基于改進小波包閾值降噪的滾動軸承故障分析

(福州大學 機械工程及其自動化學院，福州 350108)

0 引言

滾動軸承作為機械設備特別是旋轉機械中最為關鍵的零部件，起著支撐主軸、傳遞力矩的作用，一旦發生故障將影響到整個機械設備的運行狀態，甚至導致設備的嚴重損壞以及人員傷亡[1]。資料顯示，滾動軸承故障約占旋轉機械故障的30%[2]。由于發生故障的滾動軸承振動信號會受到運行環境噪聲的干擾，此時直接進行分析并不能夠準確提取振動信號的故障特征。

信號降噪的傳統方法主要有傅立葉變換，短時傅立葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換，小波包變換等。對于滾動軸承振動的非平穩故障信號，傅立葉變換只能在時域分析信號，頻譜并不能反映故障信號的局部信息；短時傅立葉變換在傅立葉變換的基礎上加窗，具有一定的局部分析能力，但是其窗函數固定不變，窗太窄會導致頻率分辨率差，窗太寬會導致時間分辨率低，故短時傅立葉變換還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求； Wigner-Ville分布在一定程度上彌補了傅立葉變換的不足，具有對稱性、時移性等優良特性，但不是信號的線性變換，導致存在交叉干擾項；小波包分析只對低頻部分進行分析，分解成低頻、高頻，在降噪過程中容易除去中高頻的有用故障信息；小波包分解方法是一種更加精細的分解，同時對高低頻進行分解，克服小波分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時間分辨率較差的缺點。目前，小波包閾值去噪在工程實踐中應用廣泛，大多使用傳統的硬、軟閾值函數，均有一定的效果。但由于硬、軟閾值函數的形式固定不變，無法根據信號變化而自適應調整，具有很大局限性。文獻[3]提出一種折中的閾值量化方法，雖然能夠在一定程度彌補硬、軟閾值函數降噪的不足，但其函數還是固定不變。文獻[4-5]根據軟、硬閾值函數提出一種引入調節因子的改進閾值函數，但沒有說明調節因子的選擇標準，也不能根據信號自適應變化。因此，提出可隨信號自適應變化的小波包閾值函數具有重要意義。

Torres等人[6]提出的具有自適應噪聲的完整集成經驗模態分解算法(a complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise,CEEMDAN)是對經驗模態分解[7]作了進一步改進，在經驗模態分解的每一階段添加自適應白噪聲，通過計算其特定的余量來獲取各個模態分量IMF，其分解過程具有完備性并且能有效克服模態混疊現象的發生。

基于以上分析，提出一種基于排列熵改進的小波包閾值函數和CEEMDAN的滾動軸承故障信號分析算法，基本思路是首先對含噪的故障信號進行改進的小波包閾值降噪，接著對降噪信號進行CEEMDAN，選擇相關系數大的IMF分量進行包絡譜分析，提取故障特征頻率。結果表明此方法能夠有效消除噪聲和保留原始信號特征。

1 基本理論

1.1 小波包降噪思路

小波包分析是由小波分析發展而來的一種更加精確的方法。針對小波分析只在低頻部分分解的不足，小波包分解在對低頻部分分解的同時，也對高頻部分做分解，對信號的分析能力更強。

對平方可積實數空間L2(R)進行多分辨率分析，得到小波包逼近空間的表達式為：

(1)

式中，Wj為小波函數空間；j為尺度因子，⊕為兩個子空間的“正交和”。

由式(1)可知，根據不同尺度因子j，將Hilbert空間L2(R)分解成小波空間Wj(j∈Z)的正交和，小波包分析就是按照二進制對Wj進行頻帶細分，以達到提高頻率分辨率的目的。

假設一維噪聲信號的表達式為：

X(i)=x(i)+α(i) (i=1,2,3,…,n-1)

(2)

式中，X(i)為含有噪聲的信號，x(i)為不含噪聲信號，α(i)為噪聲。

小波包降噪的基本思路是依據含噪信號X(i)選擇適當的小波包基函數和分解層數，將故障信號進行小波包分解,高、低頻小波包系數經過閾值函數的量化處理，最后將處理后的小波包系數重構得到降噪信號。根據故障信號和環境噪聲在不同頻帶的不同特性，去除各節點的噪聲分量。在所測信號含有故障時，小波包分解得到的系數幅值較大的代表著所含故障信號x(i)，而系數幅值較小的部分基本上由環境噪聲α(i)所產生。降噪的主要目的是濾除信號中的噪聲，進而小波包降噪的關鍵在于處理由噪聲產生的小波包系數，所以使用不同的閾值函數進行降噪會產生不同的降噪效果。

1.2 排列熵算法

排列熵(Permutation Entropy,PE)是Bandt等[8]提出的一種檢測時間序列隨機性和動力學突變的方法，PE具有概念簡單，計算速度快，抗干擾能力強等優點，并且特別適用于非線性數據的處理，其計算方法如下[9]。

考慮長度N時間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}，首先對其進行相空間重構，得到如下的時間序列：

(3)

其中：m為嵌入維數，λ為時間延遲。將x(i)的m個向量：按X(i)={x(i),x(i+λ),…,x(i+(m-i)λ)升序重新排列，即：

X(i)={x(i+(j1-1)λ)≤x(i+(j2-1)λ)

≤…≤x(i+(jm-1)λ)}

(4)

若存在{x(i+(ji1-1)λ)=x(i+(ji2-1)λ)}，則按j值大小進行排序，即當jk1

S(g)=[j1,j2,…,jm]

(5)

時間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}的排列熵可以按照Shannon熵的形式定義為：

(6)

當Pg=1/m時，HP(m)達到最大值In(m!)，因此可以通過In(m!)將排列熵HP(m)進行標準化處理，即：

HP=HP(m)/In(m!)

(7)

顯然，HP的取值范圍是0≤HP≤1。HP值的大小代表著時間序列的隨機性程度。HP越大，說明時間序列月隨機，反之，則說明時間序列越規律。

滾動軸承故障信號中有用成分往往比較規律，而噪聲更隨機，因此可以依據排列熵來表征故障信號中的含噪狀態。文獻[10]研究指出噪聲會導致信號排列熵變大，而且含有噪聲越大，其排列熵越大。

圖1為兩端加有高斯白噪聲的正弦仿真信號及其排列熵。由圖可知，正弦信號受到較大噪聲干擾時，排列熵很大，當噪聲消失時，排列熵會較低，隨著再次加入噪聲，排列熵再次變大，并且噪聲小，排列熵相對來說也小。

圖1 仿真信號及其排列熵

2 改進小波包閾值降噪算法

2.1 小波包硬、軟閾值函數

目前常用的是硬、軟閾值函數，其表達式如下。

硬閾值函數：

(8)

軟閾值函數：

(9)

式中，x為小波包系數，sign(·)為符號函數；T為閾值。

硬閾值函數是將絕對值小于閾值的小波系數變成零，而將絕對值大于閾值的小波系數予以保留，硬閾值函數不具有連續性，導致其重構信號會產生振蕩。而軟閾值函數將絕對值大于閾值的小波系數時進行收縮處理，減小小波系數。該方法使得降噪后的信號更加平滑，但因為減小絕對值較大的小波系數時造成恒定的偏差，從而影響了重構信號與真實信號的逼近程度，造成部分高頻信息小波包系數損失。因此，有必要提出一種介于硬、軟閾值之間，并且能夠根據信號含噪情況自適應變化的新閾值函數。

2.2 改進小波包閾值函數

為了解決硬、軟閾值不能自適應調節閾值函數的問題，本文提出一種基于排列熵的改進小波包閾值函數降噪方法，將排列熵作為調節因子，利用排列熵對噪聲的變化特性和小波包分解系數的噪聲特性，進行自適應降噪。

改進閾值函數表達式如下：

(10)

式中，x為小波包系數，sign(·)為符號函數；T為閾值，P為小波包系數的排列熵值。

可知，信號排列熵值P取值范圍(0,1]，其值越大，則該小波包系數序列越隨機，也即含噪聲越多；反之，含有更少的噪聲。如圖2所示，P取值越大，閾值函數偏向具有更強收縮能力的軟閾值函數，此時有更好的降噪效果，特別P取值為1時，改進閾值函數即為軟閾值函數；反之，P值越小趨于0，代表小波包系數序列越規律，含有用信號越多，此時閾值函數偏向硬閾值，更好的保留有用的故障信號。相比硬、軟閾值函數，此閾值函數可以根據故障信號小波包分解系數序列的含噪情況的變化而改變，具有一定的適應性。

2.3 閾值估計方法及降噪效果指標

(12)

(13)

降噪后信號的信噪比越高，原始信號和降噪后信號的均方根誤差越小，則越接近真實信號，降噪效果越好。

圖2 改進閾值函數圖像

2.4 3種閾值函數降噪對比

用MATLAB常見的Doppler信號加入高斯白噪聲進行實驗，對比3種閾值函數降噪效果。此處小波基選用db4小波，分解層數選取4層。排列熵的參數分別取嵌入維數為5、時間延遲為1。

表1為不同閾值方法降噪信號的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)。

圖3為加噪信號與分別采用硬閾值、軟閾值和改進閾值函數處理的后的降噪信號。

表1 不同閾值降噪效果指標對比據

通過對比3種方法的降噪結果，可以看出：硬閾值函數處理的重構信號會產生振蕩，并沒有很好的濾除高斯白噪聲，原因是硬閾值函數在閾值處是不連續的；軟閾值函數是連續的，去噪信號平滑，但存在恒定差值，導致降噪過程會造成信號失真；改進小波包閾值函數降噪能夠極大降低高斯白噪聲，并且克服硬閾值函數不連續和軟閾值函數恒定差等問題，在去除噪聲同時更好的保留原始信號的故障特征。從表1指標客觀來看，改進的小波包閾值函數降噪后信噪比高于硬、軟閾值函數，并且均方根誤差最小，驗證了改進閾值函數的有效性。

圖3 原始信號和3種不同方法降噪對比圖

3 CEEMDAN算法原理

CEEMDAN為自適應噪聲完備集合經驗模態分解，是在EMD方法基礎上多次改進而得到的，能有效的抑制“模態混疊”現象的發生。定義符號M(·)表示局部均值的計算，符號Ek(·)表示由EMD方法分解得到的第K個IMF，符號ω(i)表示隨機產生的第i個均值為0，幅值為1的高斯白噪聲。

CEEMDAN算法的具體過程如下：

在上述步驟②中，參數βk表示在抽取第k+1個IMF時所添加噪聲的幅值，βk=ε0std(rk)，其中，符號std(·)代表計算信號的標準差。根據文獻[11]，當ε0=0.2時，CEEMDAN算法能夠獲得較好的性能。本文的CEEMDAN參數設置，取添加白噪聲幅值為信號標準差的0.2倍，集總平均次數為50。

4 軸承信號實例分析

為了驗證本文提出方法的有效性，采用美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University)軸承故障數據[12]，利用上文提出的降噪分析方法進行驗證。選用驅動端電機軸承故障數據，故障軸承為JEM SKF 6205-2RS深溝球軸承，軸承幾何參數：滾動體直徑8 mm，滾動體數9個，軸承節徑38.5 mm，接觸角0o。分別在軸承內、外圈的單點電蝕故障振動加速度信號，故障直徑為0.007 inch，轉速為1 750 r/min，采樣頻率12 kHz，采樣點數4 096個，計算得到軸轉頻理論值29.17 Hz，內圈的故障特征頻率理論值為157.94 Hz，外圈的故障頻率理論值為104.56 Hz。

首先取故障信號，選擇常用小波包基函數db4，分解層數為4，經過改進的小波包閾值函數得到變換后的小波包系數，然后重構系數得到降噪后的信號，接著進行CEEMDAN分解，根據相關系數篩選IMF，最后對有效的IMF進行包絡譜分析。

4.1 內、外圈降噪前后對比

根據2.2的閾值估計方法，對內、外圈故障信號改進小波包閾值降噪的閾值分別取0.5和0.4，降噪前內、外圈的故障信號和由變換小波包系數重構得到降噪后的時域圖分別如圖4～5所示，其包絡譜圖分別如圖6～7所示。對比時域圖可以看出，經過改進小波包閾值降噪后的信號時域圖中沖擊更加明顯，有效減少環境噪聲的干擾。對比包絡譜可以看出，在去除高頻噪聲同時，能夠有效的保留高低頻的有效故障信號，體現出改進小波包閾值函數降噪方法的有效性。

圖4 內圈降噪前后時域圖對比圖

圖5 外圈降噪前后時域圖對比圖

4.2 去噪信號的CEEMDAN分解

利用CEEMDAN對降噪后的內、外圈信號進行分解，由于故障特征主要集中在前幾個分量，故先提取前6個分量進行觀察分析。

從圖8可以看出，內圈分解后的前幾個分量都含有一定的沖擊特征信息，其中IMF1、IMF3包含有調制信號，IMF1沖擊特征非常明顯，IMF2無明顯的調制信號，其他分量的沖擊振幅均比較小。從圖9可以看出，外圈分解的前兩個分量都含有較強的沖擊特征信息，其中IMF1沖擊特征最明顯，IMF2相比IMF1較弱，并且均無明顯的調制信號。根據相關系數對內、外圈前幾個分量進行進一步的刷選分析。

圖6 內圈降噪前后包絡譜對比

圖7 外圈降噪前后包絡譜對比圖

圖8 內圈降噪信號CEEMDAN分解的前6個IMF分量

圖9 外圈降噪信號CEEMDAN分解的前6個IMF分量

各分量IMF1IMF2IMF3IMF4IMF5IMF6內圈0.85570.66520.23430.10270.01700.0040外圈0.96800.14460.01220.00870.01700.0079

表2是內、外圈經過CEEMDAN分解后前6個分量的相關系數。對比表中數據可看出內、外圈前兩個IMF分量的相關系數比較大，代表前兩個分量包含主要的故障信息，分別對內、外圈前兩個分量進行包絡譜分析，為了便于觀察內、外圈故障頻率，將代表頻率的x軸限定在[0,500]，如圖8至圖11所示。

各取前兩個分量進行包絡譜分析。

圖10 內圈降噪信號CEEMDAN分解的前兩個分量包絡譜

圖11 外圈降噪信號CEEMDAN分解的前兩個分量包絡譜

從內、外圈前兩個IMF分量的包絡譜來看，均存在28.63 Hz對應軸轉頻理論值29.17 Hz。其中內圈前兩個包絡譜中明顯存在的157.4 Hz頻率沖擊，相當于內圈故障頻率理論值157.94 Hz，可以推斷軸承內圈發生故障，此外還存在內圈故障的調制頻率沖擊；同樣從外圈前兩個IMF分量的包絡譜來看，明顯存在的105.9 Hz頻率沖擊，相當于外圈故障頻率理論值104.56 Hz，可以推斷軸承外圈發生故障，此外還有外圈故障倍頻沖擊存在。雖然理論值和真實值存在些許誤差，但整體上并不影響故障類型的診斷。

5 總結

在研究小波包分析中，針對傳統硬、軟閾值函數降噪的不足，提出一種基于排列熵的改進小波包閾值降噪的方法，構造了可根據信號自適應變化的閾值函數。仿真信號試驗結果表明，相比較硬、軟閾值函數，改進的閾值函數能夠根據信號含噪情況調整閾值函數，具有更好的降噪效果。

CEEMDAN作為EMD的改進算法，在每一次分解階段都添加自適應白噪聲，有效克服模態混疊現象。將其與改進的小波包分解結合應用于滾動軸承的故障分析中，發揮出兩者的優勢。

利用美國凱斯西儲大學軸承故障數據進行驗證，對內、外圈故障信號進行分析，結果表明此方法能夠減少噪聲干擾并有效保留有用的故障信息，具有一定的實用價值。