應用型本科院校《離散數學》課程教學方法探究

宋慶燕 楊興忠

摘要：研究適用于應用型本科院校的《離散數學》課程教學方法。首先分析了課程教學中存在的主要問題，然后基于主要問題設置了改善學生學習態度、增強學習動力，強化與計算機科學課程體系的聯系和滿足學生核心興趣點的總體目標并提出了相應的教學策略，一種是在課程教學中引入“計算試驗”為問題求解建立直覺，另一種是引導學生進行經典原始文獻閱讀，展示數學知識的進化過程；最后通過相應的三個教學示例闡述具體教學方法的實施細節。

關鍵詞：離散數學；教學方法；問題求解；計算試驗； 經典原文閱讀

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）09-0109-03

Abstract： To study the teaching methods of Discrete Mathematics in applied undergraduate Institutions. First， it analyzes the main problems existing in the course teaching， and then， based on the main problems， it sets up to improve the students' learning attitude and enhance their learning motivation， Strengthen the connection with the computer science curriculum system and meet the overall goal of students core interest points and put forward corresponding teaching strategies. One is to introduce "computational experiments" into the curriculum teaching to build intuition for problem solving， and the other is to guide students to read the classic original literature， showing the evolution of mathematical knowledge. Finally， three teaching examples are given to illustrate the implementation details of specific teaching methods.

Key words： discrete mathematics； teaching methods； problem solving； computational experiments； Classic original reading

1 引言

計算機科學與技術專業《離散數學》課程教學方法的探究是一個歷久彌新的研究課題，如文獻[1-6]。為了研究適用于應用型本科院校的《離散數學》課程教學方法，本文根據對湖北民族大學計算機科學與技術專業《離散數學》課程實施的實際觀察，總結了一些目前本門課程教學所存在的主要問題：

1） 學生的學習態度消極，課堂氣氛沉悶，士氣低落。

2） 課程結束后，學生們很快便遺忘了以備考為目的而記憶的很多知識。

3） 對于后續課程沒有發揮應有的持續影響，在學科能力培養方面沒有表現出明顯效果。

從教學模式、課程內容和學生能力等方面分析，本文認為造成上述問題的主要原因為：

1） 《離散數學》作為一門數學課，教學模式往往采用了“定義-定理-證明”的傳統模式，這種模式有利于數學知識的高效率傳遞，但也使得數學知識以抽象、艱澀和無趣的形式呈現在學生面前。

2） 《離散數學》課程內容表現得與計算機科學與技術專業后續課程相關性不強，與學生的核心興趣點更是差距甚遠。

3） 學生數學能力和知識背景的差異導致有些學生即使有學好離散數學的愿望，也往往找不到付出努力的立足點。

本文認為，在《離散數學》課程教學中僅僅采用傳統的教學方法很難有效解決上述問題，針對本門課程教學內容多樣的特點可以考慮采用多元教學模式，這首先需要探索出更多可行的教學方法以運用于本門課程不同內容的教學，本文將對此做出一些嘗試。

2 《離散數學》課程教學方法探究

根據第1節中對于《離散數學》課程教學所存在問題的總結和分析，本文將基于如下目標進行《離散數學》課程教學方法的探究。

1） 讓《離散數學》課程以更生動，具體的方式呈現給學生，消除學生們對于本門課程留下的抽象、枯燥甚至對于計算機專業似乎沒有用的印象，從而愿意主動接受它。

2） 讓能力和知識背景各有差異的學生們都能找到學習的起點，使得他們努力的成果能夠有直觀的體現，產生成就感。

3） 重視并滿足學生們的核心需求，增強學習的動力和信心。

根據總體目標，本節提出了兩種適用于相應類別教學內容的教學策略，并在2.1節和2.2節分別描述了這兩種教學策略對應的具體教學方法。

1） 在《離散數學》課程中引入“計算試驗”，從計算的角度呈現數學內容，幫助學生思考和進行問題求解。從而能夠強化課程與計算機學科的聯系，并凸顯出問題求解中數學方法的優勢和特點。

2） 將數學概念以動態方式呈現出來，讓學生們都能參與重新構建數學知識的過程。使得學生能夠以一種主動和自然的方式學習抽象的數學概念和定理。

2.1 用“計算試驗”為問題求解建立直覺

本方法適用于《離散數學》課程教學內容中可計算問題的研究型教學。在具體實施教學過程中，首先鼓勵學生對于待解決的可計算問題進行計算試驗，通過計算試驗建立關于問題求解的直覺，在直覺基礎上產生一些關于求解問題的想法或猜測；然后，引導學生應用數學方法對猜想進行分析和嚴格證明。最理想的情況是，一些學生在經過數學方法的分析和嚴格檢驗后，發現基于計算試驗所做出的猜想不一定是正確的。此時，可引導學生反復修正調整猜想，并鼓勵他們在這個過程中始終借助計算試驗來提供思路或靈感。

必須指出的是，以上從計算試驗幫助建立直覺到數學方法分析和嚴格證明的整個教學過程中，并沒有削弱數學方法，反而是強化了它在問題求解中的重要性。此外，計算試驗還幫助學生們更好地洞察基本的數學原理，使得抽象的數學概念及其應用變得具體而可見。

2.2 引導閱讀經典歷史資料，展示數學知識的進化過程

大部分的《離散數學》教材在正式進入新的知識單元之前，都會程序式的介紹相關背景，但也僅僅是略微提及。學生們也因此往往忽略了這些內容而直接去面對艱澀、枯燥、形式化的數學概念和定理等內容，這樣的方式讓他們難以產生學習的興趣和動力。

針對以上情況，本小節討論的主題則是強調對于背景知識的學習。具體采用的方法是選擇合適且經典的歷史資料，引導學生進行閱讀，并為學生們的閱讀活動安排一些適當的任務。學生直接基于歷史資料深入了解數學概念和方法形成的實際背景和知識背景，探索它們的演化歷程以及導致其演化的各種因素，形成自己對該主題的理解。經過這樣一個教學過程，培養了學生們的閱讀和寫作能力，促進了對現代數學語言的反思和理解，使他們能夠逐漸認識到數學的抽象化、形式化使得數學模式與模型成了聯系抽象理論與現實世界的紐帶[7]。從而愿意接受和學習現代數學中對于數學概念和方法的形式化描述。

在接下來的第3節中將就本節中闡述的兩種教學方法給出相應的教學示例。

3 教學示例

本節通過三個教學示例對2.1和2.2中闡述的兩種教學方法的實施細節進行說明。

3.1 在教學中引入“計算試驗”的兩個教學示例

問題1：確定長度為n且不包含連續兩個1的二進制序列的數目

對于這個問題，大多數有著基本的程序設計基礎的學生都能夠想到并使用“蠻力搜索”的方法。這種方法不需要太多的數學預備知識，且針對n取較小的值時是有效的。實施這種方法的具體步驟是，首先，針對一個給定的n值生成長度為n的所有二進制序列，然后，排除“包含11的二進制序列”。完成對幾個較小的n值的求解后，會得到幾個相應的數值解。

還有一些學生，會想到并使用一個遞歸程序，針對一些較小的n值，直接生成“不包含11的長度為n的二進制序列”。這種方法需要學生具備“遞歸算法”的思想，能夠處理簡單的“遞推方程”，涉及的關鍵點是：長度為n的序列可以通過分別在長度為n-1和n-2的較短的序列上添加后綴1和10而生成。

有著一定數學素養和知識背景的學生，在得到“針對幾個較小的n值的數值解”后，會開始觀察和發現規律，并正確猜想出此問題的“公式解”。然后利用歸納法對自己的猜想進行證明。

在求解問題1的教學活動中，所有的學生都能參與對于這個問題的求解，并基于自己的能力和知識水平給出相應的解決方案，因此每一個同學都有參與感和成就感，從而可以激發他們的學習興趣。

問題2：翻棋子游戲

如圖1（a）中有三個菱形，這三個菱形有一個公共頂點在中心位置，在每個菱形的頂點上都放置一顆棋子，總共有7顆棋子。每個棋子有黑白兩面，初始狀態下所有的棋子都是白色的一面朝上。規定翻轉棋子的規則是：如果翻轉一顆棋子則位于同一菱形頂點上的另外3顆棋子也要翻轉一次；或者同一個菱形中的所有棋子都翻轉為黑色面朝上。問：如何按規則翻轉棋子，使得游戲從圖1（a）所示初始狀態到達圖1（b）所示狀態（即只有中間的棋子是黑色面朝上）。

對此問題的求解從計算試驗開始，然后再逐步引入數學方法。具體過程如下：

第一步，學生可以對這個問題進行計算試驗。總共只有7顆棋子，所有可能的棋子翻轉方案只有27=128種，所以可以通過蠻力計算的方式得到所有可達狀態，并驗證發現指定狀態并不在可達狀態集中。這一步，大部分的學生都可以完成。

第二步，對于“翻棋子游戲”問題，本課程需要的不僅僅是一個“是”或“否”的答案，還需要一個解釋，通過第一步的“計算試驗”，學生們對于這個問題的計算求解有了一些直覺體驗。但是僅僅靠編程計算本身是不能解釋為什么無法達到指定狀態的。在第二步，可以引導學生觀察所有的“可達狀態”，發現并總結出“可達狀態”在某些特征量上的不變性，并設置相應的不變量。觀察設置好的“不變量”在指定狀態下的取值，會發現其破壞了規則，因此是不可達狀態。

最后，如果要對這個問題在理論層面進行更高一層的求解，則需要完整刻畫可達狀態，這需要在學生們學習并掌握了“抽象代數”后，在二元域上討論。這個層面的討論已經超出了課程要求，但是可以凸顯數學方法的特點和優勢。

求解問題2的教學活動，以一種層層遞進的方式讓學生體驗到“數學方法”的威力和魅力，從而產生學習數學的動力。為了讓學生們重視“數學方法”，認識到僅僅靠“簡單的計算”是不能解決問題的，還可以再提出一個類似的復雜度更高的問題，例如8×8的棋盤格游戲。

3.2 引導閱讀經典歷史資料，展示數學知識的進化過程的教學示例

本小節參照文獻[8]，選擇以瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一，萊昂哈德·歐拉在1736年發表的經典論文《關于位置幾何問題的解法》[9]為例，闡述在圖論教學中引導學生閱讀經典文獻的教學活動。通過這樣的教學活動達到向學生動態展現數學知識進化過程，使他們都能參與重新構建數學知識的目的。

歐拉在這篇論文中從格尼斯堡的詳細地圖開始，首先抽象出一個只顯示問題主要特征的更簡單的圖（參閱文獻[9]中Fig.1），然后用符號重新表述問題，接下來研究判定解是否存在的算法，一直到論證論文的最后一個定理結束。事實上，該論文為學生們提供了一個從研究實際問題到建立數學理論的完整過程的案例。

這篇論文語言比較通俗，在教師的引導下，學生們完全可以跟隨歐拉的思想讀懂和理解論文中的概念和方法，并能與教材中對應概念及方法的描述形式進行對比，促進對它們的理解和掌握。此外，為了屏蔽語言障礙帶來的閱讀困難，可以在為學生提供原始論文同時提供論文的參考翻譯。下面以歐拉論文中的第1、2、16和17段的內容為例，敘述引導學生閱讀并布置相應任務開展教學活動的過程。

論文第1段，歐拉介紹了一個由萊布尼茲首先提出的稱為“位置幾何學”的幾何分支，并解釋這個分支研究的內容只涉及位置關系，與測量和數值計算無關。然后指出有一個問題看起來是幾何的，但問題求解不需要測量距離和計算。因此他認為這個問題是屬于“位置幾何學”領域的典型問題并在論文中給出了他發現的解決這類問題的一般方法。

論文第2段，詳細敘述了 “格尼斯堡七橋問題”，指出了人們對該問題是否有解存在爭論。更重要的是，歐拉在本段中基于“格尼斯堡七橋問題”進一步提出了一個具有普遍意義的問題：無論陸地被河流分割成如何的格局，無論有多少座橋，能否判定有一條環游路線恰好經過每座橋一次？

在學生完成了論文第1段和第2段（學生閱讀的原始資料比上面的敘述更加詳細）的閱讀之后，教師提示學生注意：1）歐拉在分析過橋問題時，先用一個只顯示主要特征的圖代替了城市地圖；2）在現代圖論中進一步簡化了這個圖，只包括點（代表每一塊陸地）和線段（代表橋），這些點和線段分別稱為頂點和邊，頂點和邊以及它們之間的關系稱為圖。要求學生對比閱讀教材中有關圖的定義，然后完成下面的任務。

學生任務：將歐拉原文所示的過橋問題（參閱文獻[9]中Fig.3），繪制成具有6個頂點15條邊的現代形式的圖。

學生們一邊閱讀論文，一邊完成布置的任務，就將歐拉的寫作與現代理論聯系起來了。隨著歐拉對七橋問題分析的層層展開，其它的概念和定理被一一引入。這樣學生們就逐漸將原始資料中的概念與現代的術語和符號聯系起來了。

論文第16段，歐拉宣稱將描述一個更簡單的方法來解決這個問題。并敘述了一個結論：將通往陸地A、B、C、D的橋的數目分別標注在字母旁邊，這些標注在字母旁邊的數字之和是橋的總數目的兩倍，原因是每座橋都連接了兩塊陸地，于是在字母的數字標注上被計數了兩次。

論文第17段，歐拉論述了一個推論：每個字母旁邊標注的數字代表與此陸地相關的橋梁的數目，所有字母旁數字的總和必然為偶數，因為這個數的一半代表橋的總數。如果這些數字中只有1個是奇數，或者3個，或者5個，等等，是絕不可能的。因此，在“格尼斯堡七橋問題”中，字母A、B、C和D旁邊的數字是奇數，而在第15段的例子中只有D和E上的數字是奇數。

在16和17段閱讀結束后，要求學生完成下面兩個任務：

學生任務：第16段中描述的結果，在現代圖論中被稱為“握手定理”。該定理基于計算社交聚會中發生的握手次數的計數問題。握手定理的現代表述是：有限圖中所有頂點的度數之和等于圖中邊數的兩倍。請在教材中找到這個定理，并評論教材中給出的證明與歐拉在第16段中的相關討論。

學生任務：第17段中描述的結果可以重新陳述為：每個有限圖包含偶數個奇數度的頂點。在教材中找到這個定理，并評論教材中的定理證明與歐拉在第17段中的討論。

對學生提出這些閱讀任務，可以讓學生在研究歐拉的各種論點時，反思其與現代教科書中使用的論證風格有何不同，再次強調數學進化的觀點。

關于歐拉經典論文更多的內容閱讀，本文不再詳述。

4 結論

《離散數學》課程傳統的“定義-定理-證明”的教學模式無疑是一種高效率的傳遞數學知識的方法，但是對于計算機科學與技術專業的學生們來說這種模式讓他們對于課程內容的學習難以產生興趣和動力，學習效率較為低下。如果在《離散數學》課程教學中引入前文所述的兩種教學方法，可想而知會比傳統教學模式花費更多的教學時間，但是可以改善學生們對課程的學習態度，增強他們對于課程內容學習的動力。所以教師在具體實施課程教學時要把握好時間，靈活應用各種教學方法。此外，前文所述的兩種教學方法要想成功實施，素材的選擇以及精巧的教學設計非常關鍵，這也需要教師花費大量的時間做好課前準備，但是這樣的準備是值得的，相關的素材和教案會在不斷的努力下得到積累、擴充和完善，這個過程除了學生們有所收獲之外，教師本人也會獲益良多。

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【通聯編輯：王力】