研發成本、縮短研發周期，對專用服裝的設計研究，主要通過建立數學模型改變其不同隔層材料的參數值，觀察不同條件下假人皮膚外側溫度隨時間的變化規律，從而為其服裝設計提供理論性參考。

2 模型的建立

通過相關資料的查閱，將高溫防護服看作圍護結構[1]，每個隔層都是穩態且這四種介質都是均勻的。我們查閱相關文獻資料獲得了熱量計算公式，熱阻與熱傳遞效率和熱阻與厚度的關系式，加上題中需要考慮一個分層前后溫度的差值，于是我們設立以下的數學符號：

2.1 問題的分析

由表2可知，利用擬合后的Logistic模型[7]與相應的實際溫度吻合較好，而且相對誤差也比較小，因此有理由利用求得的Logistic模型進行后面的模型計算。此時u2的關于t的數學關系式是依托所給人體外側數據所得，于是這個求得的數學表達式是適用于空氣層于人體外側的溫度變化。逐層求得各個分層的溫度，由此得到第一問的溫度分布數據。

2.3 問題二的求解

在這一問當中我們打算采用由外到內的方法來依次分析溫度變化的趨勢，從而最后分析到假人皮膚外側的溫度。因為外部溫度是逐次影響到內部的溫度，因此依據上面的分析我們就可以依次求解出由外到內的各個時刻的溫度以及內部溫度的表達式，然后在滿足題目約束條件下選擇最優解。

由問題分析我們知道模型是由外到內的一個遞歸模型，在這個模型里面，未知參數有時間t，有各個層的關于C的參數，以及題目要求我們所求得Ⅱ層的厚度。在這一問當中，約束方程可以為以下形式：

因此在這一問當中我們利用60分鐘這個極限條件去想辦法算出相應時間點的C1，C2，C3，C4的值。我們可以利用問題一題目給出的數據以及第一問模型所計算出來的三層的溫度變化，通過將時間t設置為3600s（60*60s）作為初始值計算出各層的C值并帶入到該問題當中進行求解。結算得到的C值如下：

因此根據上面所求得的60min情況下對應的C值，然后根據式（8），令u4=65，u0=47，時間t=3600，將l2作為未知量，解出關于Ⅱ層的厚度的不等式為l2 >2.043 （單位mm）。

根據以上的兩個約束條件，得到最終的關于Ⅱ層的厚度的取值可以為0.6mm、2.043mm。考慮到題目當中為了降低研發成本、因此可以選擇最薄的厚度作為最后的最優解，因此選擇0.6mm或者2.043mm均可。

2.4 問題三的求解

遺傳算法[8]（GA）是利用自然界存在的“物競天擇，適者生存”這樣的一個自然進化規律的算法模型。自然界在進行物種的選擇過程當中發生基因的交叉、變異、選擇等各種變化，并通過漫長的時間來篩選出最有能力適應自然環境的生物個體，從而得到最后的優化物種。

上面求解過程發現當中涉及微分方程的求解，因此各個層之間會出現C系數，設相應的系數為C1、C2、C3、C4，由于當環境外側溫度變為80℃的時候，相應的C系數變化不大，且C系數只與時間的變化有關，因此可以利用已有的數據以及通過模型求得的數據來計算出相應的C值。題目要求在工作30分鐘的時間內保證假人皮膚外側溫度不超過47℃，因此考慮最壞的情況，當時間剛好為30分鐘的時候。這時候就可以通過時間t為30分鐘求得C系數。

簡化后求得C2系數大小為-4.864230875145906，對于C4由于其介質（空氣層）的特殊性無法求出其精確值（此時的表達式里面涉及的數字過于龐大，計算機報錯），但是由于在第二問當中已經發現因為其介質的特殊性導致對整體結果的影響較小，而且當取時間為0s至60min（3600s）的時候可以得到C4的取值范圍為[-3395.8086，3.2782]，因此在后面求解的時候取適當的值即可。

把相應的參數以及約束條件帶入算法當中，選擇C4為其范圍的上限值3.2782，并且猜想由于第Ⅳ層空氣層對實驗結果影響較小，而且厚度的增加也不會增加其研發成本和開發周期，因此l4實驗的結果可能就是接近其厚度的最大值6.4。

在遺傳算法當中取種群規模GROUP_SCALE為50，繁殖代數MAX_GENS為500，交叉概率P_MATING為0.8，編譯概率P_MUTATION為0.15，跑出的結果如下圖：

運行處的相應的l2和l4的值分別為24.8861和6.37858，而且從上面每代的分析數據發現算法在大約50代的時候就基本上已經找到了函數的最優解，而且相應的標準偏差大部分也基本上穩定在合適的范圍內，這就說明算法得到的結果是符合相應參數檢驗的。

在這里l4的值和我們實驗前預期的值基本上一致，也就是接近最大厚度，但是我們發現l2的值也接近于其范圍的最大值，這與實際相符（材料越厚隔熱效果越好），但事實我們還要考慮到研發成本的影響，因此我們打算修改相應的C4值使l2即符合題目要求而且最節省成本。

通過改變C4的值并進行多次試驗，得出相應的實驗數據，當-20 ≤C4≤3.2782的時候求得的l2以及l4和上面的結果一致，但當C4≤-20的時候l4的值為6.39982，和我們猜想的基本上沒有什么改變，但是l2的值卻為19.4047，也就是當l2取該值的時候題目所給的約束條件依然滿足，而且厚度也相應的減小了，滿足了研發成本盡量低。

考慮第二個約束條件，依然選擇當為25min（30min-5min）的時候的極限情況，這時候的時間t為1500s（25*60s），右邊的極限溫度為44℃，這時的函數表達式和式（12）基本一致，因此在這里就不列出相應的表達式了。

采用的方法依然和前面一個約束條件采用的方法一致，得出的結果在精度為0.01的情況下仍然沒有什么變化，因此就將l2 = 19.4047mm，l4 = 6.39982mm作為最優厚度解。

3 模型的檢驗

由于僅看遺傳算法所得出的結果并不一定能夠保證該解答的正確性，滿足題目的約束條件并不代表該解是全局最優，而且可能由于遺傳算法的初始值設置的隨機性導致其解可能只是達到局部最優而錯過真正的最優解。

因此首先將第Ⅱ層的厚度l2 以及第Ⅳ層的厚度l4 作為因變量，繪制出l2、l4與 Z的三維圖，根據圖像可以大致的預估其最優解的位置，并且為后面的算法提供檢驗的依據。

這里設置的外部溫度依然是80℃，時間t仍然為1800s，這時候的C2為-4.864230875145906，C4 的大小我們選擇為3，觀察后發現，當l2 的取值大概在5至10mm的時候模型已經達到了最優解，而且還發現l4 的大體變化對于模型的求解沒有什么影響，因此這也就證明了我們的猜想，l4 由于其介質（空氣）的特殊性導致其厚度的變化對實驗結果沒有太大的影響，因此在進行相應的實驗的時候可以忽略其對實驗結果的影響。

由于對于多變量的非線性優化算法有很多，因此我們還不可以完全保證其遺傳算法的正確性以及算法的優異性，于是采用另外一種求解其優化模型的算法以證明遺傳算法的優越性和正確性。

粒子群優化算法（Particle Swarm optimization，PSO）是將空間當中的個體看做是一個沒有質量和體積的個體，這些個體稱之為“粒子”[9]，而這些粒子在空間當中以一定的速度運行，而速度的改變會隨著時間的改變以及粒子自身所獲得到的經驗來自動改變相應的運動速度和運動的方向。

運用粒子群優化算法求得的l2 基本上趨近于24.33，l4 的值和在利用遺傳算法的得到結果也是基本上一致，求得的最優值的gbest fitness的值接近于1，這也就說明算法自身的效果表現良好，但是實際上這個值并不是全局最優解（至少和遺傳算法算出的結果要差）。但是在迭代次數上面，粒子群優化算法找到最優值的所需的次數要少，但是這也是他的缺點[10]，因為這會導致早熟收斂[11]，不能夠找到全局最優，同時局部搜索最優解的能力較差，使得算法可能很長一段時間找不到一個最優解。

最終得到的結論是遺傳算法在該題中要更優于粒子群優化算法，并且也證明了遺傳算法在該題當中求解出的結果會好。

4 評價與總結

本文構建了Logistic模型關于防熱服的導熱模型，并利用遺傳算法去解決多變量的非線性優化問題，在達到題目所要求的前提條件下我們的方法可以使得防熱服的費用較低，而且模型的通用性更好。但是在求解過程中發現雖然本方法可以在一定的時間內可以找到一個局部最優解，但是可能在一定的時間內找不到一個全局最優，而且算法的要求較高，必須知道待求解的變量的取值范圍，在被求解的函數局部最優較多的情況下可能收斂速度相比于其他的傳統優化算法要慢且效率會比較低。因此我們可以通過分析待求函數的特征來選擇合適的算法，使得算法的收斂速度得到加快而且得到的最優解盡可能靠近全局最優，以滿足題目要求。

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【通聯編輯：謝媛媛】